甘肃省张掖市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1甘肃省张掖市2025-2026学年高二上学期期末数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知数列的通项公式为，则下列各式错误的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，，，，C错误．故选：C．2.已知双曲线（，）的离心率为3，则双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】双曲线的渐近线方程为，因为双曲线的离心率为3，即，所以，所以，所以，所以双曲线的渐近线方程为，故选：A.3.已知点，，若直线的倾斜角为，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】若直线的倾斜角为，则直线的斜率为1，即，且，化简得，且，解得或且，，所以．故选：D．4.某兴趣小组有6名男生和3名女生，从中选出4人代表小组参加活动，则男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法有（）A.21种 B.56种 C.91种 D.35种【答案】C【解析】方法一：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中，包括甲、乙2人只有1人被选中和甲、乙2人都被选中两类情况，根据分类加法计数原理，选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数为.方法二：选出的4人中男生甲和女生乙至少有1人被选中的选法种数，就是从9名成员中选出4人的选法种数减去男生甲和女生乙都没有被选中的选法种数，即．故选：C.5.已知抛物线的焦点为，过点且斜率为1的直线与抛物线交于两点．若点在第一象限，则点的横坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意，抛物线的焦点为,过点作轴于点，设点的横坐标为，则，由抛物线的性质得，因为直线的斜率为1，所以，是等腰直角三角形，所以，即，解得，故选：B.6.在的展开式中，的系数为（）A. B.14 C.56 D.【答案】A【解析】的展开式的通项为，，所以在的展开式中，含的项为：，所以的系数为.故选：A．7.已知是递增的等差数列，，若，，成等比数列，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设等差数列的公差为，由题意得，因为，，成等比数列，所以，所以且，即，化简得，解得或（舍去），则．故选：D．8.已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上且在第一象限．若为等腰三角形，则的内心的坐标为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】在椭圆中，，，所以，所以，，，所以，因为为等腰三角形，且点在第一象限，所以或，且，所以，由椭圆定义可得，所以，设的内切圆与边，，的切点分别为，，，则，由为等腰三角形知，是边的中点，由圆的切线性质知，，所以点的横坐标为，即点的横坐标为，连接，则，且，所以的面积，设的内切圆半径为，又因为，所以，所以点的纵坐标为，所以的内心的坐标为，故选：D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.在等差数列中，，，为数列的前项和，则下列结论正确的有（）A.数列是递增数列 B.数列是等差数列C. D.数列的前8项和为50【答案】ABD【解析】对于A：设等差数列的公差为，则即解得所以.因为，所以数列是递增数列，A正确．对于B：因为，所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列．B正确．对于C：因为，所以当时，，当时，，所以，，C错误．对于D：数列的前8项和为：，D正确．故选：ABD．10.已知直线，圆，则下列说法正确的有（）A.直线过定点B.圆心到直线距离的最大值是C.直线被圆截得的弦长的最小值是2D.若点在圆上，则的取值范围是【答案】BCD【解析】由题意，直线点斜式方程为，所以直线是斜率为，且过点的直线，所以直线过定点．故A错误．圆的圆心为，半径．因为，所以点在圆内．设圆心到直线的距离为，则当时，取最大值，且最大值为．因为直线的斜率为，所以当取得最大值时，，符合题意，所以圆心到直线距离的最大值是．故B正确．设直线被圆截得的弦长为，则，当取最大值时，取最小值．由B选项的分析知，的最大值是，所以的最小值是．故C正确．设坐标原点为，则．因为，所以点在圆内．由圆的几何性质得，，即，所以．故D正确．故选：BCD．11.下列说法中，正确的有（）A.若，则B.的展开式中，所有项的系数之和是C.的展开式中，的系数是D.从中任取个数字，从中任取个数字，一共可以组成个没有重复数字的五位数【答案】ACD【解析】因为，所以由，得．解得，故A正确；令，则的展开式中，所有项的系数之和是，故B错误；因为的展开式中，含的项的构成是个式子取，有个式子取常数，所以的系数是，故C正确；从中任取个数字，有种不同的取法；从中任取个数字，有种不同的取法．取出的个数字可以组成个没有重复数字的五位数，所以一共可以组成个没有重复数字的五位数，故D正确．故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.设数列是由正数组成的等比数列，公比，且，那么_____【答案】【解析】由题意可得，所以.故答案为：.13.已知直线与平行，且与间的距离是，则______．【答案】或23【解析】直线与平行，所以，解得，所以直线的方程为，即为．因为直线与间的距离是，即，所以，解得或，所以或．故答案为：或23.14.在的展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数成等差数列，则______．【答案】14或23【解析】由题意得，．在展开式中，第9项、第10项、第11项的二项式系数分别为，，，可得，即，化简得，解得或．故答案为：14或23.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知等差数列的前项和为，且满足，．（1）求数列的通项公式；（2）求使成立的的最小值．解：（1）设等差数列的公差为．因为，所以．因为，所以．所以．（2）由（1）得，所以，所以．，即，即，解得或．所以当时，成立，又因为，所以的最小值为9．16.已知数列满足，．（1）若，求证：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式；（3）设，求数列的前项和．（1）证明：因为，，所以．所以，所以，即．又因为，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列．（2）解：由（1）得，，即，所以．（3）解：由（2）得，所以．所以.17.在平面直角坐标系中，曲线上的点均满足到点的距离等于到直线的距离．（1）请说明曲线是什么曲线，求曲线的标准方程；（2）过点的直线与曲线交于，两点，证明：为钝角三角形．解：（1）设是曲线上任意一点，点到直线距离为．由题意，得点不在直线上，且．由抛物线的定义知，曲线是以点为焦点，直线为准线的抛物线．因为，直线，所以曲线是开口向上的抛物线．设抛物线的标准方程为，则，所以抛物线的标准方程为．（2）证明：因为直线与抛物线交于，两点，所以直线的斜率存在，设为．因为直线过点，所以直线的方程为．设，．由消去，整理得，，则，．因为，所以．因为点，，不共线，所以和的夹角为钝角，所以为钝角三角形．18.设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，．（1）求数列，的通项公式；（2）当时，记，求数列的前项和．解：（1）设a1＝a，由题意可得，解得，或，当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1；当时，an（2n+79），bn＝9•；（2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1，∴cn，∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•，∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•，∴Tn＝2（2n﹣1）•3，∴Tn＝6．19.已知双曲线（，）的实轴长为2，离心率，左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点．（1）求双曲线的标准方程；（2）求直线的斜率的取值范围；（3）设，直线，直线与双曲线的右支分别交于，两点，求证：直线过定点．（1）解：由题意，得解得因为，所以双曲线的标准方程为．（2）解：由（1）知，双曲线的方程为，所以