复杂抽屉原理

1.证明：任给12个不同的两位数，其中肯定存在着这样的两个数，它们的差是个位与I位数字相同的

两位数.

2.从1,2,3,…，49,50这50个数中取出若干个数，使其中随意两个数的和都不能被7整除，则最

多能取出多少个数？

3.有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同.现在请你选择若干个小孩，排成一

个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100,那么你最多能选择出多少个孩子？

4.某班有16名学生，每个月老师把学生分成两个小组.问最少要经过几个月，才能使该班的随意两个

学生总有某个月份是分在不同的小组里？

5.上体育课时，21名男、女学生排成3行7列的队形做操.老师是否总能从队形中划出一个长方形,

使得站在这个长方形4个角上的学生或者都是男生，或者都是女生?假如能，请说明理由；假如不能,

请举出实例.

6.8个学生解8道题目.

(1)若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被过两个学生中的一个解出.

(2)假如每道题只有4个学生解出，那么(1)的结论一般不成立.试构造一个例子说明这点.

7.试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案.一群学生参与考试，结果是对于其中任何3

人，都有一个题目的答案互不相同.问参与考试的学生最多有多少人？

8.求从1到1994中不能被5整除，也不能被6或7整除的自然数的个数.

【例20】一次数学竞赛出了10道选择题，评分标准为：基础分10分，每道题答对得3分，答错扣1

分，不答不得分。问：要保证至少有4人得分相同，至少须要多少人参与竞赛？

【例20巩固】(第十届《小数报》数学竞赛决赛)一次测验共有10道问答题，每题的评分标准是：回

答完全正确，得5分；回答不完全正确，得3分，回答完全错误或不回答，得0分.至少—人参与这

次测验，才能保证至少有3人得得分相同.

【例24巩固】（小学数学奥林匹克决赛）从1,2,3,4,…，1988,1989这些自然数中，最多可以取

个数，其中每两个数的差不等于4.

【例25］（北京市第H^一届“迎春杯”刊赛）从1,2,3,4,…，1994这些自然数中，最多可以取个

数，能使这些数中随意两个数的差都不等于9.

【例27】从1,3,5,7,…，97.99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另

一个数的倍数？

【例29】从1,2,3,……49,50这50个数中取出若干个数,使其中随意两个数的和都不能被7整除,

则最多能取出多少个数？

【例34］有苹果和桔子若干个，随意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是

偶数？

【例36］在一个矩形内随意放五点，其中随意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角

形中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

【例37】在一个直径为2厘米的圆内放入七个点，请证明肯定有两个点的距离不大于1厘米

【例37巩固】平面上给定17个点，假如随意三个点中总有两个点之间的距离小于1,证明：在这17

个点中必有9个点可以落在同一半径为1的圆内。

【例38】9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2：3。证明：这9条

直线中至少有3条通过同一个点,

【例39］如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1,2,3这二个数，使得各行各列及

对角线上8个数的和互不相同？并说明理由.

【例39巩固】在8x8的方格纸中，每个方格纸内可以填上14四个自然数中的随意一个，填满后对每

个2x2“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？

【例39巩固】能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1,2,3这三个数之一，使得大正方

形的每行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同？对你的结论加以说明.

【例40巩固】（南京市第二届“爱好杯”少年数学邀请赛决赛D卷第12题）如右图A、13、。、。四

只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果.每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也

可取出2只相邻盘中的全部糖果.这样取出的糖果数最多有几种？请说明理由.

【例41巩固】8位小挚友围着一张圆桌坐下，在每位小挚友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8

位小挚友的名字.起先时，每位小挚友发觉自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经

过适当转动圆桌，肯定能使至少两位小挚友恰好对准自己的名字.

【例42巩固】（2009年清华附中入学测试题）如图，在时钟的表盘上随意作9个120°的扇形,使得每一

个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同，求证：肯定可以找到3个扇形，恰好覆盖

整个表盘上的数.并举一个反例说明，作8个扇形将不能保证上述结论成立.

【例43】（2008年第六届“走进奇妙的数学花园”中国青年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛决赛）

“走美”主试委员会为三〜八年级打算决赛试题.每个年级12道题，并且至少有8道题与其他冬年级都

不同.假如每道题出现在不同年级，最多只能出现3次.本届活动至少要打算道决赛试题.

【例44巩固】（2008年第八届“春蕾杯”小学数学邀请赛初赛）有红、黄、白三种颜色的小球各10个,

混合放在一个布袋中，一次至少摸出个，才能保证有5个小球是同色的？

【例45】（第六届《小数报》数学竞赛初赛）有形态、长短都完全一样的红筷子、黑筷子、白筷子、黄

筷子、紫筷子和花筷子各25根。在黑暗中至少应摸出根筷子，才能保证摸出的筷子至少有8双（每

两根花筷子或两根同色的筷子为一双）。

【例47】两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。从第一袋中拿出尽可能少的

球，但至少有两种颜色一样的放入其次袋中；再从其次袋中拿出尽可能少的球放入第一袋中，使第一袋

中每种颜色的球不少于3个。这时，两袋中各有多少个球？

【例48巩固】一个口袋里分别有4个红球，7个黄球，8个黑球，为保证取出的球中有6个球颜色相同,

则至少要取多少个小球？

【例49】（2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛复赛）在100张卡片上不重复地编写上「100,请问至

少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后