安徽省2023中考数学第5章四边形第2节矩形菱形正方形试题

第五章四边形

第二节矩形、菱形、正方形

考点帮

易错自纠

易错点1判断一个四边形的形状时,忽略前提条件

1.请判断下列说法的正误，正确的画“J”，错误的画“X”.

（1）四条边都相等的四边形是正方形.（X）

（2）对角线相等且互相平分的四边形是正方形.（X）

（3）对角线互相垂直的平行四边形是正方形.（X）

（4）两条对角线分别平分一组对角的平行四边形是正方形.（X）

2.下列说法中正确的有（C）

。寸角线互相平分的四边形是平行四边形；

②时角线互相垂直的四边形是菱形；

③苏j角线巨相垂直且相等的平行四边形是止方形；

④对角线相等的平行四边形是矩形.

A.1个B.2个C.3个D.4个

易错点2混淆三角形与菱形的面积公式

3.已知某菱形的周长为8cm,高为1cm,则该菱形的面积为（八）

A.2cm’B.4cm"C.6cmJD.8cm*

4.如图，菱形/历⑦的边长为5cm,对角线物与力C交于点0,若4户6cm,贝IJ菱形力筋的面积为（D）

A.48cm2B.40cm-C.30cm2D.24cm-

方法帮

日提分特训

I

I.[2020广东广州]如图,矩形力解的对角线AC,做交于点0,AB=^,加书,过点。作OELAC,交力〃于点£过点E

作EFA.BD,垂足为F,则应电户的值为(0

.48a32r24..12

2.[2020山东青岛]如图,将矩形力鳍折叠，使点C和点力重合,折痕为EF,EF与M交于点0,若AE=5,23,则

的长为(C)

A.右B.|V5C.2x/5D.475

3.[2019宁夏]如图，已知矩形A8CD,煎£产分别是AD,力8上的点，EMC,且AE=CD.

⑴求证:加W附

(2)若〃斤1/以求tan/力房

⑴证明：丁四边形四。是矩形,

•：NR=N〃N0；"AFE+NAEF帮°.

VEFLCE,

・：NA£F+NDECWQ：

•：2AFE=/DEC.

(Z=Z>

在△力仪与△ar中,n=z

=,

.•.△AE阻ADCE'；・AF=DE.

2

⑵解：

VDEUOD,

VAF=DE,.：tanZJ/7F---—]

4.[2019宁星]如图，四边形力物的两条对角线相交于点Q且互相平分.添加下列条件,仍不能判定四边形力仅力

(0

C.AC=BDD.^ABD=^CBD

5.[2020四川乐山]如图，在菱形力戊刀中,AB=4,N物。=120°,。是定角线切的中点,过点。作庞工切于点£

连接OA.则四边形月烟的周长为(B)

K.9+2V3B.9+V3C.7+25/3D.8

6.[2020上海]己知，如图，在菱形力砥9中，点E”分别在边仍力〃上,HE=FD,"的延长线交DA的延长浅于点

G,。尸的延长线交BA的延长线于点H.

(1)求证:△应3-2\故7/;

(2)如果BE=AB*AE,求证:47二%:

⑴证明::•四边形胸是菱形,

.\DC//ABtCD=CH,4D=/B.

乂BE:DF,.：△◎/3△哪"DCF=4BCE.

又DC"AB、；・/H=/DCF=/BCE.

3

又/〃=/氏.：△初叱△比〃

(2)证明：,:B"AB・AE,.：—--.

:'Ba/AD、1.△BECS^AEG,.：—=■

■一

又AB=B&-\fiE=AG.

乂BE=DF,；.AG=DF.

7.[2020山东枣庄]如图，石尸是正方形，做刀的对角线“'上的两点，力片,AE=CFC,则四边形用:加’的周长是—

8.[2020内蒙古呼和浩特]如图,在正方形ABC。中,G是欧边上任意一点(不与点4c重合)，ML的于点

石BF//DE,交力。于点F.

⑴求证：//-9力汽

(2)四边形即应是否可能是平行四边形?如果可能,请指出此时点G的位置,如果不可能,请说明理由.

(1)证明：丁四边形力应力是正方形，

・：AB=AD,/BAF+/DAEW00.

VDELAG,

.：NDAE+NADE当»

・：/ADE=/BAF.

■:BF〃DE,

・：NBFA帮。=NAED,

4

・•・AE=BF,

.\AF-BF=AF-AE=EF.

