小学数学第六章　作业18　三角形中的几何计算

作业18三角形中的几何计算分值：80分一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为3，C=120°，c=2bcosB，则AC边上的中线长为A.3 B.3 C.7 D.42.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A=60°，b=3c，角A的平分线交BC于点D，且BD=7，则cos∠ADB等于A.-217 B.217 C.2773.在△ABC中，AB=22，AC=6，BC边上的中线AD=5，则△ABC的面积为A.394 B.C.392 D.4.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=4，b=16，CD平分∠ACB交AB于D，且CD=4，则BD等于A.3 B.3 C.23 D.335.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=6，sinBsinA=6aA.192 B.212 C.12 D6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD交BC于D，AD=465，则BC边上的高线A.43 B.423 C.2二、多项选择题(每小题6分，共12分)7.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b=23，B=π3A.△ABC外接圆的面积为16πB.若c=4，则C=πC.△ABC面积的最大值为33D.△ABC周长的最大值为638.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=4，b2+c2-16=3bc，则A.A=πB.当△ABC有两解时，b的取值范围是(4，8)C.△ABC面积的最大值为8+43D.当BC边上的中线的长为22时，b2+c2=24三、填空题(每小题5分，共10分)9.△ABC三边长分别为AB=5，AC=6，BC=7，则BC边上的中线AD的长为.10.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足acosC+ccosA=2bcosB，若b=22，则△ABC周长的最大值为.四、解答题(共28分)11.(13分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sinA-π6sinA(1)求角A的大小；(6分)(2)若△ABC为锐角三角形，a=1，求△ABC周长的取值范围.(7分)12.(15分)在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足(sinA-sinC)(sinA+sinC)=sinB(sinA-sinB).(1)求角C；(3分)(2)求a2+b2c(3)当c=1时，角C的平分线交AB于点D，求CD长度的最大值.(7分)

答案精析1.C2.B3.C4.C5.C[由sinBsinA=6a-bb及正弦定理得ba=6a-bb所以b=2a，由余弦定理的推论得cosC=a2+b又0<C<π，所以sinC=1-co=1-=-9a所以S△ABC=12absin=a2·-9=-9(a当a2=20，即a=25时，S△ABC取得最大值12.]6.B[由题意设∠BAD=∠CAD=α，则∠BAC=2α，如图所示，由S△ABC=S△ABD+S△ACD可得12×3×2sin2α=12×3×46512×2×465sin整理得3sin2α=26sinα，即sinα(3cosα-6)=0，又因为sinα≠0，所以cosα=63所以cos2α=2cos2α-1=13所以sin2α=1-cos22在△ABC中，由余弦定理得a2=32+22-2×3×2cos2α=13-4=9，所以a=3，由S△ABC=12bcsin2α=12a×AH可得，12×3×2×223=解得AH=4237.BCD8.BCD[对于A，因为a=4，b2+c2-16=3bc，所以b2+c2-a2=3bc，所以cosA=b2+c2-a22bc=3bc2所以A=π6，故A对于B，当△ABC有两解时，则bsinA<a<b，即12b<4<b所以4<b<8，故B正确；对于C，因为b2+c2-16=3bc≥2bc-16，所以bc≤16(2+3)，当且仅当b=c=22+26时取等号，所以S△ABC=12bcsinA=14bc≤8+43，故△8+43，故C正确；对于D，设BC的中点为D，则AD=12(AB+所以AD2=14AB2+AC2+2AB·AC，即32=b2+c2+3所以b2+c2=24，故D正确.]9.7310.62解析因为acosC+ccosA=2bcosB，由正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB，且sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C)=sinB，即sinB=2sinBcosB，又因为B∈(0，π)，则sinB≠0，可得1=2cosB，即cosB=12又B∈(0，π)，所以B=π3又由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=(a+c)2-3ac，即8=(a+c)2-3ac，可得ac=(a又因为ac=(a+c)2-83≤(a+c)24，可得(a+当且仅当a=c=22时，等号成立，所以△ABC周长的最大值为42+22=62.11.解(1)因为sinA-π6sinA所以32sinA-12cosA-32sinA+12cosA=32所以34sin2A-38(1-cos2A)-18(1+cos2A)整理可得34sin2A+14cos2A=所以可得sin2A+π因为A∈(0，π)，可得2A+π6∈π6,13π6，所以2A可得A=π3(2)由正弦定理asinA=bsinB=csinC，且a所以b=233sinB，c=233所以a+b+c=1+233(sinsinC)=1+2=1+2sinB+因为△ABC为锐角三角形，所以0<B解得π6<B<π2，所以π3<B+π所以sinB+π6所以1+2sinB+π6∈(1+3，即△ABC周长的取值范围是(1+3，3].12.解(1)因为(sinA-sinC)(sinA+sinC)=sinB(sinA-sinB)，由正弦定理，可得(a-c)(a+c)=b(a-b)，整理得a2+b2-c2=ab，又由余弦定理，可得cosC=a2+b又因为C∈(0，π)，所以C=π3(2)由正弦定理，可得a2+=4=4=43+23sin因为△ABC为锐角三角形，且C=π3，可得π6<A<则2A-π6∈π可得12<sin2A-则13<23sin2A所以43+23sin2A所以a2+b(3)方法一设CD长度为x，由S△ABC=S△ACD+S△BCD，可得12absin∠ACB=12bxsin∠ACD+12axsin因为∠ACB=π3可得∠ACD=π6，∠BCD=π所以3ab=ax+bx，可得x=3ab又由余弦定理得cos∠ACB=a2+b所以a2+b2-c2=ab，则(a+b)2=c