甘肃省临夏回族自治州2026届高三上学期1月期末质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省临夏回族自治州2026届高三上学期1月期末质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为，，所以，又因为，所以.故答案为：A.2.已知复数（i为虚数单位），则其共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，所以，故共轭复数的虚部为.故选：D.3.函数的定义域是（）A.或 B.或C. D.或或【答案】D【解析】函数，，解得或或，所以的定义域为或或．故选：D．4.一组数据：1，2，3，4，5的第80百分位数是（）A.3.5 B.4 C.4.5 D.5【答案】C【解析】1，2，3，4，5共5个数据，，所以第80百分位数为.故选：C.5.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（）A.14 B. C. D.【答案】B【解析】在中，由，可得，又，，所以的面积为.故选：B.6.已知等比数列中，，是方程的两根，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，是方程的两根，所以，所以，.又数列为等比数列，所以，且符号相同，所以.所以.故选：C.7.在扇形中，，P是上一点，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立坐标系，设扇形半径为1，，则，且，于是，，因为，所以，由，解得，（舍去）.故选：C.8.已知点，，在曲线上，记，则存在函数，对曲线上任意一点P都有（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，且，在曲线上，在单位圆的右半部分（包括轴），，，，，，，在曲线上，，，，，，，，，，在曲线上，，，且每一个的值对应唯一一个的的值，将代入中，可以得到是自变量的函数，则存在函数，对曲线上任意一点P都有，故选项D正确.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法错误的是（）A.直线的倾斜角的取值范围是B.若圆上恰有两点到点的距离为1，则r的取值范围是C.“直线与直线互相垂直”是“”的充分而不必要条件D.过点且在x轴、y轴上的截距相同的直线方程是【答案】ACD【解析】对于A，直线的斜率为，由正弦型函数的性质，得，故直线的倾斜角的取值范围是，故A错误；对于B，若圆上恰有两点到点的距离为1，则圆心到点的距离满足：，则，解得，故r的取值范围是，故B正确；对于C，由直线与直线互相垂直可得，解得或，所以“直线与直线互相垂直”是“”的必要而不充分条件，故C错误；对于D，当直线在x轴、y轴上的截距均为0时，过点的直线方程为，当直线在x轴、y轴上的截距相等不为0时，设直线方程为，将点代入得，解得，故直线方程为，综上，直线方程为或，故D错误.故选：ACD.10.如图，正三棱柱的每条棱的长度均为2，D为棱的中点，底面，点E与D分别在平面的两侧，且，则（）A.平面平面B.四面体外接球的表面积为C.直线与直线相交D.四面体与正三棱柱的公共部分的体积为【答案】AD【解析】如图：对A：因为三棱柱为正三棱柱，所以平面底面，又为中点，为等边三角形，所以，底面，平面底面，所以平面.又平面，所以平面平面.故A正确；对B：因为两两垂直，所以四面体的外接球就是以为棱的长方体的外接球，设其半径为，则，所以其表面积为.故B错误；对C：因为底面，所以平面，设，连接,，相交于点，所以直线与直线异面，故C错误；对D：连接，交于点，则四面体与正三棱柱的公共部分为三棱台.因为，，三棱台的高为2，所以.故D正确.故选：AD.11.已知对任意，不等式恒成立，则下列结论正确的是（）A.当，时，B.对任意恒成立C.若，则D.若，则【答案】BCD【解析】A选项，当，时，，A错误；B选项，，，令，则，，则在时恒成立，故在上单调递减，又，故在上恒成立，故对任意恒成立，B正确；C选项，，满足，故，又因为时，，所以，C正确；D选项，，故，又，由基本不等式得，（由于，故不能取等），即，，故，则，D正确.故选：BCD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知，则______.【答案】【解析】的通项公式为，令，可得，所以.故答案为：.13.已知函数在处取得极值，则实数______.【答案】2【解析】因为，所以，因为函数在处取得极值，所以，解得，经检验满足题意，故答案为：2.14.甘肃河西走廊新能源基地每日风力发电量的增减变化呈现规律.简化后的模型如下：若第一天中风力发电量增长，则第二天有的概率继续增长，的概率下降，的概率稳定；若第一天中风力发电量下降，则第二天有的概率继续下降，有的概率增长，的概率稳定；若第一天中风力发电量稳定，则第二天有的概率继续稳定，的概率下降，的概率增长.若第一天发电量增长或下降的概率均为，则第二天发电量增长的概率为______，第n天发电量增长的概率______.【答案】【解析】已知第一天发电量增长的概率为

