（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第07讲 三角函数的图象与性质（解析版）

第页第07讲三角函数的图象与性质知识点一：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（1）在正弦函数，的图象中，五个关键点是：．（2）在余弦函数，的图象中，五个关键点是：．知识点二：正弦、余弦、正切函数的图象与性质（下表中）函数图象定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数递增区间递减区间无对称中心对称轴方程无注：正（余）弦曲线相邻两条对称轴之间的距离是；正（余）弦曲线相邻两个对称中心的距离是；正（余）弦曲线相邻两条对称轴与对称中心距离；知识点三：与的图像与性质（1）最小正周期：．（2）定义域与值域：，的定义域为R，值域为[-A，A]．（3）最值假设．①对于，②对于，（4）对称轴与对称中心．假设．①对于，②对于，正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置．正、余弦的对称中心是相应函数与轴交点的位置．（5）单调性．假设．①对于，②对于，（6）平移与伸缩由函数的图像变换为函数的图像的步骤；方法一：．先相位变换，后周期变换，再振幅变换，不妨采用谐音记忆：我们“想欺负”（相一期一幅）三角函数图像，使之变形．方法二：．先周期变换，后相位变换，再振幅变换．注：在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩（先相位后周期，即“想欺负”），但先伸缩后平移（先周期后相位）在题目中也经常出现，所以必须熟练掌握，无论哪种变化，切记每一个变换总是对变量而言的，即图像变换要看“变量”发生多大变化，而不是“角”变化多少．【解题方法总结】关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为题型一：函数的奇偶性【例题1-1】使函数为偶函数，则的一个值可以是（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，因为为偶函数，可得，所以，令，可得.故选：A.【例题1-2】函数的图像向左平移个单位得到函数的图像，若函数是偶函数，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的图像向左平移个单位，得的图像，又函数是偶函数，则有，，解得，；所以.故选：C．【变式1-1】已知的图象向左平移个单位长度后，得到函数的图象，且的图象关于y轴对称，则的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可得，故，由于的图象关于y轴对称，则为偶函数，故,即，故的最小值为，故选：B【变式1-2】函数是（

）A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为π的偶函数C．最小正周期为的奇函数D．最小正周期为的偶函数【答案】D【解析】解析：函数，故该函数为偶函数，且它的最小正周期为.故选：D.【解题方法总结】由是奇函数和是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要结论：（1）若为奇函数，则；（2）若为偶函数，则；（3）若为奇函数，则；（4）若为偶函数，则；若为奇函数，则，该函数不可能为偶函数．题型二：函数的周期性【例题2-1】将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若对满足的，总有的最小值等于，则（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】函数的周期为，将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，可得，由可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，且，不妨设，则，即在时取得最小值，由于，此时，不合题意；，此时，当时，满足题意.故选：C.【例题2-2】函数对于，都有，则的最小值为（

）.A．B．C．D．【答案】C【解析】∵恒成立，∴是函数的最小值，是函数的最大值，即、是函数的两条对称轴，则的最小值为.故选：C.【变式2-1】设函数在的图象大致如图所示，则的最小正周期为（

）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图象可知，，，解得.设函数的最小正周期为，易知，当且仅当时符合题意，此时,故选：A.【变式2-2】函数的最小正周期是______．【答案】【解析】所以最小正周期为，故答案为：【变式2-3】已知函数的最小正周期是，则______.【答案】4【解析】，所以最小正周期是，所以.故答案为：4【解题方法总结】关于三角函数周期的几个重要结论：（1）函数的周期分别为，．（2）函数，的周期均为（3）函数的周期均．题型三：函数的单调性【例题3-1】已知函数，则下列说法错误的是（

）A．的值域为B．的单调递减区间为C．为奇函数，D．不等式的解集为【答案】D【解析】因为，所以，所以，故选项A正确；由得，所以的单调递减区间为，故选项B正确；所以，所以为奇函数，故选项C正确；由得，即所以，所以不等式的解集为，故选项D错误.故选：D.【例题3-2】已知函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（

）

A．B．C．不等式的解集为D．将的图象向右平移个单位长度后所得函数的图象在上单调递增【答案】C【解析】由函数图象可知，最小正周期为，所以，将点代入，得，又，所以，故，故A错误；所以，故B错误；令，则，所以，，解得，，所以不等式的解集为，故C正确；将的图象向右平移个单位长度后，得到的图象，令，，解得，，令得，因为，故D错误.故选：C.【变式3-1】将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数（

）A．在区间上单调递减B．在区间上单调递减C．在区间上单调递增D．在区间上单调递增【答案】B【解析】函数的最小正周期是，选项AC中区间长度是一个周期，因此不可能单调，图象左右平移后也不可能单调，AC错；函数的图象向左平移个单位长度，所得图象的函数解析式为，选项B，时，，在此区间上是减函数，B正确；选项D，时，，在此区间上不是单调函数，D错误．故选：B．【变式3-2】已知函数，则（

）A．在上单调递减B．在上单调递增C．在上单调递减D．在上单调递增【答案】C【解析】因为.对于A选项，当时，在上单调递增，A错；对于B选项，当时，则在上单调递增，在上单调递减，故B错；对于C选项，当时，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，则在上单调递减，故D错.故选：C.【解题方法总结】三角函数的单调性，需将函数看成由一次函数和正弦函数组成的复合函数，利用复合函数单调区间的单调方法转化为解一元一次不等式．如函数的单调区间的确定基本思想是吧看做是一个整体，如由解出的范围，所得区间即为增区间；由解出的范围，所得区间即为减区间．若函数中，可用诱导公式将函数变为，则的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的的增区间．对于函数的单调性的讨论与以上类似处理即可．题型四：函数的对称性（对称轴、对称中心）【例题4-1】已知函数，若将的图像向右平移个单位长度后图象关于轴对称，则实数的最小值为（

