信号与线性系统教学资料 第5讲

信号与线性系统第5讲教材位置:第3章连续信号的正交分解

§3.4-§3.5内容概要:周期信号的频谱，非周期信号的频谱，傅里叶变换2026/5/22信号与线性系统－第5讲2开讲前言-前讲回顾函数分解与正交函数集矢量分解与正交矢量空间正交函数集的定义,正交函数集的完备性函数在正交函数集的分解复变正交函数集的定义三角、指数函数集构成正交函数集信号表示为傅立叶级数三角傅立叶级数，信号表示为三角傅立叶级数的分量表示信号可表示为傅立叶级数的条件指数傅立叶级数，复振幅系数，以及与三角级数系数的关系关于信号用傅立叶级数表示的几点说明物理意义、正交函数集的范畴、被表达函数的周期性2026/5/22信号与线性系统－第5讲3开讲前言-本讲导入信号表示为傅里叶级数，即信号可由不同频率的正弦信号加权构成要知道信号由哪些频率的正弦信号组成，知道其加权值，这就是关于信号的频谱问题频谱：信号由不同频率的信号构成，各个频率信号的幅度。信号的频谱是信号的重要物理概念对周期信号进行傅里叶级数展开的同时，得到该周期信号的频谱。本讲学习周期信号的频谱分析、对称周期信号的频谱分析、非周期信号的频谱分析、傅里叶变换。2026/5/22信号与线性系统－第5讲4§3.4周期信号的频谱1、周期方波频谱分析1－10T/2Ttf(t)2026/5/22信号与线性系统－第5讲5§3.4周期信号的频谱周期方波信号频谱分析离散性－频谱是不连续的线条。谐波性－线条只出现在谐波位置。收敛性－谱线高度为该谐波的振幅，总趋势是收敛的2026/5/22信号与线性系统－第5讲6§3.4周期信号的频谱2、周期性矩形脉冲函数频谱分析脉冲幅度为A脉冲宽度为τ脉冲重复周期T一个周期内表达式展开为指数傅里叶级数复振幅表示为f(t)A----------''-T0T周期性矩形脉冲信号t''A02026/5/22信号与线性系统－第5讲7§3.4周期信号的频谱直流分量N次谐波振幅振幅与τ/T相关抽样函数

2026/5/22信号与线性系统－第5讲8§3.4周期信号的频谱频谱作图抽样函数sa(x)令T=5,在n=0,n=1,n=2,，求A0、A1、A2…各次谐波振幅。用相应长度线段代表,并按频率高低排列，得振幅频谱。三种振幅频谱表示方式复数振幅An振幅频谱An=|An|指数级数系数CnSa(x)

0π2πωAn0

2π/τ4π/τω0

2π/τ4π/τω|An|Cn0

2π/τ4π/τω2026/5/22信号与线性系统－第5讲9§3.4周期信号的频谱频谱图说明复数振幅An一般为复函数，当An为实函数时可用幅度正、负表示相位为0和π，形成幅度谱和相位谱合一，否则就必须分解为振幅频谱和相位频谱表示；振幅频谱An=|An|为实数，仅仅对幅度描述；指数级数系数Cn是复函数，引入了负频率变量，同时，振幅幅度减半。2026/5/22信号与线性系统－第5讲10§3.4周期信号的频谱－讨论

/T对频谱结构的影响不变而T增大时：谱线变密。因=2/T，故T

；谱线高度减小。An与T成反比T不变而减小时振幅过零点谐波频率提高。包络形状的变化整个频谱振幅相应减小，收敛速度降低。

0,T∞谱线密集成连续振幅趋近零且平坦无过零点这就是冲激函数的频谱02A5An

n=0

n=

n=

n=0n

2

(a)T=5

4

6

0A5Ann2(b)T=10

2

4

6

0A10Ann4(c)T=20

2

4

6

2026/5/22信号与线性系统－第5讲11§3.4周期信号的频谱－讨论频带宽度定义：对于一个信号，从零频率开始到需要考虑的最高分量的这一频率范围，是信号所占有的频带宽度，简称频宽。一般以振幅第一个过零点为频带宽度。若振幅没有过零点，则以振幅下降到最高幅度的10%所对应的频率点为频宽。信号的时间特性和频率特性间的关系时间函数中变化较快的信号必定具有较宽的频带。2026/5/22信号与线性系统－第5讲12§3.4周期信号的频谱3、对称信号的傅里叶级数四种对称关系偶函数：对称纵轴奇函数：对称原点奇谐函数：半周期镜像偶谐函数：半周期重叠任意函数f(t)的奇、偶分量表示法：2026/5/22信号与线性系统－第5讲13§3.4周期信号的频谱对称函数频谱分析周期函数展开为三角傅里叶级数

