小学数学四年级下册《乘法结合律》教学设计

小学数学四年级下册《乘法结合律》教学设计

  一、设计理念

  本教学设计以《义务教育数学课程标准（2022年版）》的核心素养为导向，立足于小学数学“数与代数”领域“数的运算”主题。本课秉承“从具体到抽象，从抽象回具体”的认知螺旋上升理念，旨在超越单纯记忆运算律形式的浅层学习，引导学生经历完整的“现象观察——提出猜想——举例验证——归纳概括——符号表达——实践应用”的数学发现与建模过程。设计强调以学生为主体，创设真实且富有思考价值的情境，驱动学生在解决复杂问题的过程中，自发产生对运算顺序进行重组的需要，从而深刻体会乘法结合律的数学本质——三个数相乘时，运算顺序的改变不影响最终的积，其核心是“结合”方式的变化所带来的计算策略优化。教学将深度融合直观几何模型（如长方体体积、面积模型）、信息技术工具（动态演示、即时反馈）与多元表征（语言、算式、图形、符号），促进学生对算理的理解与算法的掌握。同时，注重培养学生严谨的归纳推理能力和初步的符号意识，引导学生将乘法结合律置于整数、小数、分数等更广泛的数域中进行思辨，初步感知运算律的普适性，为其未来在有理数乃至更高级数学领域的学习奠定坚实的思维基础。整个教学过程致力于实现知识习得、思维发展与素养提升的有机统一。

  二、教材与学情分析

  （一）教材分析

  乘法结合律是人教版四年级下册第三单元“运算律”的重要组成部分。在此之前，学生已经系统学习了四则混合运算的顺序，以及加法交换律、结合律和乘法交换律，对“运算律”这一概念有了初步的感性认识。教材通常通过呈现一个需要用连乘解决的实际问题（如“一共要浇多少桶水？”），引导学生列出不同算式并发现其相等关系，进而通过举例验证，最终用字母公式(a×b)×c=a×(b×c)进行抽象概括。乘法结合律的学习，不仅是对已学乘法交换律的深化与拓展，更是将运算律研究从两个数推广到三个数乃至更多数的关键一步。它在整个小学阶段“数的运算”知识体系中起着承上启下的作用：承上，是对整数乘法计算法则和运算顺序的灵活运用与理论提升；启下，是未来学习乘法分配律、小数和分数简便运算、以及代数式运算的重要基石。理解并掌握乘法结合律，能够极大提升学生的计算灵活性、策略性和效率，是培养学生数感、运算能力和推理意识的核心内容之一。

  （二）学情分析

  四年级学生正处于由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们的认知特点表现为：第一，具备了一定的观察、比较和归纳能力，能够从一组或几组具体算式中发现表面的规律，但进行严谨、全面的举例验证，并用精准的数学语言进行概括的能力仍需引导。第二，对乘法交换律的已有学习经验，为探究乘法结合律提供了积极的正向迁移，学生可能会自然联想到“运算顺序可以变化”，但也容易产生混淆，尤其是将交换律与结合律混合使用时。第三，在计算层面，学生能熟练进行两位数乘两位数的笔算，并理解乘法是求几个相同加数和的简便运算的本质，这为从“计数单位”的累加角度理解结合律的恒等性提供了可能。第四，学生的兴趣点往往在于规律的“发现”和简便计算的“快捷”，但对规律背后的“为什么”——即算理的深度理解，普遍缺乏探究动力。因此，教学设计需在激发兴趣与引导深度思考之间取得平衡，通过创设认知冲突、设计层次性探究任务、提供多元表征工具等手段，帮助学生不仅“知其然”，更“知其所以然”。

