小学数学第七章　§7.2　7.2.1　复数的加、减运算及其几何意义

§7.2复数的四则运算7.2.1复数的加、减运算及其几何意义学习目标1.熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则.2.理解复数加、减法的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题.3.掌握复平面上两点间的距离公式.一、复数的加、减法运算1.复数加、减法的运算法则设z1=a+bi，z2=c+di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1+z2=(a+c)+(b+d)i，z1-z2=(a-c)+(b-d)i.2.复数加法的运算律对任意z1，z2，z3∈C，有：(1)(交换律)z1+z2=；(2)(结合律)(z1+z2)+z3=.例1(1)复数(1+2i)+(3-4i)-(-5-3i)=.(2)化简：(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a，b∈R).反思感悟复数加、减运算的解题思路复数与复数相加减，类似于多项式加减法的合并同类项，将两个复数的实部与实部相加(减)，虚部与虚部相加(减).跟踪训练1若复数z满足z+(3-4i)=1，则z的虚部是()A.-4 B.4 C.4i D.-4i二、复数加、减法的几何意义问题1我们知道，复数与复平面内以原点为起点的向量一一对应，类比平面向量的加法、减法的几何意义，你能得出复数加法、减法的几何意义吗？知识梳理如图，设复数z1，z2对应的向量分别为OZ1，OZ2，四边形OZ1ZZ对应，向量Z2Z1与复数例2如图所示，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应的复数分别为0，3+2i，-2+4i.求：(1)AO对应的复数；(2)CA对应的复数；(3)OB对应的复数及|OB|的长度.反思感悟复数与向量的对应关系的两个关注点(1)复数z=a+bi(a，b∈R)是与以原点为起点，Z(a，b)为终点的向量一一对应的.(2)一个向量可以平移，其对应的复数不变，但是其起点与终点所对应的复数发生改变.跟踪训练2(1)已知复平面内的向量OA，AB对应的复数分别是-2+i，3+2i，则|OB|=.(2)若z1=1+2i，z2=2+ai，复数z2-z1在复平面内所对应的点在第四象限内，则实数a的取值范围是.三、复平面上两点间的距离公式及其应用问题2根据复数及其运算的几何意义，你能求出复平面内的两点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)之间的距离吗？问题3设z∈C，在复平面内复数z对应的点为Z，若|z+(1+i)|=1，则点Z组成的集合构成什么图形？例3(1)在复平面内点A，C分别对应于复数-1+i，-4-3i，则A，C两点间的距离为.(2)(多选)设z∈C，且|z+1|-|z-i|=0，则|z+i|的值可以是()A.0 B.1 C.22 D.反思感悟由复数减法的几何意义，可得复平面上两点间的距离公式d=|z1-z2|，其中z1，z2是复平面内的两点Z1，Z2所对应的复数，d表示点Z1和Z2之间的距离.跟踪训练3设复数z=a+bi(a，b∈R)，1≤|z|≤2，则|z+1|的取值范围是.1.知识清单：(1)复数代数形式的加、减运算法则.(2)复数加、减法的几何意义.(3)复平面上两点间的距离公式.2.方法归纳：类比、数形结合.3.常见误区：忽略模的几何意义.1.计算：(1-i)-(2+i)+3i等于()A.-1+i B.1-i C.i D.-i2.已知z1=2+i，z2=1-2i，则复数z=z2-z1在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限3.两个复数z1=2+5i，z2=3-i在复平面内对应的两点之间的距离为.4.设平行四边形ABCD在复平面内，A为原点，B，D两点对应的复数分别是3+2i和2-4i，则点C对应的复数是.

答案精析知识梳理2.(1)z2+z1(2)z1+(z2+z3)例1(1)9+i(2)解(a+bi)-(2a-3bi)-3i=(a-2a)+[b-(-3b)-3]i=-a+(4b-3)i.跟踪训练1B[因为z+(3-4i)=1，则z=1-3+4i=-2+4i，故z的虚部为4.]问题1设OZ1=(a，b)，OZ2=(c，d)，则OZ1±OZ2=(a，b)±(=(a±c，b±d).复数加法的几何意义是以OZ1，OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2的对角线对应的向量复数减法的几何意义是从OZ2的终点指向OZ1的终点对应的向量知识梳理z1+z2z1-z2例2解(1)因为AO=-OA，所以AO对应的复数为-3-2i.(2)因为CA=OA-OC，所以CA对应的复数为(3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3)因为OB=OA+OC，所以OB对应的复数为(3+2i)+(-2+4i)=1+6i.所以|OB|=12+6跟踪训练2(1)10(2)(-∞，2)问题2因为复平面内的点Z1(x1，y1)，Z2(x2，y2)对应的复数分别为z1=x1+y1i，z2=x2+y2i，所以点Z1，Z2之间的距离为|Z1Z2|=|Z1Z2|=|z2-=|(x2+y2i