初、高中数学衔接

初、高中数学知识衔接

（一）知识方面的衔接（预习之前应该做的事情）

1.绝对值

绝对值的概念始出现于初一数学课本，它是数学重要概念之一，

贯穿于整个初等数学的始终，并随着知识的发展，不断深化.

【初中】借助数轴理解绝对值的意义，并会求有理数的绝对值（绝

对值符号内不含字母）.

【高中】含绝对值不等式在选修系列4—5不等式选讲.

【建议】含字母的绝对值，简单的含绝对值的方程（不等式）的解

法.

【例1】解关于x的不等式：仇一2|V1.

【例2】解下列方程或不等式：

（1）|x+l|+|x-2|=5.（2）|x+l|+|x-2|<5.

【例3】（1）不等式组J'”2恰好有三个正整数解，求”的取值范围；

x<a

f|x-2|-2^0

（2）不等式组《，的所有解都满足不等式|x+l|<|x+〃|求

l-x23>0

的取值范围.

2.整式

整式的变形是重要的代数式的恒等变形，也是高中数学中极其常见

的运算.【初中】要求了解整式的概念，会进行简单的整式加、减运算，

乘法运算（其中的多项式相乘仅指一次式相乘）；会利用平方差、完

全平方公式进行简单计算；会用提公因式法、公式法（直接用公式不超

过二次）进行因式分解（指数是正整数）.

【高中】不再学习整式.

3.乘法公式

平方差、完全平方、立方和、立方差、完全立方、三数和平方公式

4、分解因式

提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法

【例1】分解因式：

(1)3x2-8.v-3；(2)x2-5xy+6y2：(3)2x2-Jxy+6.y2+2x-y-\2.

【例2】比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小.

【例3】把多项式---+2K+2表示成“K—1)3+力(1—1)2+°(文—1)+〃的形式.

问题：对于任意实数x,下列不等式都成立吗？为引么？

X2-80X+2010>0

5.分式

【初中】了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通

分，会进行简单的分式力口、减、乘•、除运算；会解可化为一元一次方

程的分式方程(方程中的分式不超过两个)；能确定分式函数的自变量

取值范围，并会求出函数值.

【高中】不再学习。高二选修中，有少量分式不等式的学习。

【建议】接触更复杂的分式运算(如分式拆分，分式乘方)；解可

化为一元二次方程的分式方程

思考：比较^2—r-1与2工T一-1是相等，还是互为相反数。

2、+12~x+1

【例”已知函5誓.⑴将它化为…+占皿为常数)的形式:

(2)画出函数的图象，并说明当与2—2时，)，的取值范围.

练习：将)，二厂+3x+£化为=二,,〃•+〃+—^―的形式.

x+1cx+d

14x

［例2］解方程—■—+—-——=1.

x+2J2-4x-2

【例3】(1)已知求证：(2)已知x>0,求证：X+L22.

abx

【例4】解下列不等杰爱标

问题：下列是一个同学觉得比较简单的题，请大家试试，你能全对吗：

①当x21时，L的范围是；②当1工1时.，1的范围是；

XX

③当工之一1时，，的范围是：④当时，，的范围是.

XX

6.二次根式高中阶段，我们在学习函数、解析几何、数列等内容时，

涉及到大量的与二次根式有关的计算.

【初中】了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会

用它们进行有关实数的简单四则运算（不要求分母有理化）.

【高中】会学习有理指数籍及运算。

【建议】根据需要，我们应掌握最简二次根式、同类根式的概念

与运用，分子（母）有理化，简单的无理方程（不等式）.

■心、/（A*：x]V3->/2.〃+2+」/厂—4〃+2-/—4/_

[例1]化简：（1）—f=；（2）—y=---7=■：（3）-------.H--------/（〃>2）.

V2V3+V2n+2-V/r-4“+2+J/-4

【例2】化简：⑴VH-2V18.（2）^x2+p--2（O<x<l）.

【例3】解方程：

（1）Vx2+5X4-1-2x+1=0：

（2）J2.-4-Jx+5=1；

（3）+3x-5j2f+3x+9+3=0.

【例1】不等式万iNx的解集是（）.

人.-2<x<lB.x<2C.x<\D.l<x<2

7.二次方程（组）

【初中】会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一

元二次方程.

【高中】不再学习。

【建议】（1）理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定

根的情况；（2）掌握一元二次方程根与系数的关系，并能运用它求含

有两根之和、两根之积的代数式的值，还能构造以、为根的一元二次方

程；（3）能解决二元二次方程组的相关问题。

【例1］关于"的方程〃*一2(3〃7-1)工+9，〃-1=0,〃取何值时，方程有两个不相等

的实数根？

【例2】设方程21-6工-3=()的两个根是0、a&a<0,利用根与系数的关系求:

(1)a夕；(2)”—伊.

【例3】当机取什么实数时，关于x的方程4«+(〃「2)廿(m-5)=0有一正根和一负根.

3

【例4】已知a,b,c都是实数，目a十匕十c=0,abc=l,求证：兄儿，中必有一个大于2.

/_)产=20

【例5】解方程组1，一5肛+6)产=0，

8.二次函数的图象和性质(衔接中最重要的内容)

二次函数知识的生长点在初中，而发展点则在高中，是初高中数

学衔接的重要内容.二次函数作为一种简单而基本的函数类型，是历年

来高考的一项重点考查内容，经久不衰，以它为核心内容的重点试题，

也年年有所变化.

【初中】确定二次函数的表达式，会用描点法画出二次函数的图

象，并能从图象上认识二次函数的性质，会利用二次函数的图象求一元

二次方程的近似解.

【高中】结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及

根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系。

【建议】高中教材很少专门对二次函数进行研究，所以应该更深

入地研究二次函数的图象和性质，包括：简单的图象变换、求给定自变

量X的范围的二次函数的最值、构造二次函数来解决一些问题.

【例1】对于二次函数)，=i-4x+l,分别在下列的自变

量取值范围内，求出函数的最大值、最小值.

(1)3<x<4；(2)0<x<l；(3)0<x<5.

【例2】(1)已知函数f(x)=x2+2ax+1(-1<x<2)

的最大值为4,求。的值.

⑵求函数尸2-4口最值•

(二)数学思想方法的衔接

1.配凑法、配方法、待定系数