（2）解:不可能.

理由：若四边形势明是平行四边形，则应三的

由（1）知力£=防・：AE=DE,

,：此时N£MG=45°,即点G与点。重合，

与已知矛盾，

故四边形形比'不可能是平行四边形.

真题帮

考法1与矩形有关的证明与计算（10年8考）

考法2与菱形有关的证明与计篁（10年2考）

考法3与正方形有关的证明与计算（10年6考）

考法1与矩形有关的证明与计算

L[2017安徽，10]如图，在矩形/以为中，/比5,月介3,动点户满足酸悬S-则点尸到44两点距离之和必破

的最小值为（D）

A.V29B.V34C.5夜D.VTT

2.[2018安徽，⑷矩形40中，仍毛,比当.点夕在矩形月砥9的内部，点月在边BC上,满足△/利若

△/I外是等腰三角形,则所的长为3或?.

3.[2016安徽，14]如图，在矩形纸片ABCD中,力/6,BC=IO.煎E在。上,将△颇'沿跖折整，点C恰好落在边AD

上的点尸处;点G在肝上,将△力房沿M折费，点/恰好落在线段M上的点〃处.有下列结论：

①4EBG55";②△应〜△力跖;③S「、,号^有、④AG+DF=FG.

5

其中正确的是/③”.（把所有正确结论的序号都选上）

4.[2012安徽，14]如图，〃是矩形力比刀内的任意•点,连接PA,PB,PC,如,得到△*氏△侬;4PCD,△刃H设它

们的面枳分别是S,S,S,S.给出如下结论：

（DS\+S\=Sz+Sf、

②S"S\=S\+S、\

制S2S,则S=2S;

彝S=£,则尸点在矩形的对角线上.

其中正确结论的序号是上④_（把所有正确结论的序号都填在横线上）.

考法2与菱形有关的证明与计算

5.[2015安徽,9]如图,矩形械D中，AB=8,比口,点〃在力〃上，点尸在切上，点G〃在对角线力。上,若四边形

EGF”是菱形,则力月的长是(O

A.2V5B.3V5C.5D.6

考法3与正方形有关的证明与计算

6.[2012安徽,7]为增加绿化面积,某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖,更换后，图中

阴影部分为植草区域.设正八边形与其内部小正方形的边长都为a,则阴影部分的面积为(A)

6

A.2dB.34C.4#D.5az

作业帮

基础分点练（建议用时:90分钟）

⑥考点1与矩形有关的证明与计算

1.[2020湖北十堰]已知平行四边形ABCD,下列条件：@8=用②AC=Bf）;③AC工BD;@4。平分/次〃,其中能说明

平行四边形1四是矩形的是（B）

A.①B.②C.③D.④

2.[2020江苏连云港]如图,将矩形纸片/做。沿比'折尊，使点/I落在对角线M上的力'处,若NM24°,则

N力'所等于（C）

A.66°B.60°C.57°D.48°

（第2题）（第3题）

3.[2020黑龙江牡丹江]如图,在矩形ABCD中,AB-3,心10,点£在笈边.匕DFLAE,垂足为点F.若力飞，则线段

用的长为(B)

A.2B.3C.4D.5

4.[2020山东烟台]如图，在矩形力颂中，点E在DC上,将矩形沿直线丝折叠，使点〃落在回边上的点F处.

若力庐3,BCS、则tan/%夕的值为(D)

（第4题）（第5题）

5.[2020山东荷泽]如图，矩形加CD中，A8=5,/切=12,点，在对角线3D上,且BP=BAy连接”并延长，交a’的延

长线于点Q连接BQ,则偌的长为」VT7_.

6.[2020浙江杭州]如图是一张矩形纸片，点E在/出边上,把△皮方沿直线或■对折，使点6落在对角线上的

点/；处,连接DF.若点E,F,〃在同一条直线上,4公2,则DF=2,B£=屈\.

7

7.[2020云南]已知四边形侬刀是矩形，点后是矩形40的边上的点，且EA=EC.若/出冷,/七之旧,则〃£的长

8.[2020四川乐山]如图，£是矩形ABCD的边以上的一点,AF1DE三苴R力庐3,AD2麴=1.求加的长度.

解：丁四边形/①⑦是矩形,月8月，

••・DC=AB4,/力/7=/。彳0°.

■:CEA,

22

.,.DE^2^3+I710.

