北师大版七-九年级全册各章节数学知识点总结

北师大版七年级上册数学各章节知识点总结

第一章丰富的图形世界

1.几何图形

从实物中抽象出来的各种图形，包括立体图形和平面图形。

立体图形：有些几何图形的各个部分不都在同一平面内，它们是立体图形。

平面图形：有些几何图形的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。

2.点、线、面、体

（1）几何图形的组成

点：线和线相交的地方是点，它是几何图形中最基本的图形。

线：面和面相交的地方是线，分为直线和曲线。

面：包围着体的是面，分为平面和曲面。

体：几何体也简称体。

（2）点动成线，线动成面，面动成体。

3.生活中的立体图形

一圆柱

生活中的立体牛煤棱柱：三棱柱、四棱柱（长方体、正方体）、五棱柱、

（按名称分）L畛厂圆维

工棱锥

4.棱柱及其有关概念：

棱：在棱柱中，任何相邻两个面的交线，都叫做棱。

恻棱：相邻两个侧面的交线叫做侧棱。

n棱柱有两个底面，n个侧面，共（n+2）个面；3n条棱，n条侧棱；2n个顶点。

5、正方体的平面展开图：11种

如电睑

与

帝脸

6.截一个正方体：用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是三角形，四边形，五边形，六边形。

7、三视图

物体的三视图指主视图、俯视图、左视图。

主视图：从正面看到的图，叫做主现图。

左视图：从左面看到的图，叫做左视图。

俯视图：从上面看到的图，叫做俯视图。

8、多边形：由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭平面图形，叫做多边形。

从一个n边形的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点，可以把这个n边形分割成（n-2）个三角形。

弧：圆上A、B两点之间的部分叫做弧。

扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。

第二章有理数及其运算

1.有理数的分类

厂正有理数］

有理数<零卜有限小数和无限循环小数

匚负有理数」

或「整数

有理数<

L分数

2.相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零

3.数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可）.任何

一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。解题时要真正掌握数形结合的思想，并能灵活运用。

4、倒数：如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

5、绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（|a|20）。零的绝对值时它本身，也

可看成它的相反数，若|a|二a,则a20；若|a|=-a,则aWO。

6.有理数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数轴上的两个点所表示的数，右边的总比左边

的大；两个负数，绝对值大的反而小。

7、有理数的运算：

（1）五种运算：力口、减、乘、除、乘方

（2）有理数的运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

（3）运算律

加法交换律a+b=b+a

加法结合律（〃+/?）+c=a+S+c）

乘法交换律ab=ba

乘法结合律（ab）c=a（bc）

乘法对加法的分配律a（b+c）=ab+ac

第三章字母表示数

1.代数式

用运算符号把数或表示数的字母连夜而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。

2.同类项

所有字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，几个常数项也是同类项。

3、合并同类项法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。

4.去括号法则

（1）括号前是“+”，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变。

（2）括号前是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变。

5.整式的运算：

整式的加减法：（1）去括号；（2）合并同类项。

第四章平面图形及其位置关系

L线段：绷紧的琴弦，人行横道线都可以近似的看做线段。线段有两个端点。

2、射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线有一个端点。

3、直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线。直线没有端点。

4.点、直线、射线和线段的表示

在几何里，我们常用字母表示图形，

一个点可以用一个大写字母表示。

一条直线可以用一个小写字母表示或用直线上两个点的大写字母表示。

一条射线可以用一个小写字母表示或用端点和射线上另一点来表示（端点字母写在前面）。

一条线段可以用一个小写字母表示或用它的端点的两个大写字母来表示。

5.点和直线的位置关系有两种：

①点在直线上，或者说直线经过这个点。

②点在直线外，或者说直线不经过这个点。

6.直线的性质

（】）直线公理：经过两个点有且只有一条直线。

（2）过一点的直线有无数条。

（3）直线是是向两方面无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小。

（4）直线上有无穷多个点。

（5）两条不同的直线至多有一个公共点。

7、线段的性质

（1）线段公理：两点之间的所有连线中，线段最短。

（2）两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。

（3）线段的中点到两端点的距离相等。

（4）线段的大小关系和它们的长度的大小关系是一致的。

8、线段的中点：

点M把线段AB分成相等的两条相等的线段AU与BU,点M叫做线段AB的中点。

9、角：

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，两条射线的公共端点叫做这个角的顶点，这两条射线叫做这个角的边。