，下降的概率为

，稳定的概率为

，根据转移概率，由全概率公式，第二天发电量增长的概率为：设第

天发电量增长的概率为

，下降的概率为

，稳定的概率为

，则

，由转移概率得：，代入

，化简得：，即，已知

，所以，所以数列

是首项为

、公比为

的等比数列，所以因此，故答案为：；.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且.（1）求；（2）若，，求b和的值.解：（1）因为，所以，所以，整理得，因为，所以，因为，所以.（2）因为，，，所以，所以．所以，，因为，，，所以，因为，则为锐角，故，故．16.如图，在长方体中，，，点E在棱上移动.（1）证明：；（2）当E为的中点时，求点E到平面的距离；（3）当二面角的大小为时，求的值.（1）证明：在长方体中，有平面，又平面，，又，四边形为正方形，，又平面，平面，平面，；（2）解：设点到面的距离为，在中，，，故，而，又，，，∴点E到面的距离为；（3）解：过作于，连、，由平面，且，可得平面，则，为二面角的平面角，设，则，在中，，，，在中，，在中，，在中，在中，，，当二面角的大小为时，．17.某地举行马拉松比赛，赛道全长42.195千米，沿途设置了多个补给点、固定医疗点、计时点和赛道引导指示牌，确保选手在比赛中的安全和舒适.已知组委会在赛道25千米和35千米处均设有补给站，根据历史数据，选手在比赛中的表现受补给情况影响，具体如下：①补给情况分布：有60％的选手会在25千米处补给站停留；在25千米处补给站停留的选手中，有80％也会在35千米处补给站停留；在25千米处补给站未停留的选手中，只有40％会在35千米处补给站停留.②组委会计划为完赛选手设置完赛奖金，完赛概率及奖金（单位：元）如表：补给情况完赛概率完赛奖金两站都停留95％500仅25千米处补给站停留70％300仅35千米处补给站停留75％300两站均未停留50％200（1）求选手甲在35千米处补给站停留的概率；（2）现组委会需要为每名选手准备奖金预算，求每位选手的完赛奖金金额X（单位：元）的分布列，并求其期望值.解：（1）设“选手在25千米处补给站停留”，“选手在35千米处补给站停留”，由题意，，，，，由全概率公式，得，所以，选手甲在35千米处补给站停留的概率为0.64.（2）由题意，的取值为，选手在两站都停留的概率为，选手在25千米处补给站停留，未在35千米处补给站停留的概率为，选手在35千米处补给站停留，未在25千米处补给站停留的概率为，选手在两站均未停留的概率为，所以，，，.所以的分布列为：02003005000.220.120.2040.456所以每位选手的完赛奖金金额的数学期望为：.18.已知点，是椭圆上两点，点A，B分别为E的左、右顶点，如图所示，过作直线l交椭圆E于M，N两点（M在N的左侧，且与A，B不重合），连接，交于点P.（1）求椭圆E的标准方程；（2）设直线，的斜率分别为，，求；（3）在椭圆E上是否存在定点Q，使得的面积为定值？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（1）由于，是椭圆上两点，故，解得，故椭圆方程为（2）设直线，联立则，设,且，则，故，（3）直线直线，联立两直线的方程可得，则，故，解得，因此,故点在定直线（位于椭圆内部之间的部分）上运动，而在直线上，由于直线和互相平行，则两直线间的距离为定值.要在椭圆E上是否存在定点Q，使得的面积为定值，则为直线与椭圆的交点（不同于），故.19.定义：如果存在一个常数L，使得当n无限增大时，数列的项无限趋近于L，则称数列收敛于L（或以L为极限），记作.若不存在这样的常数L，则称数列发散.对于函数，其中为参数.（1）求曲线在点处的切线方程，并证明当时，该切线在曲线的上方；（2）令，.定义，求数列的极限L；（3）已知对任意，有恒成立，其中.若（2）中数列的极限值为L且，求正整数a的最小值.（提示：）解：（1）函数的定义域为，则，由且，可得函数在点处的切线方程为，整理得；设，要证明当时，该