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文档简介

第五届中国大学生数学竞赛预赛试卷

（数学类，2013年10月）

考试形式：闭卷考试时间：9分钟满分：100分

题号一三四五六总分

满分151015152025100

得分

注意：1.所有答题都须写在此试卷纸密封线右边，写在其它纸上一律无效.

2.密封线左边请勿答题，密封线外不得有姓名及相关标记？

3.如答题空白不够，可写在当页背面，并标明题号

一、（本题15分）平面R2士两个半径为r的圆G和

得分

C2外切于P点.将圆C?沿C的圆周（无滑动）滚动一

周，这时，C上的P点也随C2的运动而运动.记T为

评阅人2

P点的运动轨迹曲线，称为心脏线.现设C为以P的初始

位

置（切点）为圆心的圆，其半径为R.记丫R2（J{Q}—RiU{x}为圆C的反演变

换,它将Q£R2\{P}映成射线PQ上的点Q',满足PQ-P3R2.求证：丫⑴

为抛物线.

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第1页（共6页）

二、(本题10分)设n阶方阵B(t)和nXl矩阵

得分

评阅人b(t)分别为B(t)=(bi;(t))和6(t)=：，其中bi(t),

b2⑴均为关于t的实系数多项式，i,j=l,2,...,n.记d(t)

为B(t)的行列式，d2(t)为用b(t)替代B(t)的第i列后

所

得的n阶矩阵的行列式.若d(t)有实根t。使得B(to)X=b(t。)成为关于X的相容

线性方程组，试证明：d(t),d]⑴，…,dn⑴必有次数的公因式.

第2页(共6页)

三、(本题15分)设f(x)在区间［0,a］上有二阶连

得分续导数，f'(0)=1,f"(0)X0,且0<f(x)<x,x£(0,a).

令

评阅人

Tn+l=f(xn),Xi£(0,a).

（1）求证｛rn）收敛并求极J艮：（2）试问（narn）是否收敛。若不收敛，则说明理由.若

收敛，则求其极限.

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第3页（共6页）

四、(本题15分)设a>l,函数f:(O,+O)T

得分

(0,+x)可微.求证存在趋于无穷的正数列｛xn｝使得

评阅人

f(xn)<f(axn),n=1.2....

第4页(共6页)

姓名:准考证号:所在院校：考生座位号:专业:

密封线答题时不要超过此线O-

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