2026届河北省高三数学高考二模模拟试卷（含答案详解与评分标准）

2026届河北省高三数学高考二模模拟试卷（含答案详解与评分标准）学校：________________班级：________________姓名：________________考号：________________考试时间：120分钟满分：150分考试节点：高考二模适用年级：高三注意事项：1．本试卷用于2026届河北省高三高考二模阶段综合检测，重点考查基础知识、关键能力、数学思想方法与考前综合运用能力。2．答题前，考生务必将学校、班级、姓名、考号填写清楚；选择题和填空题答案写在指定答题栏内，解答题写在相应作答区内。3．作答时要求书写规范，推理清楚；涉及计算的题目应写出必要步骤，只有结果而无过程的解答题不得满分。4．全卷共22题，满分150分。选择题每题只有一个正确选项；填空题只写最终结果；解答题按步骤给分。题型题量每题分值合计分值单项选择题10题3分30分填空题6题3分18分解答题6题17分102分一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。1．设复数，则等于（）。（3分）A．B．C．D．2．已知集合，，则为（）。（3分）A．B．C．D．3．在二项式的展开式中，的系数为（）。（3分）A．B．C．D．4．等差数列中，，，则等于（）。（3分）A．B．C．D．5．若，且，则的值为（）。（3分）A．B．C．D．6．袋中有3个红球、2个白球，除颜色外完全相同。从中不放回地任取2个球，则2个球颜色相同的概率为（）。（3分）A．B．C．D．7．在中，，，，点为的中点，则的长为（）。（3分）A．B．C．D．8．圆上一点外的点向该圆作切线，则切线长为（）。（3分）A．B．C．D．9．函数在上的零点个数为（）。（3分）A．B．C．D．10．在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点A到平面B₁CD的距离为（）。（3分）A．B．C．D．选择题答题栏（考生填写）题号12345678910答案二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。请把答案填写在答题栏相应位置。11．曲线在点处的切线方程为__________。（3分）12．的展开式中的常数项为__________。（3分）13．随机变量，且，则=__________。（3分）14．圆与点所作切线的切线长为__________。（3分）15．若数列的前项和，则=__________。（3分）16．已知向量，，若，则=__________。（3分）填空题答题栏（考生填写）题号111213141516答案三、解答题：本题共6小题，每小题17分，共102分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（17分）在中，角的对边分别为。已知，，。（1）求边a的长；（2）求sinB的值，并说明所用的三角形关系。【作答区】

18．（17分）已知数列满足，且。（1）求的通项公式；（2）设，求。【作答区】

19．（17分）某校高三年级为了解二模前数学阶段复习效果，从参加模拟测试的学生中随机抽取100份试卷，得到数学成绩的分组统计表如下：成绩区间[80,90)[90,100)[100,110)[110,120)[120,130]人数515303020（1）用各组中点估计本次抽样成绩的平均数；（2）若按上述五个分数段进行分层抽样，从100人中抽取20人参加复习访谈，求各分数段应抽取的人数；（3）在最高分数段抽取的4名学生中，二模前一次小测成绩分别为121分、124分、126分、129分。现从这4人中随机选2人作学习经验交流，求所选两人的小测成绩差不超过4分的概率。【作答区】

20．（17分）如图形关系所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，取通常的顶点命名顺序。（1）证明：BD₁⟂平面AB₁C；（2）求直线AC₁与平面BCD₁所成角的正弦值。【作答区】

