甘肃省天水市麦积区部分高中2026届高三上学期1月期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省天水市麦积区部分高中2026届高三上学期1月期末数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，则，故，又，则.故选：B.2.若“，成立”为真命题，则实数的最小值为（）A. B. C. D.不存在【答案】A【解析】由题意得，因为函数在单调递减，所以时，，所以，因此实数的最小值为1.故选：A.3.底面直径和母线长均为2的圆锥的体积为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题可知圆锥的底面半径，母线长，高，∴圆锥的体积为.故选：A.4.已知函数，若函数的图象关于轴对称，则的值为（）A.-1 B.1 C.-2 D.2【答案】B【解析】由函数的图象关于轴对称，可得函数是偶函数，因为为奇函数，所以函数为奇函数，所以．即，所以，所以.故选：B.5.已知正项等差数列的前项和为，则的最小值为（）A.9 B. C. D.8【答案】C【解析】由等差数列前项和公式可得，所以，所以，又，则，当且仅当，即时等号成立，故的最小值为.故选：C.6.已知向量，不共线，且，则向量在向量上的投影向量为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，两边平方得，解得，向量在向量上的投影向量为.故选：D.7.某品牌新能源汽车在测试中，发现汽车行驶里程数（每单位代表30公里）与剩余电量在某阶段（剩余电量）近似满足如下函数关系式：.当剩余电量为时，车辆需寻找充电站，则此时汽车大约行驶了（）（参考数据：）A.360公里 B.510公里C.570公里 D.600公里【答案】B【解析】由题意，当时,有，所以解得，所以两边取对数可得解得，所以，所以，所以此时汽车大约行驶了(公里).故选：B.8.已知函数在区间上有且仅有3个零点，则的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】D【解析】，令，得，.由有且仅有3个零点得：，化简得.故选：D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.设复数，满足，，则（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】对于A，假设，则，故A错误，对于B，，故B正确，对于C，设，则，又，，故C正确，对于D，假设时，，，，故D错误.故选：BC.10.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A. B.C.时，取得最大值 D.时，取得最小值【答案】AB【解析】由图象可知：当时，；当时，；在，上单调递增，在上单调递减；对于A，，，A正确；对于B，，，B正确；对于C，由单调性知为极大值，当时，可能存在，C错误；对于D，由单调性知，D错误.故选：AB.11.已知正项等比数列的前项和为，若，则（）A. B.数列有最小项C.数列为递减数列 D.【答案】ACD【解析】设正项等比数列公比为，对于A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确；对于B和C，，故数列为递减数列，无最小项，故B错误，C正确；对于D，，则，故D正确，故选：ACD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分12.已知直线与圆相交于两点，则__________.【答案】4【解析】设圆心到直线的距离为，因为，所以.故答案为：4.13.已知函数为，在R上单调递增，则取值的范围_______．【答案】【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增，则需满足，解得，则取值的范围为.故答案为：.14.曲线上的点到直线距离的最小值为___________．【答案】【解析】的定义域为，求导得，令得，即，解得或（舍去），当时，，此时切点为，所以曲线到直线的距离的最小值即为切点到直线的距离，即为，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的最小正周期及对称中心坐标；（2）已知函数在区间上的最大值为1，最小值为，求的取值范围.解：（1）因为，所以的最小正周期，令，，解得，，所以的对称中心的坐标为，；（2）当时，，因函数在区间上的最大值为1，最小值为，则在上的最大值为1，最小值为，因，结合正弦函数图象可知，，得，所以的取值范围为.16.记的内角，，的对边分别为，，，.（1）求；（2）若的角平分线交边于点，，，求的周长.解：（1）由及正弦定理，得，，，，，，，或.，，，即.（2）如图：，，①，又在中，由余弦定理可得，即②，将①代入②得，或（舍）,.的周长为.17.已知四棱锥中，底面为菱形，侧面为正三角形，平面平面，，为中点．（1）求证：；（2）求平面和平面夹角的余弦值．（1）证明：连接，在正三角形中，因为为中点，所以．又因为，平面，所以平面，因为平面，所以．（2）解：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，所以．如图，以为原点，，，的方向为轴的正方向，建立空间直角坐标系,底面为菱形，为中点，由（1）知，则，设，则，，，．，，设平面的一个法向量，则，取．，，设平面的一个法向量，则，取．因为，所以，所以平面和平面夹角的余弦值为0．18.已知函数，．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性；（3）若函数在区间上的最小值为1，求的值．解：（1）当时，∵，∴，，函数在点处的切线方程为，．（2）因为，函数的定义域为，,当时，，函数在上单调递减；当时，令，解得或（舍去）,当时，，函数在上单调递减，当时，，函数在上单调递增.综上所述，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（3）当时，，函数在上单调递减，所以，所以，不合题意舍去；当时，若即，函数在上单调递增，所以，所以，符合题意；若即，函数在上单调递减，所以，所以，不符合题意；若即，函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意；综上，函数在区间上的最小值为1，则.19.拉格朗日中值定理反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础．其定理陈述如下：如果函数在区间上连续，在区间内可导，则存在，使得．已知函数，数列满足，