'.'AFLDE,N/1心90°,

"ADF+NDAF侬:/ADF+/EDC*。°,

"EDC=/DAF,

又4DCE=NDFA戈0°,

・••△EDCSADAF、

9.[2020山东聊城]如图,在。ABC!）中,E为阳的中点，连接力万并延长交冗的延长线于点F,连接BF,AC若AD=AFt

求证：四边形月胸。是矩形.

证明：：•四边形/必切是平行四边形,

AAB//CD,

.：ZBAE=/CFE,ZABE=Z.FCE.

丁£为比的中点，

8

・・.EB=EC,/.AB=CF.

又VAB//CF,

•:四边形心?”是平行四边形.

•;AD=B&AD=AF,

.\BC=AF,.：四边形月眄?是矩形.

10.[2020贵州贵阳]如图，四边形/风力是矩形，月是比边上一点,点尸在8c的延长线上,且CF=BEy连接AE,DF.

BECF

（D求证：四边形力£7%是平行四边形；

⑵连接ED,若/47Mo°,4M,BE2求四边形月力刃的面枳.

⑴证明：丁四边形力应。是矩形，AD=BC.

;CF=BE,；.CF+EOBE+EC,即EF=BC,

.:周.：四边形力初力是平行四边形.

⑵解：：•四边形月88是矩形，.2/90°.

在Rl△力胸中，力6=1,/?£之，

"T/+2?3倔

VAD//BC,・：/DAE=/AEB.

又：*/9=/力四％90',△/跖s△切见

」——,W=[0.

由⑴知四边形月回叨是平行四边形，

.：EF=AD＜。.

.：S.^EF・1户10X4H0.

@考点2与菱形有关的证明与计算

11.[2020贵州贵阳]菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的周长是（B）

A.5B.20C.24D.32

12.[2020湖北黄冈]若菱形的周长为16,高为2,则菱形两邻角的度数之比为（B）

A.4：1B.5：1C.6：10.7：1

9

13.[2020黑龙江龙东地区]如图,菱形力筋的对角线AC,即相交于点0,过点。作〃〃J_M于点//,连接OH,若

OA=6,S色彩的。旦8,则阳的长为(A)

14.[2020四川南充]如图,面积为S的菱形ABCD中，点。为对角线的交点，点《是线段欧的中点,过点F分别作

EFLBD于点E政大47于点G则四边形分水的面积为(B)

A*SB*SC4SD15

15.[2020辽宁抚顺]如图，四边形力筋是菱形,对角线/匕加相交于点0,AC=S,BDW,点E是⑦上一点,连接OE,

若彼彳万贝IJ龙,的长是（B）

A.2B.1C.3D.4

（第15题）（第16题）

16.[2020宁夏]如图,菱形,4伙力的边长为13,对角线心24,点E,“分别是边CD,比的中点,连接环并延长与

力〃的延长线相交于点G,则EG=（B）

A.13B.10C.12D.5

17.如图，在△力磨中，N/18C90c,BD为力C边上的中线,过点。作区L加于点£过点/作切的平行线,交CE

的延长线于点F,在小的延长线上截取FG=BD,连接BG,DF.若的=13,BGG则）的长为6.

10

18.[2020江苏连云港]如图，在四边形力M2中，AD//BC,对角线砌的垂直平分线与边AD,砥分别相交于点⑼

连接制DN.

⑴求证：四边形砌"是菱形；

⑵若4%24,物V=10,求菱形画ZW的周长.

⑴证明：丁/切〃磨

"CBD=NADB,4BNO=4DMa

丁直线网，是线段协的垂直平分线，

.\OB=OD.

人公；

•:四边形醐浏/为菱形.

(2)解：：•四边形笈VZW为菱形，为小24,捌三10,

」如当必二12,〃层.MV=5.

22

在Rt2\8〃V中，BM£272_7524-122<3,

・：菱形翻网的周长为4加/=1X13-52.

19.[2020蚌埠高新区模拟]如图,相〃砒。是“上一点，如平分/仍¥且过/1C的中点0,交川于点〃DELBD,

交笈V于点E.

(I)求证：△?!"小△05〃

(2)求证：四边形力谶是菱形.

(3)若庞=4庐2,求菱形力筋的面积.

⑴证明：丁点。是M的中点,/W〃砒

.\AO=CO,^DAC=^ACB.

z=z

在△/1必和△泌中,=,

N=Z

I

（2）证明：由（1）得△/［戊七阳

・：AD=CB,

又VAM//BN,

•:四边形仍切是平行四边形.