21．（17分）已知椭圆E的中心为坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长为2，焦距为2。设左右焦点分别为F₁，F₂。（1）求椭圆E的标准方程；（2）过右顶点A作直线l与椭圆E交于另一点P，若三角形F₁PF₂的面积为√3，求直线l的方程。【作答区】

22．（17分）设函数，其中为实数。（1）当时，证明对任意成立；（2）求使对任意恒成立的实数的值；（3）讨论方程恰有两个不同实根时的取值范围。【作答区】

参考答案与解析一、客观题答案汇总题号12345678910答案AAACABCBAB分值3333333333题号111213141516答案y=x-12036/125√7312分值333333选择题评分标准：每题3分，选对得3分，不选、错选均得0分。填空题评分标准：每题3分，结果正确得3分；结果等价但形式不同且无歧义的，按正确处理。客观题评分补充说明：选择题只按最终选项评分，考生在试卷空白处所作演算不单独计分；若答题栏与题目旁标记不一致，以答题栏中清楚填写的选项为准。填空题可接受与标准答案等价的形式，例如分数、小数、根式化简前后的等价结果均可按正确处理，但答案中同时出现两个互相矛盾的结果时不得满分。涉及方程、概率、向量或导数的填空题，只填写最终结果即可；若结果带有不必要的条件限制，且未改变答案含义，可按正确处理。二、选择题解析1．答案A。由模的性质，。故选A。评分标准：选A得3分。2．答案A。的解集为；由得。所以交集为。评分标准：选A得3分。3．答案A。通项为，指数为。令，得，系数为。评分标准：选A得3分。4．答案C。设首项为，公差为。由，，两式联立得，故。评分标准：选C得3分。5．答案A。两边平方得，故。评分标准：选A得3分。6．答案B。共有种取法；同色取法为种，概率为。评分标准：选B得3分。7．答案C。由余弦定理得。中线长公式给出。评分标准：选C得3分。8．答案B。圆的标准方程为，圆心，半径。中点外距为，切线长。评分标准：选B得3分。9．答案A。，最大值在处取得；。函数最大值仍小于0，故无零点。评分标准：选A得3分。10．答案B。建立空间直角坐标系：A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，B₁(2,0,2)。平面B₁CD的法向量可取(0,1,1)，平面方程为y+z=2。点A到该平面的距离为2/√2=√2。评分标准：选B得3分。三、填空题解析11．答案。因为，在处斜率为1，过点得切线方程。评分标准：写出该方程得3分。12．答案。展开项为，常数项满足，即，常数项为。评分标准：答案20得3分。13．答案。由得，于是。评分标准：结果等价得3分。14．答案。点到圆心的距离为4，半径为3，切线长。评分标准：写出得3分。15．答案。。评分标准：答案31得3分。16．答案。向量垂直则数量积为0，，故。评分标准：答案2得3分。四、解答题详解与评分标准17．解析：（1）由余弦定理，，所以。（2）由，再由正弦定理，得。评分标准：写出余弦定理并正确代入得4分；求出a²=46得3分；得到a=√46得2分；求出sinA得3分；正确使用正弦定理得3分；得到sinB的正确结果得2分。共17分。评分明细表：得分步骤评分要点分值第一问建式写出余弦定理并把b=5、c=6、cosA=1/4正确代入4分第一问计算化简得到a²=46，计算过程无符号错误3分第一问结果写出a=√46，边长取正值2分第二问角值由cosA求出sinA=√15/43分第二问关系正确使用正弦定理建立sinB/b=sinA/a3分第二问结果得到sinB=5√15/(4√46)或等价形式2分规范作答提示：本题以余弦定理和正弦定理为主线，第一问先由两边及夹角确定第三边，第二问再由同一三角形中的边角对应关系求正弦值。作答时应注意边长必须取正值，不能在a²=46后直接写a=±√46；求sinA时，由于A为三角形内角且cosA=1/4>0，应取正的平方根。