初中因式分解讲义

第一讲因式分解初步及应用

1.因式分解

把一个多项式分解成几个整式之积的形式叫做多项式的因式分解。因式分

解是多项式乘法的逆向变形。因式分解的常用方法：提取公因式，公式法，

十字相乘法，分组分解法，配方法。

常用公式：

。2Ib）；a2+2ab-vb1=（«±/?）2；

土切（/干必+

+Z?2+c2+2QZ?+2bc4-2ca=（a+/?+c）?；

a3+c3-3abe=（〃+/?+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（。一十。"2台十十…十（州为正整数）

!®十刈（/一】十0"26_/-3/十・,，十时…2_/一】）保为偶数）

a〃+〃=（。十可（小一1一小-26+个-3户-----2~2十y-1）依为奇数）o

2.因式分解简单应用

利用因式分解解决计算、求值、解方程及证明问题，解题时主要是把所研究

的问题转化为因式分解问题。对于较复杂的数值计算可利用字母代换的方法加以

简化。

【例题】

1.提取公因式法：如果一个多项式的各项含有公因式，把这个因式提出来，

作为多项式的一个因式，再用这个因式去除这个多项式，把所得的商作为另一

个因式，这种因式分解的方法叫做提取公因式。提公因式法是因式分解中的首

选方法，不能提公因式或者提公因式后再选择其它方法。公因式的取法为：①

系数取各项整数系数的最大公约数（第一项系数为负，一般提出负号）。②字

母取各项的相同字母（有时为多项式）。③字母的指数取相同字母的最低指数。

例1、分解下列因式：(1)ma+mb;(2)m(a-b)+n(b-a);⑶

-2ayb4-iOcrb3+la2b2.

，/、/、/、,、，-2。3//—10。2//+2。282

解析：(l)m(a+b);(2;(m-n)(a-b);(3)

=-2cCb2[ab2+5b-\)

例2、分解下列各式:

(1)\2xy2(a-b)2-24/y\b-a)1+18孙S-a)3；

(a2+ab-ac)+(ab+b2-be)+(c2-ca-cb)。

2H12xy2(a-b)2-24x2y2(b-a)2Sxy(b-a)

解析：(1),

=6xy(a-b)~(2y-4xy-3a+3b)

(a2+ab-ac)+(ah+b2-bc)+(c2-ca-cb)

\Zi/o

=(a+b-c)2

2.公式法：由于整式乘法和因式分解是互逆的过程，把乘法公式反过来用，

就可以把某些多项式分解因式，这种因式分解的方法叫做公式法。用此法分解

因式时，首先要分析该多项式是否具有可用公式的特点。例如，如果多项式是

二项式，就可以考虑运用两数和乘以两数差的公式，即/一从=(〃+㈤①一切；

如果多项式是三项式，就可以考虑运用两数和的平方公式，即

22

a+2ab+b-=(a+b)o

例3、把下列各式分解因式：

(1)(x-l)+^2(l-x)：(2)9m2a2-36m2a+36nr；(3)9(〃-qf-6(〃一乡)+1。

解析：(1)(x-\)+b2(\-x)(3)9(/?-</)2-6(/?-</)+1

=[3(〃_q)『+2x3(p_q)+l

=*-1)(1-〃)

=[3(p-q)+l『

二(1)(1-〃)

=(x-1)(1+/?)(1-/?)=(3p-3q+l)2

(2)9m2a2-36m2a+36w2=9〃/(a-2)2o

3.十字相乘法：对于二次三项式的分解因式，借用一个十字叉帮助我们分解因

式，这种方法叫做十字相乘法。二次三项式ad+法+c的因式分解问题，只要

把二次项系数a分解成两个因数4和生的积，常数项c分解成两个因数，和优

的积，且使。1a+生”二b,则有a/+Z?x+c=(4x+〃J(生x+“)。因为一个整数

分解成两个因数积得形式不唯一，且要满足上述条件，故常用十字相乘的形式

进行试算，最后确定分解的结果。具体看下面例题：

2

U+p){x+q)=x+(〃+g)x+;反之Y+(p+q)xpq=(x+p)(x+q)o

22

例4、将下列各式分解因式：(1)/+5x+6；(2)x-5x+6；(3)3x-x-10o

例5、填写下列各式:

(1)x2-(a-b)x-ab=(x)(x)；

(2)x2+(a-b)x-ab=(x)(x)；

(3)x2-(a-b)x+ab=(x)(x)；

(4)x2+(a-h)x+ab=(x)(x)。

4.分组分解法：对于一个多项式，它的各项没有公因式，也不能直接使用公式

来分解，这时一般采用分组分解法来进行因式分解。其分组的原则是：分组后的

各组变形后能有公因式可提；分组后可利用公式或十字相乘法继续分解因式。

（1）如果多项式是四项式，则考虑二二分组或者三一分组。其中二二分组中的

两项能运用两数和乘以两数差的公式或提公因式;三一分组中的三项一般能运用

两数和的平方公式，一项是常数。

例6、把下列各式分解因式：（1）x2+y-xy-x；（2）a2-4ab-9+4b2

解:x2+y-xy-x/-4必-9+4/?2

=(x2-^)+(y-x)=(a2-4ab+4b2)-9

=x(x-y)-\x-y)=(a-2b)2-9

=(x-j)(x-l)=(a-2b+3)(。-2b-3)

（2）如果多项式是五项式，则考虑三二分组。其中的三项一般能运用两数和

的平方公式，两项则能提公因式。

例7、把/一6叶+9y、2x+6y因式分解。

解：x2-6町+9y2-2x+6y

=(x2-+9y2)-(2x-6y)

=(x-3yY-2(x-3y)

二(x-3)，)(x-3)，-2)

（3）如果多项式是六项式，则考虑三三分组或者三二一分组。其中三三分组

中的三项能运用两数和的平方公式，然后再用两数和乘以两数差的公式因式分

解；三二一分组中的三项一般能运用两数和的平方公式，两项则能提公因二3

一项是常数，再考虑运用两数和的平方公式因式分解。

例8、把下列各式分解因式:

(1)4a2-4ab+b2-x2-6x-9；(2)nr+n2—Sm+8/?-linn+16

解：(1)4c/2-4ab4-h2-x2-6x-9(2)m2+n2-8/n+8/?-2mn+16

=(4/-4ab+/)-(f+6x+9)

=(2a-b^-(x+3)2

=(2tz-/?+x+3)(2tz-/?-x-3)

=(nt2-2mn+/z2)-(8w-8〃)+16

=(J-8(加-〃)+16

=(，〃_〃_4y

例9、将x2y-y2z+z2x-x2z+y，+z2y-2xyz因式分解。

解析：(yz)(xty)(xz).

5.配方法：配方法是二次三项式进行因式分解的重要方法。配方法的基本步骤

是①二次三项式的二次项系数化为一，②加上并减去一次项系数一半的平方。

例10、把下列各式分解因式

(1)d-2x-3；(2)mn2n2+/?4；(3)2y2y-\.

解：(1)x~—2x—3(2)m4+trrtr+n4(3)2y2+y-1

=X2-2X-3

=x"—2x+1—1—3

=m4+22+n4-m2n2

=(X2-2X+1)-4

->r)2

=(zin-+〃~)一一团”

=(l『-4

=(m2+n24-mn)(m2+n2-mn)

=(x-1+2)(x-1-2)

=(x+l)(x-3)

…11、

=2(y+-y--)

=202+9+

记一记一5,

=21+%2]

16

=2［卜+卜斗13

y+-----

44

(\

=2(y+l)ly--

=()，+l)(2y-1)

6.因式分解的简单应用

例11、计算：

(1)20.08x200.8+200.8x89.94-2.008xl002;

⑵(1一二)(1一二)(1一』＞..(1一工)；(3)2005：+吗

22324218220053+10033

解析：(1)20080；(2;19/36；(3)设a=2005,b=1002,则1003;a-b,再利用因

式分解，得原式=3007/3008。

例12、已知a+b=l,求/+匕3+3出?的值。

解析：ay+by+3ab=(a+b)(a2-ab+b2)+3ab=a2-ab-\-b~+3ab==1。

【练习作业】

1.将下列各式分解因式:

(1)ax-3by-3ay+bx；(2)3x2+13x-10；(3)-ayb--a2b2+9ab3；(4)x6-y6；

162

(5)x-y-x2+2xy-y2+2；