）A．B．C．D．【答案】B【解析】的图像向右平移个单位长度后，变为，因的图象关于轴对称，所以为偶函数，所以，,即，,因，所以，故当时，实数取得最小值为，故选：B【例题4-2】已知，函数，的最小正周期为，将的图像向左平移个单位长度，所得图像关于轴对称，则的值是______．【答案】【解析】，函数的最小正周期为，，．将的图像向左平移个单位长度，可得的图像，根据所得图像关于轴对称，可得，，解得，，又，则令，可得的值为．故答案为：．【变式4-1】已知函数，若，且直线为图象的一条对称轴，则的最小值为______．【答案】5【解析】由，得，又，解得，所以，又直线为图象的一条对称轴，则有，，化简得，，又，故的最小值为5．故答案为：.【变式4-2】将函数的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.若函数的图象关于点对称，则的最小值为______.【答案】【解析】由题可得，的图象关于点对称，所以，解得，，故的最小值为.故答案为：.【解题方法总结】关于三角函数对称的几个重要结论；（1）函数的对称轴为，对称中心为；（2）函数的对称轴为，对称中心为；（3）函数函数无对称轴，对称中心为；（4）求函数的对称轴的方法；令，得；对称中心的求取方法；令，得，即对称中心为．（5）求函数的对称轴的方法；令得，即对称中心为题型五：函数的定义域、值域（最值）【例题5-1】实数满足，则的范围是___________.【答案】【解析】.故令，.则原式，故.故答案为：.【例题5-2】的最小值为__________.【答案】【解析】，所以当，时，取得最小值.故答案为：．【变式5-1】若关于的方程在上有实数解，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】原方程等价于即函数，在上有交点，∵，∴，，故，则.故答案为：【变式5-2】函数的最大值为______．【答案】2【解析】，其中，，.∵，，∴，∴在上单调递减，在上单调递增，∵∴当时，取得最大值．故答案为：【解题方法总结】求三角函数的最值，通常要利用正、余弦函数的有界性，一般是通过三角变换化归为下列基本类型处理．（1），设，化为一次函数在上的最值求解．（2），引入辅助角，化为，求解方法同类型（1）（3），设，化为二次函数在闭区间上的最值求解，也可以是或型．（4），设，则，故，故原函数化为二次函数在闭区间上的最值求解．题型六：三角函数性质的综合【例题6-1】已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式；(2)将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在内的零点.【解析】（1）由图象可得，，则，即，∴，由图象得，即，∴，，则，，又，∴，故；（2）将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向左平移个单位长度，得到函，∴，令，则或，解得，，或，，又，∴或，即函数在内的零点为0与.【变式6-1】，，，(1)若，求的值；(2)若函数的最小正周期为①求的值；②当时，对任意，不等式恒成立，求的取值范围【解析】（1）依题意，，当时，，（2）①由（1）知，最小正周期，得，②当时，，当时，，当，即时，的最大值为2，不等式恒成立，即恒成立，整理为，恒成立，当时，恒成立，当时，，得，综上可得，，当时，，当时，，当，即时，的最大值为0不等式恒成立，即恒成立，整理为，恒成立，当时，恒成立，当时，，得，综上可得，，综上可知，当时，，当时，.【解题方法总结】三角函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性、对称性）中，尤为重要的是对称性．因为对称性奇偶性（若函数图像关于坐标原点对称，则函数为奇函数；若函数图像关于轴对称，则函数为偶函数）；对称性周期性（相邻的两条对称轴之间的距离是；相邻的对称中心之间的距离为；相邻的对称轴与对称中心之间的距离为）；对称性单调性（在相邻的对称轴之间，函数单调，特殊的，若，函数在上单调，且，设，则深刻体现了三角函数的单调性与周期性、对称性之间的紧密联系）第07讲三角函数的图象与性质1．将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像，则下列正确的是（

）A．直线是图像的一条对称轴B．的最小正周期为C．的图像关于点对称D．在上单调递增【答案】C【解析】由，则图像向右平移个单位长度可得，，因为，所以不是图像的一条对称轴，A错；由，得的最小正周期为，B错；由，所以点是图像的一个对称中心，C正确；由，则，所以在上有增有减，D错.故选：C2．函数图象的对称轴可以是（

）A．直线B．直线C．直线D．直线【答案】A【解析】，令，解得，所以的对称轴为直线，当时，.故选：A.3．将函数的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则在区间上的值域为（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】将的图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变得到的图象，再将图象上所有点向左平移个单位长度得到的图象．当时，，．故选：C.4．已知函数，若对于任意实数x，都有，则的最小值为（

）A．2B．C．4D．8【答案】C【解析】因为对于任意实数x，都有，则有函数图象关于点对称，因此，解得，而，所以当时，取得最小值4.故选：C5．在下列四个函数中，在定义域内单调递增的有（

）A．B．C．D．【答案】C【解析】A.的增区间为，在整个定义域上不单调，故错误；B.的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误；C.在R上递增，故正确；D.的增区间是，在整个定义域上不单调，故错误；故选：C6．已知函数，，将函数的图象经过下列变换可以与的图象重合的是（

）A．向左平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向右平移个单位【答案】D【解析】因为，所以将向右平移个单位得到.故选：D7．已知函数，则关于的下列结论不正确的是（

）A．的图象关于直线对称B．的图象关于