第二问若使用面积公式或向量方法，只要能严格推出sinB的正确值，也可按相同步骤给分。18．解析：（1）由递推式累加，，即。（2），因此。评分标准：写出累加思路得3分；正确处理求和得5分；得到通项a_n=n(n+1)得2分；将b_n分解为1/n-1/(n+1)得4分；写出T_n=n/(n+1)得3分。共17分。评分明细表：得分步骤评分要点分值递推累加把a_{n+1}-a_n=2n+2转化为从k=1到n-1的求和3分求和化简正确计算等差项求和并合并常数项5分通项结论得到a_n=n(n+1)2分裂项分解写出1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)4分求和结果利用消项得到T_n=n/(n+1)3分规范作答提示：本题考查递推数列的累加法与裂项相消求和。第一问不能只观察前几项后写出通项，应给出从递推式到求和式的推导；若用数学归纳法验证通项，也应写出初始项和归纳递推两个环节。第二问的核心是把1/[n(n+1)]拆成相邻两项之差，写清首尾抵消后剩下的项。若考生先求出若干项再概括，应补充一般项理由，否则只给部分过程分。19．解析：（1）各组中点依次为85，95，105，115，125。估计平均数为(85×5+95×15+105×30+115×30+125×20)/100=109.5。（2）按分层抽样抽取20人，抽样比为20/100=1/5，各分数段人数分别为1，3，6，6，4。（3）从4人中任选2人共有6种等可能结果。成绩差不超过4分的组合为(121,124)，(124,126)，(126,129)，共3种，所以概率为3/6=1/2。评分标准：列出组中点得2分；加权平均计算正确得5分；抽样比正确得2分；五段抽取人数正确得3分；列出总基本事件数得2分；列出符合条件事件数并求得概率得3分。共17分。评分明细表：得分步骤评分要点分值平均数准备准确写出五个组中点85、95、105、115、1252分平均数计算按频数加权并算得109.55分分层抽样比写出抽样比1/52分分层人数得到1、3、6、6、4，且总数为203分基本事件列出或说明任选2人的总情况数为62分概率结果找出3种符合条件的组合并得出概率1/23分规范作答提示：本题属于二模阶段常见的统计与概率综合题，计算量不大，但要求数据读取准确。估计平均数必须用组中点与频数加权，不可把各区间端点直接平均后再平均。分层抽样应保持原样本比例，五段人数之和要回到20。最后一问属于古典概型，应说明“任选2人”的基本事件等可能；若仅写概率而没有列出符合条件的组合，过程分会减少。20．解析：以A为坐标原点，AB、AD、AA₁分别为x、y、z轴正方向，建立空间直角坐标系。则A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,2,0)，D₁(0,2,2)，B₁(2,0,2)，C₁(2,2,2)。（1）向量BD₁=(-2,2,2)，AB₁=(2,0,2)，AC=(2,2,0)。有BD₁·AB₁=-4+0+4=0，BD₁·AC=-4+4+0=0。AB₁与AC为平面AB₁C内两条相交直线，故BD₁⟂平面AB₁C。（2）平面BCD₁内取BC=(0,2,0)，BD₁=(-2,2,2)，其法向量可取n=(1,0,1)。直线AC₁的方向向量为v=(2,2,2)。设直线与平面所成角为θ，则sinθ=|v·n|/(|v||n|)=4/(2√3·√2)=√6/3。评分标准：建立坐标系并写出关键点坐标得3分；写出两组向量并验证两个数量积为0得6分；说明两条相交直线确定平面从而完成证明得2分；求出平面法向量得3分；按线面角公式计算得3分。共17分。评分明细表：得分步骤评分要点分值建系与坐标建立合理空间直角坐标系并写出A、B、C、D1、B1等坐标3分垂直验证写出BD1、AB1、AC的坐标并验证两个数量积为06分证明收束说明AB1与AC是平面内相交直线，得到线面垂直2分法向量求出平面BCD1的一个法向量3分线面角使用sinθ=|v·n|/(|v||n|)并算得√6/33分规范作答提示：本题用空间向量处理线面位置关系与线面角。