  三、教学目标

  基于以上分析，设定如下三维教学目标：

  （一）知识与技能

  1.在解决实际问题的过程中，经历发现、归纳乘法结合律的全过程，理解并掌握乘法结合律的内容。

  2.能用字母准确表示乘法结合律，初步建立符号模型。

  3.能够运用乘法结合律，对连乘算式进行简便计算，解决相关的实际问题。

  （二）过程与方法

  1.通过观察、猜想、验证、概括等活动，积累探究数学规律的基本经验，发展归纳推理能力和初步的演绎推理意识。

  2.学会运用举例验证的方法来检验数学猜想，体会数学结论的严谨性。

  3.尝试运用几何模型（如体积模型）解释运算律，发展数形结合思想。

  （三）情感态度与价值观

  1.在自主探究与合作交流中，体验数学发现的乐趣，感受数学的简洁与严谨之美。

  2.体会运算律作为数学工具在简化计算、优化策略方面的价值，增强学习数学的兴趣和应用意识。

  3.养成独立思考、敢于质疑、严谨求实的科学态度。

  四、教学重难点

  （一）教学重点：引导学生经历探究过程，发现并理解乘法结合律。

  （二）教学难点：1.乘法结合律的算理理解，尤其是与乘法交换律的本质区分。2.灵活、准确地运用乘法结合律进行简便计算，特别是在需要与交换律结合使用时。

  五、教学准备

  多媒体课件（含动画演示、交互练习）、学生探究学习单、磁性数字和运算符号卡片、长方体体积模型（积木或图片）、实物投影仪。

  六、教学过程

  （一）创设情境，感知“结合”需要（预计用时：8分钟）

  1.情境导入，提出问题

  教师活动：课件出示一个贴近学生生活实际的复杂采购情境：“学校体育组要为春季运动会采购篮球。计划购买15箱篮球，每箱有12个，每个篮球的单价是25元。请问，采购这些篮球一共需要多少元？”

  学生活动：独立审题，理解题意，明确已知条件和所求问题。

  设计意图：摒弃简单的“浇树”情境，创设一个信息量稍大、需要多步思考的实际问题。旨在避免学生直接套用模式，迫使其深入分析数量关系。高价值的单价（25元）也为后续运用结合律进行简便计算埋下伏笔，引发计算策略优化的内在需求。

  2.自主探索，呈现多样策略

  教师活动：鼓励学生用不同的综合算式解决问题，并将典型解法展示在黑板上或通过实物投影分享。

  学生活动：尝试列式计算。预计会出现以下主流解法：

  解法一：先求总个数，再求总价。（15×12）×25

  解法二：先求每箱价格，再求总价。15×（12×25）

  解法三：（可能少数学生想到）利用乘法交换律与结合律，如25×（15×12）等。

  教师活动：引导学生分别说出每种解法的思路，并计算结果。板书：（15×12）×25=180×25=4500（元）；15×（12×25）=15×300=4500（元）。追问：“这两种方法思路不同，但结果相同。这是巧合吗？你能再写几个这样的等式吗？”组织学生同桌间相互出题验证。

  设计意图：让学生在真实问题解决中，自然产生对运算顺序重组的需求。通过对比不同思路的算式，直观感知“先算哪两个数相乘，积不变”这一现象，为提出猜想提供丰富的感性材料。同桌互出题目进行初步验证，扩大了样例范围，增强了猜想的可信度。

  （二）多元探究，发现“结合”规律（预计用时：15分钟）

  1.提出猜想，聚焦核心

  教师活动：引导学生观察黑板上的一组等式（包括学生举例的），如（15×12）×25=15×（12×25），（4×5）×6=4×（5×6）等。提问：“观察这些等式，它们有什么共同的特点？关于三个数相乘的运算顺序，你能提出什么猜想？”鼓励学生用语言描述初步发现。

  学生活动：观察、讨论、发言。可能表述：“三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积好像不变。”“乘的顺序没变，都是这三个数，但括号的位置变了。”

  教师活动：肯定学生的发现，并明确核心猜想：“三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。”板书这一猜想。

  2.深度验证，严谨求证

  教师活动：提出挑战：“这只是一个基于几个例子的猜想。在数学上，要确认一个规律，我们需要更严谨的证明。你打算如何验证这个猜想是否总是成立？”引导学生回顾验证数学猜想的方法——举例验证，并讨论举例的注意点（如：数的大小、类型多样性，包括特殊情况如0、1等）。

  学生活动：以小组为单位，开展“验证大行动”。在《探究学习单》上，每人独立写出至少3组不同的算式进行验证（鼓励尝试用大数、小数、甚至计算器计算），然后小组内交流汇总。学习单设计如下：