或：角也可以看成是条射线绕着它的端点旋花而成的。

10、平角和周角：一条射线绕着它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所形成的角叫做平角。终边继续旋

转，当它又和始边重合时，所形成的角叫做周角。

11.角的表示

角的表示方法有以下四种：

①用数字表示单独的角，如/I,Z2,N3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如/Q,N8,Zy,等。

③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如NB,NC等。

④用三个大写英文字母表示任一个侑，如/BAD,ZBAE,NCAE等。

注意：用三个大写英文字母表示角时:一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。

12.角的度量

角的度量有如下规定：把一个平角18（）等分，每一份就是1度的角，单位是度，用”表示，1度记作“1。”，

n度记作“n°

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1'”。

把♦的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“川力

10=50',r=60”

13.角的性质

（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。

（2）角的大小可以度量，可以比较

（3）角可以参与运算。

14.角的平分线

从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

15.平行线：

在同一个平面内，不相交的两条宜线叫做平行线。平行用符号“〃”表示，如“AB〃CD”，读作“AB平行于CD”。

注意：

（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。

（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。

16.平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

推论：如果两条直线都和第三条在线平行，那么这两条直线也互相平行。

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。

（3）平行线的定义。

17、垂直：

两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中•条直线叫做另•条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

直线AB,CD互相垂直,记作“ABJ_CD”（或“CD_LAB”）,读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。

18、垂线的性质：

性质I：平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2:直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

19、点到直线的距离：过A点作1的垂线，垂足为B点，线段AB的长度叫做点A到直线1的距离。

20、同一平面内，两条直线的位置关系：相交或平行.

第五章一元一次方程

1、方程

含有未知数的等式叫做方程。

2.方程的解

能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。

3.等式的性质

（1）等式的两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式。

（2）等式的两边同时乘以同一个数（（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式。

4.一元一次方程

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程叫做一元一次方程。

5.解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母（2）去括号（3）移项（把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫移项。）（4）

合并同类项（5）将未知数的系数化为1

第六章生活中的数据

1.科学记数法

一般地，一个大于10的数可以表示成的形式，其中，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。

2.扇形统计图及其画法：

扇形统计四：利用圆与扇形来表示总体与部分的关系，即圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇

形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图叫做扇形统计图。

画法：

（1）计算不同部分占总体的百分比（在扇形中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360

的比，

（2）计算各个扇形的圆心角（顶点在圆心的角叫做圆心角）的度数。

（3）在圆中画出各个扇形，并标上百分比。

3.各种统计图的优缺点

条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目。

第七章折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况。

第八章扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。

第九章可能性

1.确定事件和不确定事件

（1）、确定事件

必然事件：生活中，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这些事情称为必然事件。

不可能事件：有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这些事情称为不可能事件。

（2）、不确定事件：

有些事情我们事先无法肯定它会不会发生，这些事情称为不确定事件

⑶、

必然事件

确定事件

事件不可能事件

不确定事件

2.不确定事件发生的可能性

一般地，不确定事件发生的可能性是有大小的。

必然事件发生的可能性是1

不可能事件发生的可能性是0

北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结

第一章整式的运算

一、单项式、单项式的次数：

只含有数字与字母的积的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。

一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

二、多项式

L多项式、多项式的次数、项

几个单项式的和叫做多项式。其中每个单项式叫做这个多项式的项。多项式中不含字母的项叫做常数项。多项式中次数

最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式：单项式和多项式统称为整式。

四、整式的加减法：

整式加减法的一般步骤：（1）去括号；（2）合并同类项。

五、箱的运算性质：

1.同底数凝的乘法：

2.幕的乘方：

3.枳的乘方：

4.同底数寤的除法：

六、零指数幕和负整数指数幕：

1.零指数基:

2.负整数指数累：

七、整式的乘除法：

1.单项式乘以单项式：

法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的哥分别相乘，其余的字母连同它的指数不变，作为积的因

式。

2.单项式乘以多项式：

法则：单项式与多项式相乘，就是杈据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

3.多项式乘以多项式：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

4.单项式除以单项式：

单项式相除，把系数、同底数塞分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起

作为商的一个因式.