证明线面垂直时，不能只证明一条线与平面内一条线垂直，必须找到平面内两条相交直线并分别验证垂直。求线面角时，直线方向向量与平面法向量夹角的余弦绝对值等于线面角的正弦值，这是常见易混点；若误把结果当成余弦值，应扣除相应计算分。建立坐标系时方向可不同，但坐标、向量和结论必须自洽。21．解析：（1）由题意，焦距为2，所以，于是。椭圆方程为。（2）右顶点A(2,0)，左右焦点分别为F₁(-1,0)，F₂(1,0)。三角形F₁PF₂的底F₁F₂=2，面积为√3，因此点P到x轴的距离为√3，即|y_P|=√3。代入椭圆方程得x_P=0。故P为(0,√3)或(0,-√3)。当P(0,√3)时，直线AP的斜率为(√3-0)/(0-2)=-√3/2，方程为y=-(√3/2)(x-2)；当P(0,-√3)时，斜率为√3/2，方程为y=(√3/2)(x-2)。评分标准：由a、c求出b²得4分；写出椭圆标准方程得3分；由面积关系求出|y_P|=√3得3分；代入椭圆求出P的横坐标得3分；分别写出两条直线方程得4分。共17分。评分明细表：得分步骤评分要点分值参数求解由长半轴a=2、焦距2得c=1并求出b²=34分椭圆方程写出x²/4+y²/3=13分面积转化由底F1F2=2和面积√3得|y_P|=√33分交点确定代入椭圆方程求得x_P=0，得到两个P点3分直线方程分别写出y=-(√3/2)(x-2)与y=(√3/2)(x-2)4分规范作答提示：本题考查椭圆基本量、面积转化与直线方程。第一问要先确定焦点在x轴上，再使用a²=b²+c²求出b²；若把焦距2误作c=2，后续方程将整体错误。第二问中三角形F1PF2的底在x轴上，面积条件等价于点P到x轴的距离确定，这是降维转化的关键。由于P可在x轴上方或下方，应分别写出两条直线方程，漏写一条只能获得部分结果分。22．解析：（1）当时，。，当时导数小于0；当时导数大于0，故是最小值点，且，所以。（2）若，取且绝对值充分大时，不能恒为非负。故应有。当时，极小值点满足，即，最小值为。令，其最大值在处为1，所以只可能在成立。故所求。（3）当a≤0时，函数单调递增或在整体上只有一次穿越，方程不可能有两个不同实根。若a>0，函数先减后增，极小值为a-alna-1。由第（2）问可知当a=1时极小值为0，仅有一个重根；当a>0且a≠1时极小值小于0，而两端极限均为正无穷，因此方程恰有两个不同实根。故取值范围为a>0且a≠1。评分标准：第（1）问求导并判断单调性得5分，得到最小值0并完成证明得2分；第（2）问排除a≤0得2分，求出极小值表达式得4分，利用g(a)最大值得出a=1得2分；第（3）问结合图象或单调性分类讨论并得出a>0且a≠1得2分。共17分。评分明细表：得分步骤评分要点分值第（1）问导数求出f1′(x)=e^x-1并据此判断单调性5分第（1）问最值说明x=0处最小且最小值为02分第（2）问范围正确排除a≤0并转入a>0情形2分第（2）问极值在x=lna处求出最小值a-alna-14分第（2）问结论利用g(a)最大值为1得a=12分第（3）问根数分类说明a>0且a≠1时恰有两个不同实根2分规范作答提示：本题是函数与导数的综合压轴题，关键在于把恒成立问题转化为最小值问题，把根的个数问题转化为函数图象与极值的关系。第（1）问只需证明e^x-x-1的最小值为0；第（2）问应先排除a≤0，再讨论a>0时的唯一极小值；第（3）问要把a=1的切触情形与a>0且a≠1的两根情形区分开。若只凭图象直观给出结论而没有导数或极值支撑，过程分不应给足。五、全卷评分标准补充说明1．本卷满分150分，选择题30分、填空题18分、解答题102分。评分时应先核对题号与答案编号，确保第1至第22题逐题对应，不因答题位置轻微偏移而误判；若考生在同一题中出现多个答案，应以最后明确保留且未被划去的答案为准，无法判断取舍时按该题评分规则处理。2．选择题只看最终选项，不因演算过程有无而增减分。若答题栏中选项字母清楚但题号旁另有草稿标记，以答题栏为准；若出现两个选项且没有划去其中一个，则按多选或答案不明处理。