（辅导班）2026年新高三数学暑假讲义(基础班)第10讲 平面向量的数量积及其应用（解析版）

第页第10讲平面向量的数量积及其应用知识点一．平面向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积（或内积），记作，即=，规定：零向量与任一向量的数量积为0．（2）平面向量数量积的几何意义①向量的投影：叫做向量在方向上的投影数量，当为锐角时，它是正数；当为钝角时，它是负数；当为直角时，它是0．②的几何意义：数量积等于的长度与在方向上射影的乘积．③设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．知识点二．数量积的运算律已知向量、、和实数，则：①；②；③．知识点三．数量积的性质设、都是非零向量，是与方向相同的单位向量，是与的夹角，则①．②．③当与同向时，；当与反向时，．特别地，或．④．⑤．知识点四．数量积的坐标运算已知非零向量，，为向量、的夹角．结论几何表示坐标表示模数量积夹角的充要条件的充要条件与的关系（当且仅当时等号成立）知识点五、向量中的易错点（1）平面向量的数量积是一个实数，可正、可负、可为零，且．（2）当时，由不能推出一定是零向量，这是因为任一与垂直的非零向量都有．当时，且时，也不能推出一定有，当是与垂直的非零向量，是另一与垂直的非零向量时，有，但．（3）数量积不满足结合律，即，这是因为是一个与共线的向量，而是一个与共线的向量，而与不一定共线，所以不一定等于，即凡有数量积的结合律形式的选项，一般都是错误选项．（4）非零向量夹角为锐角（或钝角）．当且仅当且（或，且【解题方法总结】（1）在上的投影是一个数量，它可以为正，可以为负，也可以等于0．（2）数量积的运算要注意时，，但时不能得到或，因为时，也有．（3）根据平面向量数量积的性质：，，等，所以平面向量数量积可以用来解决有关长度、角度、垂直的问题．（4）若、、是实数，则（）；但对于向量，就没有这样的性质，即若向量、、满足（），则不一定有，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以一个向量．（5）数量积运算不适合结合律，即，这是由于表示一个与共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线，因此与不一定相等．题型一：平面向量的数量积运算【例题1-1】已知向量，满足，且与的夹角为，则（

）A．6 B．8 C．10 D．14【答案】B【解析】由，且与的夹角为，所以.故选：B.【例题1-2】已知，，向量在方向上投影向量是，则为（

）A．12 B．8 C．-8 D．2【答案】A【解析】在方向上投影向量为，，.故选：A

【变式1-1】已知单位向量，且，若，，则（

）A．1 B．12 C．或2 D．或1【答案】D【解析】由题意单位向量，且，可知与的夹角为，因为，所以或，故当时，；当时，，故选：D.【变式1-2】如图，在中，，，为上一点，且满足，若，，则的值为（

）.