5.多项式除以单项式：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

八、整式乘法公式：

1.平方差公式：

2、完全平方公式：

(a-b)2=a~-lab+b1

第二章平行线与相交线

一、余角和补角：

1.余角：

定义：如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角。

性质：同角或等角的余角相等。

2.补角：

定义：如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角。

性质：同角或等角的补角相等。

二、对顶角：

我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且角的两边互为反向延长线的两个角叫做对顶角。

对顶角的性质：对顶角相等。

三、同位角、内错角、同旁内角：

直线AB,CD与EF相交(或者说两条直线AB,CD被第三条直线EF所截)，构成八个角。其中N1与N5这两个

角分别在AB,CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；Z3与N5这两个角都在AB.CD

之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；N3与N6在直线AB,CD之间，并侧在EF的同侧，像这样

位置的两个角叫做同旁内角。

四、平行线的判定：

I.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。

2、两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。

3.两条直线被笫三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行。

（3）平行线的定义。

五、平行线的性质：

（I）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

六、尺规作图：

1.作一条线段等于已知线段。

2.作一个角等于已知角。

第三章生活中的数据

一、科学记数法：

一般地，一个绝对值较小的数可以表示成的形式，其中，n是负整数。

二、近似数和有效数字：

1.近似数：

利用四舍五入法取一个数的近似数时，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

2.有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个近似数的有

效数字。

三、形象统计图：

第四章概率

一、事件发生的可能性；

人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。

二、游戏是否公平：

游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。

三、摸到红球的概率：

1.概率的意义

P（掉到红球）:摸到红球可能出现的结果数

所有可能出现的结果数

2.确定事件和不确定事件的概率：

（1）必然事件发生的概率为1记作P（必然事件）=1

（2）不可能事件发生的概率为（）,P（不可能事件）=0

（3）如果A为不确定事件，那么O<P（A）<1

3.概率的求法：

一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m个结果，那么

事件A发生的概率为P（A）=

第五章三角形

一、三角形及其有关概念

1.三角形：

由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两

边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。

2.三角形的表示：

三角形用符号表示，顶点是A.B、C的三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”。

3、三角形的三边关系：

（1）三角形的任意两边之和大于第三边。

（2）三角形的任意两边之差小于第三边。

（3）作用：

①判断三条已知线段能否组成三角形

②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

4.三角形的内角的关系：

（I）三角形三个内角和等于180°。

（2）直角三角形的两个锐角互余。

5.三角形的稳定性：

三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

6.三角形的分类：

（I）三角形按边分类：

「不等边三角形

三角形Jr底和腰不相等的等腰三角形

I等腰三角形1

I等边三角形

（2）三角形按角分类：

r直角三角形（有一个角为直角的三角形）

三角形1「锐角三角形（三个角都是锐角的三角形）

I斜三角形V

I钝角三角形（有个角为钝角的三角形）

把边和角联系在一起，我们又有一种特殊的三角形：等腰直角三角形。它是两条直角边相等的直角三角形。

7、三角形的三种重要线段：

（1）三角形的角平分线：

定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

性质：三角形的三条角平分线交于一点。交点在三角形的内部。

（2）三角形的中线：

定义：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。

性质：三角形的三条中线交于一点，交点在三角形的内部。

（3）三角形的高线：

定义：从三角形一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线（简称三角形的

高）。

性质：三角形的三条高所在的直线交于一点。锐角三角形的三条高线的交点在它的内部；直角三角形的三条高线的

交点在它的直角顶点；钝角三角形的三条高所在的直线的交点在它的外部：

8、三角形的面积：

三角形的面积='x底X高

2

二、全等图形：

定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形。

性质：全等图形的形状和大小都相同。

三、全等三角形

1.全等三角形及有关概念：

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。两个三角形全等时，互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫

做对应边：互相重合的角叫做对应角。

2.全等三角形的表示：

全等用符号“且”表示，读作“全等于"。如△ABC^^DEF,读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

3.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。

4、三角形全等的判定：

（1）边边边：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

（2）角边角：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）角角边：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）