VAM//BN,

NADB:NCBD.

丁创平分/力砒

；.4ABD=/CBD,

J4ABD=4ADB、

.\AD=Af3t

•:四边形加⑦是菱形.

⑶解:丁四边形屈力是菱形,

.\ACLBD.AD=CB=AB=Q..

又DELBD、

.t.AC//DE.

又YAM//BN,

.：四边形”瓦?是平行四边形，

；.AC=DE&EC=AD2

・・・EBA

22

在Rt△班月中，由勾股定理得匚2^/4-2-2V3,

.：SB*X2X2瓜2R.

乙4

⑥考点3与正方形有关的证明与计算

20.［2020山东滨州］下列命题是假命题的是（D）

A.对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形

B.刈角线互相垂直的矩形是正方形

C.对角线相等的菱形是正方形

D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形

12

21.[2020芜湖模拟]如图,正方形力砥9的边长为2"为力用边的中点，点F在砥边上，点）关于直线用的对称

点记为B\连接B'D,B'E,B'F.当点尸在比,边上移动使得四边形板/成为正方形时,"〃的长为（A）

A.V2B.V3C.2&D.3

22.[2020湖北恩施州]如图，正方形40的边长为4,点E在46上且庞刁，”为对角线力C上一动点，贝J△敏

周长的最小值为（B）

A.5B.6C.7D.8

23.[2020河南]如图,在边长为2程的正方形ABC。中,点E,尸分别是边AB,阳的中点,连接EC,做点6,〃分别

是EC,的中点,连接GH,则67/的长度为I.

24.[2020山东青岛]如图，在正方形ABCD中,对角线AC^j加交于点Q点£在〃的延长线匕连接AE,点F是

然的中点,连接〃厂交/切于点G,连接DF.若DE20FA则点力到力.的距离为_^一

3

25.[2020内蒙古呼伦贝尔]己知:如图,在正方形力ZO中，对角线AC,勿相交于点Q点£产分别是边BC,CD上

的点,且/切产加。.

求证：四=2见

证明：丁四边形力伙力为正方形，

：.OD=OC,/0DF=/0CEA5：°,

"D0F+/C0F郑U.

：2E0F由0°，.:/C0E+乙COFAO°,

13

C0E2D0F、

.：△飨但△〃曲

.\CE=DF.

26.[2020淮南模拟]如图，已知四边形力8切是矩形，点£在对角线“,上，点尸在边⑦上（点少与点C,，不重

合，BELEF,旦/ABE+/CEF45。.

⑴求证：四边形力阳9是正方形；

（2）连接BD,交所于点Q,求证：，耳・BC=CE-DF.

证明：（1）如图，过点〃作EALLBC十点甘.

丁四边形/I筋是矩形，

/.Elf//AB,

.：4ABE=/BEM,/BAC=4CEM.

；/ABE+/CEFX5',

.•・/BEM+/CEFA50.

又VHELEF,

.：NBAC=/CEMN5；

」/月“才5°=/BAG

・：AB=BC,

•：四边形4ra是正方形.

(2):•4BEF+ZBCF+NEFC+NEBC3600,

.../EBC+/EFCA8Q°.

又/EFC+/QFD=\80°,

；.NDFQ=NEBC

14

:•四边形，仍⑺是正方形,

"ACB=/QDF心、

如△/•制

••23—,

・：%•BC=CE・DF.

综合提升练（建议用时•50分钟）

1.[2020蚌埠新城区模拟]如图,在平行四边形ABCD中,N尻60。.G是⑦的中点,/是边力〃上的动点,用的延

长线与a'的延长线交于点g连接俏加;下列说法不正确的是（D）

A.四边形尚出'是平行四边形

B.当CELADA,四功形烟尸是矩形

C.当N4T=120°时，四边形加'是菱形

D.当址三£。时，四边形必以.是菱形

2.[2020内蒙古呼和浩特]如图,把某矩形纸片ABC力沿EF,67/折叠（点七〃在AD边匕点、F,G在肉边上），使点

4和点。落在力。边上同一点尸处，力点的对称点为下,〃点的对称点为〃'，若NQ390°,5kr*8,△-2

则矩形】加刀的长为（D）

A.6>/5>10B.6x<iO/5V2

C.3舟10D.3/10^5V2

3.[2019北京]在矩形月砥9中，必A；P,。分别为边AB,BC,山加上的点（均不与端点重合）,对于任意矩形ABCD,

下面四个结论中，

①存在无数个四边形"V7均是平行四边形；

②^在无数个四边形.蛆阳是矩形；

③存在无数个四边形是菱形；

④至少存在一个四边形MV々是正方形.

