初中数学60个几何模型专题复习：模型16垂线段最短

模型16垂线段最短

模型展现

基础模型

类型垂线段最短两条线段和的最小值问题

i

图示/

\n1■

B'BB0N\\B

点P是NAOB内部一点，点M,N分别是0A,

特点直线1外一定点A和直线1上一动点B

0B上的劫点

作点P关于0B的对称点P,过点P作0A的

结论过点A作AB_L1于点B,此时AB的值最小垂线,分别与OB.OA交于点N,M.此时PN+MN的

值最小

结论分析

结论：作点P关于0B的对称点P,过点P作0A的垂线，分别与OBQA交于点N.M.此时PN+MN的值最小

证明:如图.若M',N'为OAQB上任意一点.连接NP,MP,

则PN'=P'N',

:.PN'+M'N'=P'N,4-M'N'>P'M'>P'M,

...当P'M±OA时.PN+MN的值最小.

怎么用

1.捌莫型

遇到“一定点两动点''求线段和（其中一条线段为两动点的连线）最值问题，考虑垂线段最短模型

2.用模型

通过对称的性质，三角形的三边关系及垂线段最短确定最值点位置

满分技法

求线段和最值实质上是将线段和转化到一条直线上，结合垂线段最短解决问题.

思考延伸

经典的,，胡不归.'就是垂线段最短问题

模型典例

例1如图.在RIAABC中,NC=90:AD是NBAC的平分线，点E是AB上任意一点若AD=5.AC=4.则DE的最小

值为（）

A.3B.4C.5D.6

例2模型构造如图在△ABC中,AB=4,NBAC=45,NBAC的平分线交BC于点D,E,F分别是AD,AB上的动

点，则BE+EF的最小值是—.

例2题图

针对训练

1.如图.在RlAABC中,/C=900,AC=6,BC=2,点P是AB边上的一点（异于A.B两点），过点P分别作AC,BC

边的垂线，垂足分别为M,N,连接MN,则MN的最小值是一.

第1题图

2.如图在RtAABC中,/ACB=90t/B=30o,AC=2,点D是BC边上一个动点，连接AD,过点D作DE1AD交A

B于点E,则线段AE的最小值为一.

第2题图

3.如图、正方形ABCD的边长为IO,E为DA延长线上一动点，连接BE,以BE为边作等边△BEF,连接AF,则

4.模型迁移如图，在平面直角坐标系中，OA=3,OB=4.点P的坐标为40）,点M.N分别在线段AB.y轴上.求P

N+MN的最小值.

第4题图

5如图，某小区有一块圆形的空地。0.在。O上点A.B.C.D处安装四个景观灯.已经修好一条长为20米的经过

圆心。的直路BD,根据设计需要任边AD,CD之间再修一条小路EF,使得点E,F分别在边CD,AD上、为了美

观使得CE=DF.B是衣的中点,经测量AB=12米，并以ABCEF为顶点整修一块周长最小的五边形绿化地.试问，

是否存在符合要求的周长最小的五边形ABCEF?若存在,请求出五边形AB-CEF周长的最小值；若不存在，请说

明理由.

第5题图

例1A【解析】在RtAACD中,...AD=5,AC=4,/.CD=>/AD2-AC2=V52-42=3,当DE1AB时,DE的值

最小（垂绯殳最短）,•・•AD是/BAC的平分线,/C=9（r,，CD=DE（角平分线fflg），.'.DE的最小值为3.

例226【解析】如解图作点F关于AD的对称点F：连接BF过点B作BFUAC于点F；AD是NBAC的

平分线，，点F恰好落在AC上,••・EF=EF,即BE+EF=BE+EF'=BF',当BF'lAC时,BF取得最小值（垂线段最应），即

为BF",FAB=4,NBAC=45°,5在RtAABF中,BF”=AB-sin45°=4Xy=2x/2,.\BE+EF的最小值为2为.

AFB

例2题解图

针对训练

1.等【解析】如解图,连接PC.在△ABC中1ZACB=90°,AC=6,BC=2..\AB=y/AC2+BC2=V62+22=2

VlO.vPM^AC.P^lBC,AZPMC=ZPNC=NACB=90°,・,.四边形PMCN是矩形（三个角是直角

的四边形是矩形），，MN=PC（矩形的对角线相等）.当PC_LAB时、PC的值最小（垂线段最短），此时PC=

若=黑=噌（直角三角形等面积转化），・•・MN的最小值为争.

AB2V1055

2.；【解析】如解图，取AE的中点F,连接FD过点F作FG1BC于点G.设AE=x.则AF=DF=\AE=

AC=2,LB=30°,NACB=90。,，AB=4.BF=AB-AF=4-=•••GF={BF=2-^-,GF<DF2-^<:解得x>

224423

线段AE的最小值为

AFEB

第2题解图

3.5【解析】如解图，以点B为旋转中心，将^ABF逆时针方向旋转60；得到△GBE.连接AG,AZABG=60°,

AB=BG,AF=GE（旋转性质）,.,.AABG是等边三角形，且点G与直线AD的位置保持不变.当EG±DA时,GE的长

最短（垂线段最短）AB=AG=10,.•.最短长度为GE=^AG=5,故AF的最小值为5.刁/

第3题解图

4.解:,••OA=3,OB=4,

，AB=5,

如解图，过点P作PM'±AB于点M及y轴于点N'.

VPN+MN>PN*+N'M1.BPPN+MNNPM：根据垂线段最短可知，PN+MN的最小值为线段PM的长.

ZBAO=ZPAM,,ZAOB=ZAM'P=90°,

△ABO^AAPM；

=怒相似三角形的判定与性质），

7-PM”A0

第4题解困

.♦.PN+MN的最小值为2g

5解存在，

如解图是AC的中点且BD是。0的直径；BC=AB=12?K,ZBAD=ZBCD=90=NADB=/CDB（圆周角

定理），

由勾股定理得.AD=CD=16米.

-CE=DF,・・・AF+CE=16米,

••・L五边形ABCEF=AB+BC+CE+EF1AF=12+12+16+EF=40+EF.

••・当EF取最小值时，L五边形ABCEF就有最小值.延长CD至点G,使DG=CE,连接GF并延长，过E作EH_L

GF于点H.

CE=DF,DG=CE,

，DF=DG,

:.ZGFD=ZDGF,

又,；NADB=NCDB,NADC=NGFD+NDGF,

:.ZCDB=ZEGH.

5Z.VCE=DF,

.•・EG=CD=16米.

在RIABDC中,sinzCDF=^=

.•・在RtAEGH中，sin乙EG"=[