偶函数项奇函数项余弦函数为偶函数，正弦函数为奇函数偶函数只有直流分量和余弦项奇函数只有正弦项奇谐函数只有奇数谐波项偶谐函数只有偶数谐波项2026/5/22信号与线性系统－第5讲14§3.4周期信号的频谱偶函数三角级数表达式an是实数bn＝0偶函数指数级数表达式Cn是实数举例：周期三角函数-T/2Ef(t)T/2t2026/5/22信号与线性系统－第5讲15§3.4周期信号的频谱奇函数三角级数表达式an＝a0＝0bn是实数奇函数指数级数表达式Cn是虚数举例：周期锯齿波函数E/2-E/2T/2-T/2f(t)t02026/5/22信号与线性系统－第5讲16§3.4周期信号的频谱奇谐函数特征沿时间轴移半个周期；符号反转；波形不变；移动半周期横轴镜像对称奇谐函数傅里叶级数偶次谐波系数为0a2n=b2n=0T/2-T/20t2026/5/22信号与线性系统－第5讲17§3.4周期信号的频谱偶谐函数特征沿时间轴移半个周期；波形不变；半周期重叠偶谐函数傅里叶级数奇次谐波系数为0可看成T1=T/2的周期函数作为周期T分析，系数为作为周期T1分析，系数为f(t)T/2-T/20t-TT2026/5/22信号与线性系统－第5讲18§3.4周期信号的频谱－举例利用傅立叶级数的对称性判断信号含有的频率分量函数为周期偶函数且奇谐函数只含基波和奇次谐波的余弦分量函数为周期奇函数且奇谐函数只含基波和奇次谐波的正弦分量T/2-T/2T/2-T/22026/5/22信号与线性系统－第5讲19§3.4周期信号的频谱－举例函数为偶谐函数含有直流分量和偶次谐波分量函数为奇函数只含有正弦分量函数为偶函数且偶谐函数含有直流分量和偶次余弦分量T/2-T/2T/2-T/2T/2-T/22026/5/22信号与线性系统－第5讲20§3.4周期信号的频谱对称情况偶函数f(t)=f(-t)奇函数f(t)=-f(-t)性质只有常数项及余弦项a0an(n0)n=1,2,3,…bn0只有正弦项00

偶谐函数f(t

)=f(t)只有偶次谐波只有奇次谐波n=2，4，6，…n=1,2,3,…n=2，4，6，…奇谐函数f(t

)=-f(t)0n=1，3，5，…n=1，3，5，…2026/5/22信号与线性系统－第5讲21§3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱1、思路讨论周期脉冲信号的频谱函数时候发现周期无穷大成为非周期信号，频谱谱线密集变得连续，幅度收缩为无穷小；如何表示整体无穷小但仍有相对振幅差别的非周期信号频谱？通过对频谱的定义公式乘T/2，可以保持振幅之间的相对大小关系，由此产生一个对非周期信号频谱有意义的定义；考虑T趋向无穷大，对于原信号傅里叶级数求和表达式进行积分转化，得到一个很有用途的新的定义：傅里叶变换关系式2026/5/22信号与线性系统－第5讲22§3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱2、傅里叶变换定义定义f(t)为fT(t)在T

的非周期函数周期函数fT(t)的复振幅表示为两边乘T，当T

时，极限量用符号F(j)表示；当T

时，趋于无穷小用d表示，n趋于；F(j)的量纲为：单位频带的振幅，称其为原函数f(t)的频谱密度函数。2026/5/22信号与线性系统－第5讲23§3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱F(j)表示为复函数幅度频谱|F(j)|相位频谱(ω)复函数的共轭性

因为

若f(t)为实函数，则F(j)和F(-j)共轭，有下列结果

F*(j)=F(-j)进而推导，由于F(j)=|F(j)|e

-j()

则有F*(j)=|F(j)|e

j()

F(-j)=|F(-j)|e

-j(-)上面两个复函数相等，则函数的模和相角都相等，有下面等式

|F(j)|=|F(-j)|和()=-(-)结论：

|F(j)|是的偶函数，()是的奇函数。2026/5/22信号与线性系统－第5讲24§3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱用F(j)表达f(t)当T

，傅里叶变换式正反2026/5/22信号与线性系统－第5讲25§3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱傅里叶变换存在的条件非周期信号进行傅里叶积分也要满足狄利克雷条件。（有限间断点、有限极值和积分收敛）绝对可积条件的积分表达式，为以下积分收敛这是一个充分条件，不是必要条件；后面要介绍的周期函数的傅里叶变换表现出：函数虽然不是绝对可积，但存在傅里叶变换。2026/5/22信号与线性系统－第5讲26§3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱2、典型非周期信号的傅里叶变换分析宽度

，幅度A的单脉冲信号（门函数）傅里叶变换tf

(t)A0f(t)=A|t|</20|t|>/2

F(jω)

Aτ

0ω

2026/5/22信号与线性系统－第5讲27§3.5傅里叶变换与非周期信号的频谱分析包络外形是抽样函数，幅度是A

乘积频谱具有收敛性，即信号的大部分能量都集中在低频段；过0点在

为周期对应的角频率的整数倍位置与周期脉冲频谱的异同包络外形一致，原来以周期T的角频率作为基波，只在基波与谐波有值现在是连续函数当

减小时，频谱的收敛速度变慢，即脉宽与频宽成反比当

趋近0时，单脉冲近似为冲激函数，此时谱线趋近水平，幅度为脉冲面