15

所有正确结论的序号是@须③.

4.[2020合肥模拟]如图,在Rt/V3中，N加CW0。，/1庐5,力>12,〃为边附上一动点（不与点B,C重合），过点〃

分别作碓UZ?于点E,PFLAC于点E连接环:点M为用的中点,连接4M则加的长度的取值范围

是备用/<6.

（笫4题）H（第5题）

5.[2020陕西]如图,在菱形ABCD中,月分6,NB=60。，点£在边物匕且AE2若直线/经过点E,将该菱形的面

积平分,并与菱形的另一•边交于点A则线段"的长为一"一

6.[2020黑龙江龙东地区]如图,在边长为4的正方形ABCD中,连接BD,将△/1切沿射线劭平移,得到△戊汨连

接EC,GC.则尾跖。的最小值为_1后一

（第6题）（第7题）

7.[2020山东滨州]如图，点，是王方形40内一点,且点，到点A,瓦。的距离分别为2疯V2,4,则正方形ABCD

的面积为14必偌.

8.[2020北京]如图,菱形/仍⑦的对角线AC,即相交于点。"是月。的中点，点F,G在/切上,EFLAB,OC-//EF.

（1）求证：四边形座/是矩形；

⑵若月〃=10,EFA求应*和BG的长.

⑴证明：丁四边形力愉为菱形,

•:点0为劭的中点.

又丁点/为，仞的中点，

.:如,为△/?做的中位线，

.,.0E//FG.

又V（X；//EF,

•:四边形丽为平行四边形.

又VEFLAB,

.:四边形第&为矩形.

⑵解：丁点£为力。的中点，力〃=10,

介5.

2

又“EFA融：EFA,

."Z2T2正了应

丁四边形/以力为菱形，

・：AB=AD=\Q

.:您W/庐5.

2

丁四边形丝的为矩形，

.：FG=OE』,

.：BG=AB-AF-FG=\0-3节之.

9.F2020合肥庐阳区模拟1如图，正方形月皿的功长为6,点£/'分别是功CD,AD上的动点，施和必交于点G.

⑴如图（1）,若点ZT为面的中点A0FD,求AG的长；

⑵如图⑵，若点尸在1〃上从点力向点〃运动，点E在.比.上从点〃向点C运动,两点同时出发匀速运动，同时

到达各自终点，求在运动过程中，点G运动的路径长；

⑶如图（3）,若点石尸分别是成力〃的中点,连接BD,与然交于点H,求/战的正切值.

FDAFDAFD

图⑴图⑵图⑶

解:

⑴如图（1）,延长BF,⑺交于点〃

图⑴

17

7点E为少的中点，."储比"3

在Ri△力力冲，由勾股定理得,AE=4汇?5力6?+3?W倔

:•四边形仍仅为正方形，

/.AB//CD,

.：—--2即上2

，DHA

.47人3+3£

VAB//CD,

.：△心小s△自留

■:------刁，

•“14L3V5

(2)如图(2),取//的中点0,连接0G.

FD

图⑵

由题意得,/伊=〃C

在△砌尸和△力必中，

(<“

二△物年入4阳

・••乙ABF=4DAE.

乂T/BAG+NDAE挈°,

"BAG+/ABG9°,即/月破加°.

:•点。是小的中点，

■:叫63

连接力C做交于点月连接。2

18

当点后与点C重合、点”与点£重合时，点G与点〃币:合,

.:点G在以点。为圆心、OAK为半径的—"上运动.

易得4QR90°,

•:点。运动的路径长为捺XnX3=^n.

⑶如图(3),过点/作/•0!_助于点Q.

图⑶

:•点F是1〃的中点，,"尸二勿三3.

了四边形40为正方形，

；.BD-J2AB6夜,ZADB45。，

.••QF=QD4、

.\fiQ=BDDQ^-,

述

•'•tanZFBD^—扁

10.[2020蚌埠六中模拟]如图(I),在平行四边形ABCD中,/胡。的平分线交加于点E,交笈的延长线于点F,

以比"厂为邻边作平行四边形ECFG.