  我们猜想：三个数相乘，先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。

  我的验证：

  算式1：（×）×=；×（×）=。相等吗？（是/否）

  算式2：（×）×=；×（×）=。相等吗？（是/否）

  ……

  我们小组共验证了（）组算式，发现（）组相等，（）组不相等。我们的结论是：（）。

  教师活动：巡视指导，关注学生举例的典型性和全面性，提醒学生注意书写规范。选择有代表性的小组（包括验证了特殊数字如0、1的小组）汇报验证过程和结论。

  设计意图：将“验证”环节做实、做深。通过小组合作，扩大验证样本，让学生亲身经历从有限特例归纳出一般结论的推理过程。学习单的设计引导学生进行结构化思考和记录，培养严谨的科学态度。特殊例子的考虑，有助于完善对规律的认识，理解其普适性。

  3.几何直观，阐明算理

  教师活动：为深化理解，突破算理难点，引入几何模型。课件动态演示：一个长为a、宽为b、高为c的长方体。“计算这个长方体的体积，我们有哪些方法？”

  学生活动：回忆长方体体积公式V=长×宽×高。

  教师活动：动态演示两种算法：第一种，先算底面积（a×b），再乘以高c，得到（a×b）×c；第二种，先算侧面积（b×c），再乘以长a，得到a×（b×c）。提问：“这两种方法计算的都是同一个长方体的体积，结果会怎样？这个模型对我们理解之前的猜想有什么帮助？”

  学生活动：观察动画，建立“算式”与“几何模型”之间的联系。理解到，无论是先算（a×b）还是先算（b×c），最终计数的“体积单位”的总个数是固定不变的。从而从“量”的守恒角度理解“积”的不变。

  设计意图：数形结合是突破抽象运算律理解难点的利器。长方体体积模型为乘法结合律提供了直观的、可操作的几何解释，将抽象的“数”的运算转化为直观的“形”的度量，帮助学生从“为什么不变”的层面理解规律的本质，实现思维从具体到抽象的顺利过渡，并渗透“等积变形”的思想。

  （三）抽象概括，建立“结合”模型（预计用时：7分钟）

  1.归纳命名，规范表述

  教师活动：在学生充分验证和直观理解的基础上，引导全班总结：“经过大量的举例验证和几何模型的分析，我们可以确认这个猜想是成立的。在数学上，我们把这个规律叫做‘乘法结合律’。”板书课题：乘法结合律。并请学生尝试用更精炼、完整的数学语言叙述定律。

  学生活动：尝试表述，相互补充。最终明确：“三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。这叫做乘法结合律。”

  2.符号表达，建立模型

  教师活动：提问：“像用字母表示交换律一样，你能用字母式子表示乘法结合律吗？想一想，用哪些字母？如何表示括号位置的变化？”

  学生活动：独立思考后尝试书写，然后展示。通常能得出(a×b)×c=a×(b×c)。

  教师活动：板书字母公式，并强调：“这里的a、b、c可以表示哪些数？”引导学生明确可以表示任意整数、小数、分数等，感受字母表示的一般性和优越性。同时，对比板书乘法交换律：a×b=b×a，引导学生辨析两者的异同：交换律改变的是因数的“位置”，结合律改变的是运算的“顺序”（结合方式）。

  设计意图：从自然语言描述到符号语言表达，是学生数学抽象能力的一次飞跃。通过自主尝试用字母表示规律，强化符号意识。与交换律的对比辨析，有助于学生厘清两个容易混淆的运算律，构建清晰的知识网络。

  （四）对比深化，建构“运算律”体系（预计用时：5分钟）

  教师活动：组织学生开展小组讨论：“到现在为止，我们学习了哪些乘法运算律？它们各有什么特点？在什么情况下使用，能给计算带来简便？”引导学生从“变化什么”、“不变什么”、“应用价值”三个维度制作简易的思维对比卡片。

  学生活动：小组合作，整理归纳。

  乘法交换律：变化因数的“位置”，积不变。常用于凑整十、整百数相乘。

  乘法结合律：变化相乘的“顺序”（结合方式），积不变。常用于创造能凑整的相乘对。

  教师活动：进一步追问：“有时，为了计算简便，我们需要同时运用交换律和结合律。你能举个例子吗？”例如：计算125×7×8。引导学生分析：看到125和8，想到125×8=1000，因此可以先利用交换律将7和8交换位置，变成125×8×7，再利用结合律先算125×8。强调：交换律是“搬家”，结合律是“分组”，两者协同作战，威力更大。