填空题只看最终结果，结果书写应完整，包括必要的根号、分式、正负号、区间端点和参数条件。3．解答题按步骤给分。某一步计算错误导致后续结果受影响，但后续推理方法正确且与错误结果逻辑一致的，可酌情给后续方法分；若关键公式、定理或模型选择错误，导致解题方向根本不成立，则该部分相应过程分不得给出。证明题需有明确逻辑链条，只写结论不得满分。4．代数化简、根式化简、分式化简不要求形式唯一，但必须与标准答案等价。涉及概率的结果可写成最简分数、小数或百分数；涉及直线方程的结果可写成点斜式、斜截式或一般式，但应能唯一表示同一直线。涉及范围或参数的题目，端点开闭必须准确。5．空间向量题允许使用综合几何法、向量法或坐标法。使用向量法时，应写出必要的坐标、方向向量或法向量；使用综合法时，应说明垂直、平行、夹角关系的依据。只画图但未给出证明文字或计算依据的，不作为完整解答。6．导数题评分重在函数定义域、导数、单调性、极值和结论之间的衔接。若漏写定义域但未影响后续讨论，可酌情扣少量分；若在端点、极限或参数分类处缺少必要说明，应按影响程度扣分。对于恒成立与根的个数问题，必须说明极值与端点趋势或图象交点之间的关系。7．统计与概率题应区分估计、抽样与古典概型三个层次。估计平均数要说明组中点，分层抽样要体现比例不变，古典概型要说明基本事件等可能。若样本总量、抽样比或基本事件总数写错，后续结果即使形式正确，也只能按对应步骤给分。8．圆锥曲线题中，方程、焦点、顶点、面积和斜率之间的转化必须有依据。若椭圆焦距、焦半距、长半轴、短半轴概念混淆，应扣除参数求解分；若第二问只求出一个交点或一条直线，应按评分表给出部分分。9．书写不规范但核心推理清楚、结果正确的，可按标准给分；若符号混乱导致无法辨认变量、角、边或向量含义，则相应步骤不得给分。考生若使用超出常规但正确的方法，应按同等数学价值给分，不因解法与参考解析不同而扣分。10．各题评分表中的分值为阅卷时的分步依据，实际评卷可在不突破题目总分的前提下进行细化。若考生解法与参考解析不同，应先判断数学事实是否正确，再对照题目目标给出相应分数；严禁因表达方式不同而扣除已经完成的有效得分。六、各板块能力考查说明1．选择题部分覆盖复数、集合、二项式、数列、三角恒等变形、概率、平面向量与几何、圆、导数、立体几何等基础模块，设置上强调“快而准”。二模阶段的选择题不仅考查计算结果，还考查能否迅速识别最短路径，例如用模的性质处理复数、用最大值判断零点个数、用点面距离公式处理空间问题。2．填空题部分侧重准确表达，答案没有选项可依赖，容易因符号、化简或条件遗漏失分。第11题考查导数几何意义，第12题考查二项式通项，第13题考查二项分布的期望和概率，第14题考查切线长，第15题考查前n项和与通项关系，第16题考查向量垂直的数量积条件。3．第17题对应三角函数与解三角形，关键能力是从边角条件中选择合适定理。余弦定理用于已知两边及夹角求第三边，正弦定理用于边角比例转化。评分时重点观察考生是否能把三角形内角的正弦取正、是否能在根式结果中保持边长为正。4．第18题对应数列，关键能力是递推关系转化和求和结构识别。累加法要求考生知道从a1累加到an时上下标的变化，裂项相消要求考生能看出相邻分母之间的联系。此题可有效区分只会代入计算与能够概括通项、组织求和过程的考生。5．第19题对应统计与概率，突出真实二模成绩情境下的数据处理。考生需要读表、估计、抽样、列举事件，过程环节清晰且每一步都可独立得分。若均值、抽样人数和概率计算均能写清楚，说明其统计意识和古典概型表达能力达到二轮复习要求。6．第20题至第22题分别对应空间向量、圆锥曲线和导数压轴。三题共同要求考生把条件转化为可计算对象：空间问题转化为坐标和向量，椭圆问题转化为参数与面积，导数问题转化为单调性、极值和根数。阅卷时应特别关注推理链是否完整，因为这些题的最终答案往往依赖多个中间结论。七、逐题能力与易错点清单第1题考查复数代数式的模。关键是利用商的模等于模的商，避免先化成标准形式再计算导致分母有理化失误。易错点是把|2+i|写成3或把√2/√5化简错误。第2题考查集合交集与对数不等式。关键是先分别求出两个集合，再取公共部分。