图⑴图⑵图⑶

(D求证：四边形心是菱形.

⑵若N/f5C=120°,连接BD,BG,CG,DG,如图(2).

瞒证：△加位

②求/加6•的度数.

(3)若N/例＞90°,仍8力店14,V是"'的中点，如图⑶所示,求冽/的长.

⑴证明：丁/平分/物〃

・••/BAF=/DAF.

19

:•四边形，仍必是平行四边形,

„BC,AB〃CD,

・•.4DAF=4CEF、4BAF=4CFE,

；./CEF=/CFE,

•:CE=CF,

又：•四边形改北7是平行四边形，

.：四边形£6%是菱形.

⑵@E明：丁四边形月砥9是平行四边形，

.\AB//CD.

又/力比=120°,

•：/BCD与00,

/.ZBCF=\20°.

由（I）知，四边形疗7；尸是菱形，

:・CE=GE,/BCG*BCFRO°、

.：△&苏是等边三角形，/DCGA20：

.\CG=GE.

:EG"DF,

"BEG=/BCF=3°=Z.DCG.

VAD//BC,

"DAE=NAEB,

・：/BAE=/AEB,

•：AB=BE,

.\RE=CD,

.•.△DGC^ABGE.

鱼油①可知△仇〜△而七龙是等边三角形,

；・BG=DG,4BGE=4DGC,N出沁0°,

；,/BGE+4EGD=/CGD+/EGD=/CGE6,

.：△以心是等边三角形，

・：NBDG软。.

⑶方法一：易知当N月砥项）°时，四边形力伏力是矩形,

20

・・・CD=ABKBC=AD=\\.

由（D中结论可知当一寸，四边形ECFG为正方形.

由⑵①可知BE=AB4,

・：EC=BC-BE=14个』,即正方形比7T7的边长为6.

如图，过点必作物D于点//,则CH*FK必是△£4下的中位线,

二附部3,

.\DH=DC+CH=\\,

.:〃WlF+32N/T30.

方法二：由（1）中结论可知当/力比内0。时，四边形ECFG为正方形.

由⑵①可知应力出

连接做CM,BD.

:小为林的中点，四边形ECFG为正方形,

；・NCEM=/ECMA50,EM=C和

"BE*/DCM=\35°.

在监和△如T中，｛N=Z,

.二△BM阳△•（：、

.：8BG以N〃J£=N4位

.：ZB甘!）=/区的*+/EVD=4叫C+4£机90°,

.：△身“是等腰直角三角形.

:,力庐8,力〃=14,N砌如90°,

...BD2V65,

:.DM,BD-A0

全国视野创新练

21

数学文化[2020湖北孝感]如图(1),四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形

是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.在此图形中连接四条线段得

到如图(2)所示的图形,记阴影部分的面枳为S,空白部分的面积为S,大正方形的边长为m,小正方形的边长为

新角度[2020江西]如图,矩形纸片/皿〃中，/切4cm,4Mcm,折叠纸片使折痕经过点交力〃边于点£；点A

落在点力'处,展平后得到折痕BE，同时得到线段BA，,EA：不再添加其他线段.当图中存在30°角时,四的长

为二6J6或(8-4V3)cm.

―3——---------

参考答案

第二节矩形、菱形、正方形

Q考点帮

【易错自纠】

\.xxxx四条边都相等的四边形是菱形，故(1)错误.对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故(2)

错误.对角线互相垂直的平行四边形是菱形,故(3)错误.两条对角线分别平分一组对角的平行四边形是菱形，

故(4)错误.

2.C对角线互相平分的四边形是平行四边形，故①正确;对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故②错误;对

角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，故③正确;对角线相等的平行四边形是矩形,故④正确.故选C.

3.A该菱形的边长为894力(cn)，故其面积为2XIq(cm2).

4.D7四边形ABCD是菱形，.:AC1BD,OD=OB邓D2ce.又助巧cm,."CWcm,.：S卷影

.,^AC-BD^X8X6-24(cm2).

Q方法帮

提分特训

22

1.C由矩形的性质

得，/物如90°,OA=OD,.".BD=yl2=10,ZEAO=ZA/）B,VOELAO,.:在RtA.46^

^,OE=AE-sinZEAO.•:EF1BD,,,.在RSEFD

中，EF=DE*sin/ADB.・：OE+EF=AE・sin/EAO+DE・sin/ADB=（AE+DDsin/ADB=AD・sin/ADB3鼻吊•

2.C由折吾的性质可知OA=a',AF=CF,ACA.EF.在矩形ABCD

中、AD〃BC,.:/OAE=/OCF,4OEA=4OFC,.：△力涯△。无；.CF=AE与、；.BC=BF+CFgAF二CF%：'/B9：

・・.AB72T2^在■中，AH5力42+铲4/1,/.A0^AC=2^.