A． B． C． D．【答案】C【解析】∵，，即且，∴，又C、P、D共线，有，即，即，而，∴∴=.故选：C【变式1-3】在矩形中，与相交于点，过点作于，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】建立如图所示直角坐标系：则，设，则且，，解得，，在矩形中，为的中点，所以，由，所以，，故选：D.【解题方法总结】（1）求平面向量的数量积是较为常规的题型，最重要的方法是紧扣数量积的定义找到解题思路．（2）平面向量数量积的几何意义及坐标表示，分别突出了它的几何特征和代数特征，因而平面向量数量积是中学数学较多知识的交汇处，因此它的应用也就十分广泛．（3）平面向量的投影问题，是近几年的高考热点问题，应熟练掌握其公式：向量在向量方向上的投影为．（4）向量运算与整式运算的同与异（无坐标的向量运算）同：；；公式都可通用异：整式：，仅仅表示数；向量：（为与的夹角），使用范围广泛，通常是求模或者夹角．，通常是求最值的时候用．题型二：平面向量的夹角【例题2-1】若单位向量，满足，则向量，夹角的余弦值为____________．【答案】【解析】设向量，的夹角为，因为，所以又，所以，所以．故答案为：【例题2-2】若是夹角为的两个单位向量，则与的夹角大小为________.【答案】【解析】是夹角为的两个单位向量，则，，，，，，.故答案为：【变式2-1】已知向量和满足：，，，则与的夹角为__________．【答案】【解析】记向量和的夹角为，将平方得到：或，又因为，即．故答案为：.【变式2-2】已知向量，，，则向量与的夹角为______．【答案】【解析】，则，则，又，则故答案为：.【解题方法总结】求夹角，用数量积，由得，进而求得向量的夹角．题型三：平面向量的模长【例题3-1】已知平面向量，，满足，，且.若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，则，可得，所以.故选：A【例题3-2】已知，是非零向量，，，向量在向量方向上的投影为，则________.【答案】2【解析】∵，∴，∴，∵向量在向量方向上的投影为，∴，∴，∴，∴.故答案为：2【变式3-1】已知为单位向量，且满足，则______.【答案】【解析】为单位向量，且满足，所以，即，解得，所以.故答案为：.【变式3-2】已知平面向量满足,且，则=_________________．【答案】【解析】由,得,所以.故答案为：【变式3-3】已知向量满足，，则______．【答案】【解析】由，得，即①．又由，得，即，代入①，得，整理，得，所以．故答案为：【解题方法总结】求模长，用平方，．题型四：平面向量的投影、投影向量【例题4-1】已知向量，，则在方向上的数量投影为______.【答案】【解析】因为向量，，所以在方向上的数量投影为.故答案为：.【例题4-2】已知若向量在向量方向上的数量投影为，则实数_______．【答案】3【解析】由条件可知，向量在向量方向上的数量投影为，解得：.故答案为：3【变式4-1】已知向量，向量，则向量在向量方向上的投影为_________.【答案】【解析】.故答案为：【变式4-2】已知非零向量满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是________.【答案】【解析】因为，所以，即①.因为向量在向量方向的投影向量是，所以.所以②，将①代入②得，，又，所以.故答案为：【变式4-3】已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________.【答案】【解析】设，因为所以所以则向量在向量上的投影向量为：.故答案为：.【解题方法总结】设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．题型五：平面向量的垂直问题【例题5-1】已知向量，若，则___________.【答案】【解析】由题意可得，因为，则，解得.故答案为：【例题5-2】设非零向量，的夹角为．若，且，则____________．【答案】60°【解析】由题设，所以，又，所以.故答案为：【变式5-1】已知两单位向量的夹角为，若，且，则实数_________．【答案】【解析】因为单位向量的夹角为，所以；因为，所以，所以．故答案为：.【变式5-2】已知为单位向量，向量在向量上的投影向量是，且，则实数的值为______．【答案】【解析】因为向量在上的投影向量为，所以，又为单位向量，所以，因为，所以，所以，所以，故，故答案为：.【变式5-3】非零向量，，若，则______.【答案】【解析】因为，所以，由题易知，，所以.故答案为：【解题方法总结】题型六：建立坐标系解决向量问题【例题6-1】已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设的夹角为，，，，，，又，不妨设，，，所以，即，，由，当时，即时，有最小值．故选：B【变式6-1】已知正方形的边长为为正方形的中心，是的中点，则（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】如图，以为坐标原点，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，则，，，所以，，所以故选：C.【解题方法总结】边长为的等边三角形已知夹角的任意三角形正方形矩形平行四边形直角梯形等腰梯形圆建系必备（1）三角函数知识；（2）向量三点共线知识．设，是两个非零向量，它们的夹角是与是方向相同的单位向量，，过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．记为．1．（2023•新高考Ⅰ）已知向量，．若，则A． B． C． D．【答案】【解析】，，，，由，得，整理得：，即．故选：．2．（2022•新高考Ⅱ）已知向量，，，若，，，则A． B． C．5 D．6【答案】【解析】向量，，，，，，，，，解得实数．故选：．3．（2022•北京）在中，，，．为所在平面内的动点，且，则的取值范围是A．， B．， C．， D．，【答案】【解析】在中，，，，以为坐标原点，，所在的直线为轴，轴建立平面直角坐标系，如图：则，，，设，因为，所以，又，，所以，设，，所以，其中，当时，有最小值为，当时，有最大值为6，所以，，故选：．第10讲平面向量的数量积及其应用1．已知向量（2，1），（，3），则向量在方向上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为向量（2，1），（，3），所以向量在方向上的投影向量为，故选：C2．若向量，，则与的夹角等于（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，又因为，所以，即与的夹角等于.故选：D3．已知向量，满足，且，，则（

）A．5 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】，所以，故选：D4．若等边的边长为2，平面内一点满足，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，.故选：C.5．如图，已知的半径为2，，则（

）

A．1 B．-2 C．2 D．【答案】C【解析】由题知，为正三角形，所以，所以.故选：C6．在当中，且，已知为边的中点，则（

）.A．2 B． C． D．【答案】D【解析】因为为边的中点，所以，即，而，，，故，所以.故选：D6．已知向量，且满足，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为，所以，得，所以，，所以向量在向量上的投影向量为.故选：C7．已知非零向量，，满足，，，.则向量与的夹角（

）A．45° B．60° C．135° D．150°【答案】C【解析】∵，，∴.∵，∴，，则，设向量与的夹角为，与反向,则.故选：C.8．若向量，不共线，且，则________.【