  设计意图：将新知识纳入已有的知识结构中进行对比和关联，是实现深度学习和知识结构化的关键。通过制作对比卡片，学生能清晰梳理两个运算律的本质区别与联系。引入综合应用的例子，让学生初步体验运算律的协同使用，为后续灵活应用做好铺垫，避免知识孤立。

  （五）分层应用，发展“简算”素养（预计用时：12分钟）

  练习设计遵循“基础巩固→综合应用→拓展挑战”的梯度，满足不同层次学生的发展需求。

  1.基础巩固（辨识与模仿）

  （1）根据乘法结合律填空。

  ①(35×25)×4=35×（×）

  ②18×（5×11）=（×）×11

  ③6×13×5=6×（×）（此题需先运用交换律，为后续铺垫）

  设计意图：直接应用定律进行算式变形，巩固对定律形式结构的掌握。第③题设置小障碍，引导学生思考不能直接结合时怎么办。

  （2）判断对错，并说明理由。

  ①(8×4)×25=8×4×25（）理由：。

  ②125×（8×4）=（125×8）×4（）理由：。

  ③9×20×5=9×(20×5)运用了乘法结合律。（）理由：________________。

  设计意图：通过辨析，加深对结合律本质（改变运算顺序，需加括号）的理解，避免与连乘无括号形式的混淆。

  2.综合应用（简便计算）

  （1）简便计算下列各题。

  ①50×（37×2）②125×32×25③25×19×4

  对于②题，引导学生将32拆分为8×4，即125×（8×4）×25，再运用结合律和交换律分组计算：(125×8)×(4×25)。

  （2）解决问题。

  “学校图书室有4个书架，每个书架有5层，每层可以放24本书。这些书架一共可以放多少本书？”（鼓励用不同方法简便计算）

  设计意图：将运算律应用于实际计算和问题解决中，让学生真切感受运算律带来的简便。第②题是经典的综合运用题，锻炼学生的数感（对125、25的敏感度）和策略性分解因数的能力。解决问题回归情境，体现数学的应用价值。

  3.拓展挑战（联系与发展）

  （1）想一想，填一填：☆×（△×○）=（×）×，这里运用了（）律。

  （2）你能用今天学的知识解释为什么可以这样简便计算吗？36×25=9×（4×25）=9×100=900。

  （3）探究：乘法结合律对于三个以上的数相乘还适用吗？如：a×b×c×d，可以怎样结合？试试看。

  设计意图：第（1）题用图形符号代替数字，提升抽象水平。第（2）题将结合律与因数分解结合，拓宽简便运算思路。第（3）题引导学生将规律进行推广，初步感知运算律的扩展性，培养探究精神。

  （六）总结升华，拓展延伸（预计用时：3分钟）

  1.回顾总结

  教师活动：引导学生从知识、方法、体验三个方面进行课堂总结。

  学生活动：自由发言。

  知识方面：学习了乘法结合律，知道(a×b)×c=a×(b×c)，并能用它进行简便计算。

  方法方面：经历了“观察猜想—举例验证—归纳概括—应用”的探究过程，学会了用举例和几何模型来研究规律。

  体验方面：感受到了数学规律的简洁美和实用价值，体会到了合作学习的乐趣。

  2.拓展延伸

  教师活动：布置开放性作业和思考题。

  （1）基础作业：完成练习册相关基础题。

  （2）探究作业（二选一）：

  ①生活小调查：找一找生活中哪些地方用到了连乘计算，想一想能否运用乘法结合律来优化解决方案（如计算教室粉刷面积、设计包装盒用纸等）。

  ②数学小研究：我们已经知道加法和乘法都有结合律。那么减法和除法有结合律吗？请像今天一样，通过举例子的方法进行研究，并写下你的发现和结论。

  设计意图：总结环节帮助学生梳理学习收获，形成完整的认知闭环。开放性作业将数学学习延伸到课外和生活，体现学科融合与实践性。探究作业②旨在引导学生运用本课掌握的探究方法进行迁移研究，培养独立思考能力和批判性思维，为后续学习做好铺垫。

  七、板书设计

  （黑板左侧）

  乘法结合律

  猜想：三个数相乘，先乘前两个