3.略

4.C7四边形/以刀的两条对角线互相平分，.：四边形4?⑦是平行四边形.添加他1放时，可判定。被⑦是菱

形;添加寸,可判定。月阳9居菱形;添加“三做可判定。力比O是矩形,不能判定它为菱形;添加乙如9=/CM

时,结合平行四边形的性质，可得/ABD=NADB,从而可得AB=AD,可判定。月由9是菱形.故选C.

5.B7四边形力应）9是菱形，。是对角线协的中点，."O_LM/切方庐4,力8〃比:又

:•2次〃=120°,.：NaW="/f〃〃="Hm=30°,」/1644/?=2,.：Z^/77?=273.X

OELCD,.：OE±,OD/、DE强ODA二四边形加物的周长为业”死次切介2H^+3

6.略

7.8遥如图,连接协交M于点〃：•四边形月筋为正方

形，.：BDUC：.OD=OB=OA=OCA・；AE=CF=2；.0A-AE=0C-CF=2N••：四边形废加为平行四边形，又

BDLEF,.：四边形应以为菱形.任RI△戊版中，由勾股定理得比力^.：四边形皮沙

的周长为4amxzVHwVS.

8.略

G真题帮

1.D过点〃作EF//AB,分别交AD,庆?于点£月以9'所在直线为对称轴，作点力关于母'的对称点月连接力'B

交"于点P',当点尸与点尸'重合时，川小阳的值最小.：豆屑S钮形iAE^XAB-/以即

力钻X5X3,解得力Q2,在Rl△力/'中，由勾股定电得力'％//瀛W,PA^PB

的最小值为

23

2.3或2:APBESADBC,N隰=NC力0°,点户在川上.分两种情况讨论：做口图(D,当

力〃为等腰三角形加力的底边时，直线PE是边力〃的垂直平分线，易知所是△〃欧的中位线，•:叫⑦方必3②

如图(2),当4?为等腰三角形“〃的腰时,必弓除&由勾股定理,得博6?+82=10,则

BP=BDT)P9飞士・•••△PBES^DBC,——,即丁磊,解得必常综上所述，电'的长为3或a

图(2)

3.(LXSXS)由折叠的性质可知，&BG=/FBG,4CBE=4EBF,则/石％工/力砥F5。，故结论①正确;根据题中条

件,无法推出RI△妍和山公力房中的两个锐角分别相等,故结论②m误；由折段的性质可

知，BH=ABX,BF=BC=\Q,则HF=BF-BH=\QYAg：队#6：4-3:2,.：必郎二五时弓知协故结论③正确；设

AG=fiG=x,由AfZ2Z阳可得FDN,FG=^~x.在昭中，根据勾股定理可得用=Qf向、

即(8-4寸比解得产3,则FGRTW,・・・AG+DF=FG、故结论@正确.综上所述,结论正确.

4.纯如图(1),过夕点作矩形力四四边的垂线.因为

S\+£=PE.AB即F*O)=>AB"E+?科=/厉・B&£+£«；・BC^PfbAD邓式PG+PM』阳*AB,所以S+S=S+S,即

②正确，而S+S与S+S不一定相等，即①m误.由S2S可以得出小N/公但是力与用的数量关系无法得出,

故无法判断W与W的关系，即③错误.如图⑵，分别过点A,C作儿Ml"CNLBP,交利的延长线于MA；连接DN.

若S-£,则那•AM-^BP•CNt即AM-CN.N1+N2-90°-Z223,所以N1-/3,N3+NA-900-/4*N5,所以

/3=/5,所以N5=N1,又AB=Cb,所以△力4侬/\微\；所以N/f物2C叨R0:即/於020%180。，点

B,P,A；〃共线，所以点，在矩形的对角线上,故④正确.