（4）边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

直角三角形全等的判定：

对F特殊的直角三角形，判定它们全等时，还有HL定理（斜边、直角边定理）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角

三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

第六章变量之间的关系

1.变量、自变量、因变量：

2、函数的三种表示法：

（1）关系式法

（2）列表法

（3）图像法

第七章生活中的轴对称

一、轴对称

1.轴对称图形：

如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对

称轴。

2.轴对称：

对于两个图形，如果沿•条直线对折后，它们能够完全重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。

3、性质：

（I）对应点所连的线段被对称釉垂直平分。

（2）对应线段相等，对应角相等。

二、角平分线的性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

三、线段的垂直平分线（简称中垂线）：

定义：垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。

性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

四、等腰三角形

L等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

2、等腰三角形的性质：

（1）等腰三角形的两个底角相等

（2）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合（也称“三线合一”）,

（3）等腰三角形是轴对称图形，等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高它们所在的直线都是等腰

三角形的对称轴。

3、等腰三角形的判定：

（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形。

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等

五、等边三角形：

1.等边三角形：三边都相等的三角形叫做等边三角形。

2、等边三角形的性质：

（1）具有等腰三角形的所有性质。

（2）等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60。°

3.等边三角形的判定

（I）三边都相等的三角形是等边三角形。

（2）:三个角都相等的三角形是等边三角形

（3）:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

北师大版《数学》（八年级上册）知识点总结

笫一章勾股定理

1.勾股定理

直角三角形两直角边a,b的平方和等于斜边c的平方，即

2.勾股定理的逆定理

第二章如果三角形的三边长a,b,c有关系,那么这个三角形是直角三角形。

第三章3、勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数。

第四章实数

一、实数的概念及分类

1.实数的分类

厂正有理数］

「有理数3零卜有限小数和无限循环小数

实数Y匚负有理数」

「正无理数］

匚无理数<卜无限不循环小数

I-负无理数J

2.无理数：无限不循环小数叫做无理数。

在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一时之，归纳起来有四类：

（1）开方开不尽的数，如等；

（2）有特定意义的数，如圆周率人或化简后含有无的数，如+8等；

（3）有特定结构的数,如0.1010010001…等;

（4）某些三角函数值，如sin60o等

二、实数的倒数、相反数和绝对值

1.相反数

实数与它的相反数时一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反

数的两个数所对应的点关于原点对称，如果a与b互为相反数，则有a+b=0,a=—b,反之亦成立。

2.绝对值

在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。（间20）。零的绝对值是它本身，也可看成它的相

反数,若|a|二a，则a20；若|a|=-a,则aWO。

3、倒数

如果a与b互为倒数，则有ab=l,反之亦成立。倒数等于本身的数是1和-1。零没有倒数。

4、数轴

规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺•不可）。

解题时要真正掌握数形结合的思想，理解实数与数轴的点是一一对应的，并能灵活运用。

5、估算

三、平方根、算数平方根和立方根

1.算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x2=a,那么这个正数x就叫做a的算术平方根。特别地,0

的算术平方根是0。

表示方法：记作“”，读作根号a.

性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。

2.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正数a的平方根记做“”，读作“正、负根号a”。

性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。

开平方：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方。

>0

注意的双重非负性：

a>0

3.立方根

一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3二a那么这个数x就叫做a的立方根(或三次方根)。

表示方法：记作

性质：一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。

注意：，这说明三次根号内的负号可以移到根号外面。

四、实数大小的比较

I.实数比较大小：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；数釉上的两个点所表示的数，右边的总比左边的

大；两个负数，绝对值大的反而小。

2.实数大小比较的几种常用方法

(I)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

(2)求差比较：设a、b是实数，

a-b>0<^>a>b,

a—b=0u>a=b,

a-b<0^>a<b

(3)求商比较法：设a、b是两正实数，

(4)绝对值比较法：设a、b是两负实数，则。

(5)平方法：设a、b是两负实数，则。

五、算术平方根有关计算(二次根式)

1.含有二次根号“"；被开方数a必须是非负数。

2、性质：

(I)(y[a)2=a(a>0)

厂a(a>0)

(2)yfcJ=\a\=Y

J-a(a<0)