易错点是漏掉对数定义域x>1，或把开区间误写成闭区间。第3题考查二项式通项和指定项系数。关键是写出x的指数5-2k并令其等于3。易错点是漏掉负号或把组合数、2的幂次写错。第4题考查等差数列基本量。关键是用首项和公差表示已知条件并联立求解。易错点是把a2+a5的下标换算错，或在求a7时少加一项公差。第5题考查三角恒等变形。关键是对sinα+cosα平方，得到1+sin2α。易错点是忘记平方后出现交叉项，或把√3/2的平方误算成3/2。第6题考查不放回抽样概率。关键是用组合数列出总取法和同色取法。易错点是将有序取法和无序取法混用，或漏算两个白球同取的情况。第7题考查三角形边长与中线长。关键是先用余弦定理求出BC²，再用中线公式求AD。易错点是把已知两边的位置代入错误，或把中线公式中的减号写成加号。第8题考查圆的标准方程和切线长。关键是配方找圆心与半径，再用外点切线长公式。易错点是圆心纵坐标符号取反错误，或把点到圆心距离直接当切线长。第9题考查导数与函数零点。关键是求导确定最大值位置，再判断最大值仍小于0。易错点是只看端点趋势，未验证最大值，从而误判有两个零点。第10题考查空间点面距离。关键是建立坐标系，写出平面方程或法向量，并套用点到平面距离公式。易错点是法向量求错或把正方体顶点坐标顺序混淆。第11题考查导数的几何意义。关键是知道切线斜率等于导数值，过已知点写方程。易错点是把lnx在x=1处的函数值写成1，或把斜率写成0。第12题考查二项式展开常数项。关键是令通项中x的指数为0。易错点是把x与1/x的指数相加方向弄反，或把C6³算错。第13题考查二项分布。关键是先由期望求p，再代入P(X=2)的公式。易错点是把0.4和0.6的幂次写反，或漏乘组合数C3²。第14题考查圆外一点切线长。关键是确认点在圆外，使用√(d²-r²)。易错点是把d写成3或把半径、距离的先后顺序弄反。第15题考查前n项和与通项关系。关键是n≥2时an=Sn-Sn-1。易错点是直接把n=8代入Sn当作a8，或计算S7时漏掉一次项。第16题考查向量垂直。关键是数量积等于0。易错点是把(m,-1)与(1,2)的对应分量相乘后符号写错，导致m=-2。第17题考查解三角形。关键是余弦定理与正弦定理的连续使用，答案允许保留根式。易错点是边长取负、角的正弦取错符号、正弦定理比例写反。第18题考查递推数列与裂项求和。关键是把递推差分累加为通项，再把倒数拆为相邻两项之差。易错点是求和上下限错位，导致通项多出常数。第19题考查统计表阅读、分层抽样与古典概型。关键是每一步都从题中数据出发，保持样本容量一致。易错点是抽样人数不为整数或概率基本事件列举不全。第20题考查空间向量证明与线面角。关键是用两个数量积为0证明线面垂直，用法向量处理线面角。易错点是把直线与法向量夹角当作线面角。第21题考查椭圆标准方程和直线交点。关键是由a、c求b，再把面积条件转化为点P的纵坐标绝对值。易错点是漏写上下对称的两条直线。第22题考查导数中的恒成立和根的个数。关键是使用极值分析参数。易错点是没有讨论a≤0、把a=1的重根当成两个不同实根，或只画图不证明。八、解答题分步阅卷口径17题阅卷时应把第一问和第二问分开核分。第一问若能正确写出余弦定理但代入时出现一次数值错误，可保留公式分并扣除计算分；第二问若考生由面积公式、正弦定理或其他等价关系求出sinB，只要论证完整均可得相应分。若结果写成含有有理化分母的等价形式，不因形式不同扣分。18题阅卷时重点看通项推导的普遍性。只写a1=2、a2=6、a3=12然后猜出a_n=n(n+1)，但没有验证或推导的，通项部分只能给结果分。第二问若裂项方向正确但最后消项漏写首项或末项，应按求和结果扣分；若通项错误导致b_n错误，后续不再给完整求和分。19题阅卷时要区分数值读取错误和方法错误。若组中点只写错一个但加权平均方法正确，可给部分计算分；若直接用各区间人数平均成绩，则平均数方法分不得给出。第三问若列举组合不完整，但能说明总事件数为6，可给基本事件分；若把抽取顺序当作不同事件，概率约分正确且逻辑自洽，可酌情给部分分。20题阅