贵州省六盘水市2025-2026学年高二上学期期末统考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1贵州省六盘水市2025-2026学年高二上学期期末统考数学试题一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1.已知复数，则（）A.13 B. C. D.5【答案】C【解析】由题意：.故选：C.2.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题，解得，所以，又，所以.故选：B.3.空间两条直线互相平行的一个充分条件是（）A.直线没有交点 B.直线与同一个平面所成角相等C.直线都平行于同一个平面 D.直线都垂直于同一个平面【答案】D【解析】对于A，若直线没有交点，则可能异面，可能平行，故A错误；对于B，若与同一个平面所成的角相等，则直线可能相交，比如圆锥的母线和底面所成角都相等，但圆锥的母线都相交，故B错误；对于C，若都平行于同一个平面，则直线可能相交，故C错误；对于D，若都垂直于同一个平面，则直线平行，符合充分条件，故D正确.故选：D.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，得，所以，所以，所以，所以.故选：C.5.直线与圆的位置关系是（）A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交【答案】A【解析】由圆，得圆心，半径为，所以圆心到的距离为，又因为，所以，所以直线与圆相交.故选：A.6.与椭圆有公共焦点且离心率的双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】椭圆的焦点坐标为.可设双曲线方程为：，则，所以所求双曲线方程为.故选：A.7.已知都是正数，向量，若，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为且，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号.故的最小值是.故选：B.8.已知函数若方程有四个实数根且，则的值是（）A B.0 C.1 D.2【答案】A【解析】根据题意，作出函数的草图如下：由图可知，当时，方程有四个实数根，且，关于直线对称，所以；又，所以，，且，所以.所以.故选：A.二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于，两点，若点的坐标是，则下列选项正确的有（）A. B.C. D.准线方程为【答案】BC【解析】由点的坐标是，再由抛物线的定义，，得，故B正确，A错误；因为，所以准线方程为，故D错误；由，得抛物线的方程为，将代入方程得，即，当时，，直线的方程为，代入，得，即，解得或，所以.如图：当时，，直线的方程为，代入，得，即，解得或，所以.如图：所以C正确；故选：BC.10.如图，弹簧挂着的小球做上下运动，它在秒时相对于平衡位置的高度（单位：）由关系式确定，以为横坐标，为纵坐标，下列选项中正确的是（）A.小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为B.当时小球达到最高点C.小球往复运动一次经过的时间为秒D.当时，小球向下运动【答案】ACD【解析】对A：因为，所以小球在开始振动（）时的位置离平衡位置的距离为，故A正确；对B：因为，所以当时小球位于平衡位置，故B错误；对C：因为，所以小球往复运动一次经过的时间为秒，故C正确；对D：因为，所以，因为正弦函数在上单调递减，所以当时，小球向下运动，故D正确.故选：ACD.11.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面平面，，则下列说法正确的是（）A.三棱锥的四个面都是直角三角形B.四棱锥的外接球体积为C.当时，异面直线与所成角为D.直线与平面所成角的正弦值的最大值为【答案】ABD【解析】，是直角三角形，底面是边长为的正方形，所以是直角三角形，又是平面与平面的交线，，则平面，平面，可得：，故是直角三角形，又是正方形，，，平面，故平面，又平面，故平面平面，为平面与平面的交线，平面，平面，可得：，是直角三角形，三棱锥的四个面都是直角三角形，A选项正确；把四棱锥补成长方体，如下图所示，则四棱锥的外接球的直径就是长方体的体对角线，又，，则该长方体体对角线长度，即四棱锥的外接球的半径，外接球体积，故B选项正确；以为原点，方向为轴，过作垂线垂直平面，垂足为，以方向为轴，建立空间坐标系，，，，当时，，则，，由三角形面积，解得，则，故，，，，C选项错误；设直线与平面所成角为，设点到平面的距离为，即点的坐标的绝对值为，又，在中，，又，由基本不等式，当且仅当时成立，即，故最大值为，即，此时，，，D选项正确.