(3)4cib=4ci•4b(a>0,/?>0)(4ci•4b=4cib(ci>0,/?>0))

(4)号专(aN(),b>0)(常二悔①之(),/?>()))

3.运算结果若含有“”形式，必须满足：(I)被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)被开方数中不含能开得尽方

的因数或因式

六、实数的运算

(1)六种运算：力口、减、乘、除、乘方、开方

(2)实数的运算顺序

先算乘方和开方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

(3)运算律

加法交换律a+b=b+a

加法结合律(。+力+c=4+S+c)

乘法交换律ab=ba

乘法结合律(ab)c=a(bc)

乘法对加法的分配律a(b+c)=+ac

第五章图形的平移与旋转

一、平移

1.定义

在平面内，将一个图形整体沿某方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移。

2、性质

平移前后两个图形是全等图形，对应点连线平行旦相等，对应线段平行且相等，对应角相等。

二、旋转

1.定义

在平面内，将一个图形绕某•定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转，这个定点称为旋转中心,

转动的角叫做旋转角。

2、性质

第六章旋转前后两个图形是全等图形，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线所成的角等「旋转

角。

第七章四边形性质探索

一、四边形的相关概念

1.四边形

在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接组成的图形叫做四边形。

2.四边形具有不稳定性

3.四边形的内角和定理及外角和定理

四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360。。

四边形的外角和定理：四边形的外的和等于360°。

推论：多边形的内角和定埋：n边形的内角和等于180。；

多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。

6、设多边形的边数为n,则多边形的对角线共有条。从n边形的一个顶点出发能引(n-3)条对角线，将n边形分成

(n-2)个三角形。

二、平行四边形

1.平行四边形的定义

两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

2.平行四边形的性质

(1)平行四边形的对边平行且相等。

(2)平行四边形相邻的角互补，对角相等

(3)平行四边形的对角线互相平分。

(4)平行四边形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点。

常用点：(1)若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截卜.的线段的中点是对角线的交点,

并且这条直线二等分此平行四边形的面积。

(2)推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。

3.平行四边形的判定

(1)定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形

(2)定理1:两组对角分别相等的四边形是平行四边形

(3)定理2:两组对边分别相等的四边形是平行四边形

(4)定理3:对角线互相平分的四边形是平行四边形

(5)定理4:一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

4.两条平行线的距离

两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。

平行线间的距离处处相等。

5.平行四边形的面积

S平行网成形=底边长X图=ah

三、矩形

1.矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做柜形。

2.矩形的性质

（1）矩形的对边平行且相等

（2）矩形的四个角都是直角

（3）矩形的对角线相等且互相平分

（4）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对称中心到矩形四个顶点的距离相等）；

对称轴有两条，是对边中点连线所在的直线。

3.矩形的判定

（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形

（2）定理1:有三个角是直角的四边形是矩形

（3）定理2:对角线相等的平行四边形是矩形

4.矩形的面积

S比形二长X宽二ab

四、菱形

1.菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形

2.菱形的性质

（1）菱形的四条边相等，对边平行

（2）菱形的相邻的角互补，对角相等

（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组末角

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点（对•称中心到菱形四条边的距离相等）；对

称轴有两条，是对角线所在的直线。

3.菱形的判定

（1）定义：有•组邻边相等的平行四边形是菱形

（2）定理I:四边都相等的四边形是菱形

（3）定理2:对角线互相垂直的平行四边形是菱形

4.菱形的面积

S斐所底边长X高=两条对角线乘积的一半

五、正方形（3~10分）

1.正方形的定义

有•组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

2.正方形的性质

（1）正方形四条边都相等，对边平行

（2）正方形的四个角都是直角

（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角

（4）正方形既是中心对称图形又是轴对称图形；对称中心是对角线的交点；对称轴有四条，是对角线所在的直线

和对边中点连线所在的直线。

3.正方形的判定

判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两科

先证它是矩形，再证它是菱形。

先证它是菱形，再证它是矩形。

4.正方形的面积

设正方形边长为a,对角线长为b

_2"

S1E方形二（1~——

2

六、梯形

（一）1.梯形的相关概念

一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。

梯形中不平行的两边叫做梯形的腰，

梯形的两底的距离叫做梯形的高。

2.梯形的判定

（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。

（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形.