5.C如图,连接EF,与〃1交于点0.根据菱形的性质，可知EF与窗相互垂直平分.又

7CFaAE、・•・△?'()恒ACOF、；,AO=CO.在RtAABC

中，力C=J亍1卬82+4七膈,；泊0包小.：N0AE=4BAC、N/〃6,=N/1施工)0。，，：Rt△力必a;

•:一一，即竽飞，•：偌6

24

AEB

6.A由题意可知，正八边形的边长为a,即原来正方形的每一角上的等腰直角三角形的斜边长均为a,宜角边长

为多,阴影部分的面积为中间小正方形面积与四个等腰直角三角形的面枳之和,即

Q作业帮

基础分点练

1.B44=4C邻边相等的平行四边形是菱形;月小川,对角线相等的平行四边形是矩形;力CL/弦对角线互相垂直

的平行四边形是菱形；由AC平分4朋D,可推得平行四边形力皮〃是菱形.故选B.

2.C由折叠可得

4ABE=/A'BE,4BA'E=/A40°.7/阪四°,.：/力创'力00-24。与6°,,：N力'月吠3°,二/力'£刑0叽

33°-57°.

3,B7四边形力砍刀为矩形，.：〃二伙?=10,AD//BC,.・,/AEB=/DAF,又

2

VZABE=ZDFA,/.^AFD^^EBA,.：——=—,VDF=^,.：/iA-710-6MF4/.AE=5,/.EF=AF-AE^=^.

4.D7四边形ABCD为矩形，.：AD=BC石,必二月庆3.由折叠可知AF=AD=5,EF=DE.在RtAABF

中，BF7汇卬521工・：CF=BC-BFWTA.设CE=x,则EF=DE=Z-x.在RSECF

5

中，C出+Fe=EF,・・,%+/=8—外\解得才4,；.DE&X』,tan/的月」自言

•JJO«5

5.3/17在矩形ABCD中，力斤5,仞=12,NBA!）秘:根据勾股定理，可得

BDA3.•.•BP=BA与,，PD=BD-BPK4BAP=4BPA=4DPQ.TAB"CD,"BAP=/DQP,.：4DPQ=4DQP、.：DQ=DPK

.\CQ=DQ-CD=DQ-AB^-5=3.在RtZXWV中，BC=ADA2,CQ3,根据勾股定理,得.

6.2V5-1设BE=x,BC=y,则EF=x,CD=AB=AE+BE=2+x,AD=BC=y.由折叠可知

4CFE=4B40°，，/BAC+/AED侬°=/BAC+4ACB,.：/AED=/“B.又

•2DAE=/ABC,.・・2ABCs丛DAE、.：一=—,即贝4JMx喻①.〈AE"CD,.,.△AEFs^CDF、.：一--

即告一，则AF^—.在Rt△力昭中，由勾股定理,得A尾EP+A卜'则4=f*（J）：将④弋入,得4=。勺冬,整

理,得解得广而-1（负值已舍去），即EF=BE^-\,.\CD=AB=^A.由得——--,即

百T_2

；

V5+r.DF2.

25

7、或等如图，丁四边形力改力是矩

JJ

形，.：或=/屈=6,AD=BC,/月加二/协090:;.BCH-?=J（2/iO）2-62=2,.：力介2.易知点E在边切或边

松上.6点夕在口上时，丝=源以〃力戈」（6-圾2=刎巩“卷当点在月3上时（点夕'

处），£/二£'片的:£'/，.：£'/二STS'）%.:仍号,.:〃?力~「=#+谭』平.综上所

述,应3或写.

810.略

11.B由菱形的对角线互相垂直平分，易得菱形的边长为疹I彳巧，.：菱形的周长为5X440,故选B.

12.B如图，：喽形40的周长为16,高为2,.：力ZA1,J//-2.在RtAW

中,sinZ?=—.：/BA0°.：AB〃CD,，4cA30°,・•・/（：：/隐/I.

­12

13.A:•四边形ABC。是菱形,勿£."G26W=12,0B=0D.又DHIA&.:崛8〃：3共

附用8,.5。BD4&，BDK，0H=4.

14.B方法一：如图⑴，连接比了四边形力筋是菱形，."CL6〃4后%/?必放,：8树产由

4

点后是法的中点,EFA.BD,EGLAC,/B0C由0:易知点尸是阴的中点，点G是。9的中

方法二:如图⑵，连接”.：•四边形14⑺是菱形，."C_LZ?胃乜女?=能.：力时湿“产"由点/是

4

%的中点,EFLBD,EGLAC,/BCC吟0°,易知点尸是8〃的中点，点G是⑨的中点，.:用是△如C的中位

26