初中数学60个几何模型专题复习：模型 12 双角平分线模型

模型12双角平分线模型

模型展现

类型双内角平分线型双外角平分线型一内一外平分线型

幺AA

笈

图示

BCBCE

在^ABC中,BD.CD分别是在^ABC中,BD,CD分别是在△ABC中,BD,CD分别是NA

特点

ZABC,ZACB的平分线ZEBC,ZFCB的平分线BC,NACE的平分线

Z.D=90°+^z.A"==90

结论乙…。.-海

ZD=900+-2Z/l

证明:丁BD平分NABCCD平分/ACB,

：•乙DBC=^ABC,z.DCB=\z.ACB,

.•.20=180。一(4DBC+NDCB)=180°-(^/.ABC+^ACB^

=180。-：(N4BC+44CB)

=180。一;(180。一以)

=90°+*.

ZD=90°--£A

2

证明:VBD平分NEBCCD平分NFCB,

乙DBC=\LEBC,Z.DCB=:乙FCB,

?怎么用

L找模型

三角形中出现两条角平分线考虑用双角平分线模型

2.用模型

通过三角形的内角和，内外角关系及角平分线的性质，建立两角之间E勺数量关系

巧学巧记

简记：内内90。加一半，

思考延伸

一内一外平分线型结论证明，可以利用三角形的内外角关系进行证明.

•・△0=180。一（乙03c十乙DC8）二180。一（号乙EBC十g4尸C3）

=180"（/.ACB+乙4+乙ABC+4力）

=180°-1（180°+44）

=90°--Z.A.

模型拓展

拓展方向：三等分角的情况下，角之间的数量关系

类型双内角三等分线型双外角三等分线型一内一外三等分线型

AA

△A

图示

/D\必

BCBCE

在八ARC中、

在AABC中.NDBC=NABC,在^ABC中,/DBC=NEBC,

特点ZDBC=ZABC,

ZDCB=ZACBZDCB=ZFCB

ZDCE=ZACE

结论ZD=120°+ZAZD=1200-ZAZD=ZA

模型典例

例如图，在等腰4ABC中,AB=AC,BOCO分别平分/ABCNACB,若/ABC+NACB=IOO。,则NBOC的度数为

()

例题图

A.100°B,110°C.120°D,130°

针对训练

1.如图，在四边形ABCD中./DAB的平分线与四边形ABCD的外角平分线相交于点P,fiZADC+ZDCB=21

0。厕NP的度数为（）

第1题图

A.10°B,15°C.30°D.40°

2.如图,NABC=NACB.AD,BD,CD分别平分△ABC的NEAC、/ABC、NACF.以下结论:①AD〃BC;②NAC

B-2ZADB.③DB平分ZADC,④/人口（2-90。-2人8口.其中正确的结论有（）

第2题图

A.0个B.1个

C.2个D.3个

3.（创新题型-填空双空题）如图.在△ABC中,NA=7（r,NABC的平分线与NACD的平分线交于点A】，则LA.

=/A\BC的平分线与/AiCD的平分线交于点A2得/A?,...,ZA2o22BC的平分线与NA2022CD的平分

BD

第3题图

4.如图.在△ABC中,AD是高、NBAC/ABC的平分线AE.BF相交于点O.

(l)若NABC=60。,NC=40。,求NDAE的度数；

(2)若NC=60。,求NBOE的度数：

(3)若/ABC=a,ZC=0(a>B),则ZDAE=ZBOE=.(用含a,p的式子表示)

第4题图

模型12双角平分线模型

模型典例

例D【解析】•.,AB=AC,NABC+NACB=100o,，NABC=NACB=50。,；BO,CO分别平分NABCNACB,，N

OBC=\ZABC=25°,Z.OCB=^ACB=25°(角平分线的性质)，:.(BOC=180°-25°-25°=130°.

针对训练

1.B【解析】VZADC+ZDCB=21Oc,ZDAB+ZABC+ZDCB+ZADC=360°,ANDAB+NABC=150°.又/Z

DAB的平分线与四边形ABCD的外角平分线相交于点P［一内一外平分线型］,••・乙PAB+乙ABP=\z-DAB+^ABC

+1(180°-/.ABC)=900+1(zD/lF4-ZABC)=165°,AZP=180°-(ZPAB+ZABP)=15°.

2.D【解析】丁AD平分NEAC,；・ZEAC=2ZEAD,VZEAC=ZABC+ZACB,ZABC=ZACB,AZEAD-Z

ABC,.，.AD/7BC,.,.@IE^;VAD//BC,.，.ZADB=ZDBC,VBD^^ZABC,ZABC=ZACB,.,.ZABC=ZACB=2Z

DBC,.,./ACB=2NADB,.\②正确;丁BD平分NABC,.\ZABD=ZDBC=|ZABC,VZADB=ZDBC,ZADC=9

0。］乙ABC［双夕卜角平分线型］,，NADB¥NCDB,・•・③错误：:.Z.ADC=90°-^ABC,Z.ABD=^ABC,：.Z.ADC=

90。-乙ABD,:.④正确.综上所述，正确的结论有3个.

3.3S。;磊【解析】.INA=7()o,BAi,CAi分别平分乙4BC,"CD,：.4li=!”=35。［一内一外平分线

型I,同理可得，4力2=筌，由此可得“2023=；^2022=募乙1=^7-

4.解:⑴:ZABC=60°,ZC=40°,.%Z.BAC=180°-/.ABC-zC=180°-60°-40°=80°,

•・,AE是NBAC的平分线，

Z.EAC=-z.BAC=-x800=40°,

22

,.,人口是^ABC的高，

:.ZADC=90°,

AZ.CAD=90°一乙C=90°-40°=50°,

...zDAE=ZCAD-ZEAC=50°-40°=10°;

(2)：AE,BF分别是/BAC/ABC的平分线，

AOAB=^z.BAC,^.OBA=^AABC,

...Z.BOE=Z.OAB4-/.OBA=1(ZF/1C+/.ABC)=1(180°-ZC)=^x(180。-60°)=60°;

(3)|(a-/?),90

【解法提示】•/NABC=a,NC=0,.\ZBAC=1800-ZABC-ZC=1800-a-P，VAE是NBAC的平分线.二MAC=

\/-BAC=4180°-a-6)；：