故选：ABD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.经过两点的直线的一般式方程为___________.【答案】【解析】因为直线经过两点，所以由两点式可得直线的方程为，即.故答案为：.13.四边形中，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的表面积为___________.【答案】【解析】如图：形成的几何体是下方为圆柱，上方为圆锥的组合体.因为，，所以圆柱的底面半径为1，高为1，圆锥的底面半径为1，母线长为.所以，，，所以该几何体的表面积为.故答案为：.14.设椭圆与双曲线的离心率分别为，双曲线的渐近线的斜率小于，则的取值范围是___________.【答案】【解析】因为双曲线的渐近线的斜率小于，所以.又，，设，则，则，因为，所以，即.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或清算步骤.）15.已知三个内角的对边分别为，且.（1）求；（2）若，的面积为，求，.解：（1）由正弦定理，，因为，所以，所以,所以，因为，所以，所以.又，所以.（2）由余弦定理：，所以；又.所以.所以.16.某中学有50名入团积极分子在参加学校团课培训后进行团知识测试，根据测试成绩得到如图所示的频率分布直方图.数据的分组依次为，.（1）求成绩在的入团积极分子的人数；（2）若成绩在前25%的学生可获得“优秀学员”的称号，则成绩至少要达到多少分才可以被评为“优秀学员”？（3）从低于60分的入团积极分子中随机抽取2名学生，求这2名学生成绩在同一分组的概率.解：（1）因为，可得.所以成绩在的入团积极分子的人数约为人.（2）问题可转化为根据频率分布直方图估计数据的上四分位数.因为，，所以成绩的上四分位数在区间内，且等于.即成绩至少要达到分才可以被评为“优秀学员”.（3）成绩在入团积极分子的人数为人，记为；成绩在入团积极分子的人数为人，记为.从这5人中随机抽取2人，基本事件有：，，，，，，，，，，共10个.其中这2名学生成绩在同一分组对应的基本事件有：，，，，共4个.设事件：这2名学生成绩在同一分组，则.17.如图，在正三棱柱中，为棱的中点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的正弦值.（1）证明：因为为等边三角形，为中点，所以.又三棱柱为正三棱柱，所以平面，又平面，所以.因为平面，，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）解：过作，垂足为，连接.如图：因为，所以，所以，.所以，，设二面角，则，所以，所以.18.已知椭圆的一个顶点为，左焦点为，离心率为，为椭圆上的动点、为坐标原点，为的中点.（1）求椭圆的标准方程；（2）当的面积最大时，求直线的方程；（3）过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值.解：（1）由题意：，所以椭圆的标准方程为：.（2）因为，，所以.如图：设点所在直线，当直线与椭圆相切，且时，的面积取得最大值.将代入，得，整理得：，由，又，所以此时点坐标为：.所以直线方程为：，整理得：.（3）因为直线的斜率不能为0，可设直线的方程为：，代入，整理得：.设，，则，，所以，所以.由.设，，因为在上单调递增，所以当时，取得最小值5.所以.所以面积的最大值为：.19.在空间直角坐标系中，已知向量，点.若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程为，一般式方程可表示为.（1）若直线的方向向量为，平面的一般式方程为，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若平面经过三点，平面的一般式方程为，直线为平面与平面的交线，求平面的一般式方程，并求直线的单位方向向量（写出一个即可）；（3）已知集合，记集合中所有点构成的几何体为中所有点构成的几何体为.求几何体的体积和的表面积.解：（1）平面一般式方程为，则平面的一个法向量，设直线l与平面所成角为，所以，即直线l与平面所成角的正弦值为.（2）因为，所以，设平面的一个法向量为，则，令，得，所以平面的一个法向量为，又平面经过，所以平面的点法式方程为，即；因为平面的一般式方程为，则平面的一个法向量，设直线的一个方向向量，又直线为平面和平