（-）直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。

一般地，梯形的分类如下：

「一般梯形

梯形＜「直角梯形

I特殊梯形\

I等腰梯形

（三）等腰梯形

1.等腰梯形的定义

两腰相等的梯形叫做等腰梯形。

2.等腰梯形的性质

（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。

（2）等腰梯形同一底上的两个角相等，同•腰上的两个角互补。

（3）等腰梯形的对角线相等。

（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。

3.等腰梯形的判定

（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

（3）对角线相等的梯形是等腰梯形。（选择题和填空题灯直接用）

七、有关中点四边形问题的知识点：

（1）顺次连接任意四边形的四边中点所得的四边形是平行四边形；

（2）顺次连接矩形的四边中点所得的四边形是菱形；

（3）顺次连接菱形的四边中点所得的四边形是矩形：

（4）顺次连接等腰梯形的四边中点所得的四边形是菱形；

（5）顺次连接对角线相等的四边形四边中点所得的四边形是菱形：

（6）顺次连接对角线互相垂直的四边形四边中点所得的四边形是矩形；

（7）顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形四边中点所得的匹边形是正方形;

八、中心对称图形

1.定义

在平面内，一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个

点叫做它的对称中心。

2、性质

（1）关于中心对称的两个图形是全等形。

（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。

3、判定

如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。

九、四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的关系图：

第八章位置的确定

一、在平面内，确定物体的位置一般需要两个数据。

二、平面直角坐标系及有关概念

1.平面直角坐标系

在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴，组成平面直角坐标系。其中，水平的数轴叫做x轴或横轴，取向右为

正方向；铅直的数轴叫做y轴或纵轴，取向上为正方向；x轴和y轴统称坐标轴。它们的公共原点0称为直角坐标系的

原点；建立了直角坐标系的平面，叫做些标平面。

2、为了便于描述坐标平面内点的位置，把坐标平面被x轴和y轴分割而成的四个部分，分别叫做第一象限、第二象限、

第三象限、第四象限。

注意：x轴和y轴上的点（坐标轴上的点），不属于任何一个象限。

3.点的坐标的概念

对于平面内任意一点P,过点P分别x轴、y轴向作垂线，垂足在上x轴、y轴对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、

纵坐标，有序数对（a.b）叫做点P的坐标。

点的坐标用（a,b）表示，其顺序是横坐标在前，纵坐标在后，中间有“，”分开，横、纵坐标的位置不能颠倒。平

面内点的坐标是有序实数对，当时，（a,b）和（b,a）是两个不同点为坐标。

平面内点的与有序实数对是一一对立的。

4.不同位置的点的坐标的特征

(1)、各象限内点的坐标的特征

点P(x,y)在第一象限Ox>(),)，>0

点P(x,y)在第二象限=x<0,)，>0

点P(x,y)在第三象限<=>x<0,y<0

点P(x,y)在第四象限<=>x>0,y<0

(2)、坐标轴上的点的特征

点P(x,y)在x轴上，x为任意实数

点P(x,y)在y轴上，y为任意实数

点P(x,y)既在x轴上，乂在y轴上x,y同时为零，即点P坐标为(0,0)即原点

(3)、两条坐标轴夹角平分线上点的坐标的特征

点P(x,y)在第一、三象限夹角平分线(直线y=x)上Ox与y相等

点P(x,y)在第二、四象限夹角平分线上Ox与y互为相反数

(4)、和坐标轴平行的直线上点的坐标的特征

位于平行于x轴的直线上的各点的纵坐标相同。

位于平行于y轴的直线上的各点的横坐标相同。

(5)、关于x轴、y轴或原点对称的点的坐标的特征

点P与点p'关于x轴对称横坐标相等，纵坐标互为相反数，即点P(x,y)关于x轴的对称点为P'(x,-y)

点P与点p'关于y轴对称纵坐标相等，横坐标互为相反数，即点P(x,y)关于y轴的对称点为P'(-x,y)

点P与点p'关于原点对称横、纵坐标均互为相反数，即点P(x,y)关于原点的对称点为P'(・x,・y)

