高考数学终极解题策略-构造函数

高考数学终极解题策略-构造函数

构建函数专题

关系式为“加”型

(1)八工)+/«>0构造［e"(x)r=ex［f,W+fM］

(2)xf\x)+f(x)>0构造0(研=Jtf\x)+f(x)

(3)VW+nf(x)>0构造37(初'=xTf\x)+nx'^fM=xn-l［xf'M+nf(x)］

(注意对x的符号进行讨论)

关系式为“减”型

⑴八)-小空。构造［华］

e(e)"e

(2)构造

xx-

(3)V,(x)-7?f(x)>0构造［与r=门二必'(］：歹。)

.X\X)"CX

(注意对X的符号进行讨论)

小结：L加减形式积商定2.系数不同嘉来补3.符号讨

论不能忘

典型例题：

例L设是上的可导函数，，，求不等式的解集

变式：设分别是定义在上的奇函数、偶函数，当时，，，求不等式的解集......

例2.已知定义在上的函数满足，且，，若有穷数列的前项和等于，则等

于

变式：已知定义在上的函数满足，且，若若，求关于的不等式的解集……

例3,已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则关于的大小关系是

例4.已知函数为定义在上的可导奇函数，且对于任意恒成立，且f(3),则为＜1

的解集为

变式：设是上的可导函数，且，，.求的值.

例5.设函数在上的导函数为，且，

变式：已知的导函数为，当时，，且，若存在，使，求的值.

巩固练习：

1.定义在上的函数，其导函数满足，且，则关于的不等式的解集为

▲

2.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解

集为▲

3.设和分别是和的导函数，若在区间上恒成立，则称和在区间上单调性

相反.若函数与在开区间上单调性相反（），则的最大值为▲

4.设函数在R上存在导数，对任意的有，且在上,,若则实数的取值范围

为▲

一些常见的导数小题

1.已知函数（为常数），当时取极大值，当时取极小值，则的取值范围

2.已知、都是定义在R上的函数,,则关于的方程有两个不同实根

的概率为（)

.102

A.-B.-C.|D.1

55

3.设曲线在点（1,1）处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为

••••■•••••••••••1

4.定义在R上的函数，满足，'，若

,则实数的取值范围是（）

A.B.

C.D.

5.已知函数，且，则当时,的取值范围是（）

A.B.C.D.

6.已知函数的两个极值点分别为xl,x2,且xl（（O,1）,>:2（（1,+（）,记分别以m,「为横、

纵坐标的点P（）表示的平面区域为D,若函数的图象上存在区域D内的点，则实数a的取值

范围为（）

A.B.C.D.

7.已知函数，函数若存在，使得成立，则实数的取值范围（）

A...B..♦C...D.

8.已知，则的最小值为（）

A.B.C.D.

9.已知，若对任意两个不等的正实数,都有恒成立，则实数的取值范围是（）

A.B.

C.D.

10.已知定义在上的函数和分别满足，，则下列不等式成立的是()

A./(2)・g(2015)vg(2017)B./(2)・g(2015)>g(2017)

C.g(2O15)</X2)-g(2O17)D.g(2015)>/(2).^(2017)

11.若函数有极大值乂有极小值，则的取值范围是.

12.已知函数，实数满足，若，，使得成立，则的最大值为.

答案

1.D

【解析】

试题分析：因为函数的导数为.又由于当时取极大值，当时取极小值.所以即可得

,因为的范围表示以圆心的半径的平方的范围.通过图形可得过点A最大，过点B最小,

通过计算可得的取值范围为.故选D.

考点：1.函数的导数问题.2.极值问题.3.线性规划问题.4.数形结合的思想.

2.B

【解析】

试题分析：令，则，所以是减函数，

.又，所以.由得.又，由几何概型概率公式得：.选B.

考点：1、导数的应用；2、指数函数与方程；3、几何概型.

3.C

【解析】

试题分析：曲线，，，曲线1(n£N*)在(1,1)处的切线方程为,该切线与x轴的交

点的横坐标为，因此。

2n-\n

人［人)人〃—....-------------

23n〃+1〃+1

考点：的导数，曲线C的切线方程，直线与X的交点.

4.D

【解析】

试题分析：函数，满足说明函数的图象关于直线对称，由于‘，则当时，

函数在为增函数，当时，,函数在为减函数，因，若，则或'，，则或

选D；

考点：1.利用导数判断函数的单调性；2.借助函数图象，数形结合，解不等式

5.A

【解析】

试题分析：，所以单调递增，且为奇函数.

由得即：

.作出表示的区域如图所示：

p」

-1O123

.设，由得.结合图形可知，即.选A.

考点：1、导数与函数的性质；2、平面区域；3、不等关系.

6.B

【解析】

试题分析：因为，，所以，y'2(),

依题意知，方程y'=0有两个根xl.x2,且xl£(0,1),x2£(1,,

构造函数f(x)2(),

所以，，即，

•・•直线0,2+30的交点坐标为（-1,1）

・••要使函数（4）（社>1）的图象上存在区域D上的点，则必须满足

/.3<1,解得aV3

又Al<a<3,故选B.

考点：利用导数研究函数的极值，二元一次不等式（组）与平面区域。

点评：中档题，本题综合性较强，应用导数研究函数的极值，通过构造函数结合函数图象研究

方程跟单分布，体现应用数学知识的灵活性。

7.A

【解析】

试题分析：当时，；当时，，，故函数在是单调递增，所以，综上所述：；

又时，，则要使存在，使得成立，则值域交集非空，则且，所以.

考点：1、导数在单调性上的应用；2、函数的值域；3、集合的运算.

8.B.

【解析】设，，则，的轨迹为直线，的轨迹为双曲线，双曲线上一点到直线

的距离为，的最小值为

【命题意图】本题主要考查距离公式、基本不等式等知识，考查学生转化与化归、逻辑推理

能力.

9.D

【解析】

试题分析：根据可知函数的导数大于或等于，所以，分离参数得，而当时，最大

值为，故.

考点：函数导数与不等式，恒成立问题.

10.D

【解析】

试题分析：，所以，，，设，，由于，恒成立，所以单调递减，所以，

，故有，即，因此，故选D.

考点：导数的运算与利用导数研究函数的单调性.

【方法点睛】本题主要考查了导数的运算与利用导数研究函数的单调性，属于中