(6)、点到坐标轴及原点的距离

点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：

(1)点P(x,y)到x轴的距离等于N

(2)点P(x,y)到y轴的距离等于国

(3)点P(x,y)到原点的距离等于Jr?+了2

三、坐标变化与图形变化的规律：

坐标(x,y)的变化图形的变化

xXa或yXa被横向或纵向拉长(压缩)为原来的a倍

xXa,yXa放大(缩小)为原来的a倍

xX(T)或yX(T)关于y轴或x轴对称

-1),yX(-1)关于原点成中心对称

x+a或y+a沿x轴或y轴平移a个单位

x+a,y+a沿x轴平移a个单位，再沿y轴平移a个单

第九章一次函数

一、函数：

一般地，在某一变化过程中有两个变量X与y,如果给定一个X值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是X的函数,

其中x是自变量,y是因变量。

二、自变量取值范围

使函数有意义的自变量的取值的全体，叫做自变量的取值范围。一般从整式（取全体实数），分式（分母不为0）、二次

根式（被开方数为非负数）、实际意义几方面考虑。

三、函数的三种表示法及其优缺点

（1）关系式（解析）法

两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解

析）法。

（2）列表法

把自变量x的一系列值和函数y的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。

（3）图象法

用图象表示函数关系的方法叫做图象法。

四、由函数关系式画其图像的一般步骤

（I）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值

（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点

（3）连线：按照日变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。

五、正比例函数和一次函数

1.正比例函数和一次函数的概念

一般地，若两个变量x,y间的关系可以表示成（k,b为常数,k0）的形式，则称y是x的一次函数（x为自变量,y

为因变量）。

特别地，当一次函数中的b=0时（即）（k为常数,k0）,称y是x的正比例函数。

2.一次函数的图像：所有一次函数的图像都是一条直线

3.一次函

数、正比

例函数

图像的

主要特

征：

—次函

数的

图像是

经过点

b的符号函数图像图像特征

（0,b）

的直线；

正比例

函数

的图像

是经过

原点（0,

0）的直

线。

k的符号

y

/

图像经过一、二、三象限,y随x的港大而

b>00x增大。

k>0/

/

图像经过一、三、四象限,y随x的趋大而

b<0y

i增大。

（1）当k>0时，图像经过第一、三象限,y随x的增大而增大；

（2）当k<0时，图像经过第二、四象限,y随x的增大而减小。

5.一次函数的性质

一般地，一次函数有下列性质：

（1）当k>0时,y随x的增大而增大

（2）当k<0时,y随x的增大而减小

6.正比例函数和一次函数解析式的确定

确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k。确定一个一次函数，需要确定一次函数

定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.

7、一次函数与一元一次方程的关系：

任何一个一元一次方程都可转化为:kx+b=0（k、b为常数，k^O）的形式.而一次函数解析式形式正是y=kx+b

（k、b为常数,kWO）.当函数值为0时，•即kx+b=O就与一元一次方程完全相同.

第十章结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=O（k、b为常数,kKO）的形式.所以照一元一次方程可以

转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值.

第章从图象I:看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值.

第十二章二元一次方程组

1.二元一次方程

含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。

2.二元一次方程的解

适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。

3.二元一次方程组

含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组。

4二元一次方程组的解

二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。

5.二元一次方程组的解法

（1）代入（消元）法（2）力口减（消元）法

6.一次函数与二元一次方程（组）的关系：

（I）一次函数与二元一次方程的关系：

直线y=kx+b上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程kx-y+b=O的解

（2）一次函数与二元一次方程组的关系：

二元一次方程组+q的解可看作两个一次函数

a2x^b2y=c2

和y=一等玉+等的图象的交点。

b2b2

当函数图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数图象（直线）平行即无交点时，说明相应的二元一

次方程组无解。

第十三章数据的代表

1.刻画数据的集中趋势（平均水平）的量：平均数、众数、中位数

2.平均数

（I）平均数：一般地，对于n个数我们把叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记为,

（2）加权平均数：

3.众数

一组数据中出现次数最多的那个数据叫做这组数据的众数。

4.中位数

•般地，将•组数据按大小顺序排列，处于最中间位置的个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位

数。

北师大版《数学》（八年级下册）知识点总结

第一