山西省晋中市高三下学期开学调研测试数学

2026年3月晋中市高三年级调研测试数学注意事项：1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B. C. D.【答案】D【详解】由，解得，因为，所以.因为，所以.2.已知，则“”是“”的（）A.充要条件 B.充分不必要条件C必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由于在R上单调递增，故由，可得，则显然成立；取，满足，但是，即不成立，故“”是“”的充分不必要条件.3.若随机变量，且，则（）A. B.C D.【答案】A【详解】由随机变量，可得正态分布曲线关于对称，因为，所以，又因为，所以，所以.4.已知数列中，，且为等比数列，则（）A.50 B.90 C.162 D.242【答案】B【详解】由，可得，因为数列为等比数列，设其公比为，可得，则，所以.5.已知函数的定义域为，若函数，则的解析式不可能是（）A.B.C.D.【答案】C【详解】的定义域为，则的定义域为，，故为偶函数；选项A：的定义域为，是偶函数，构造，则，，满足条件，故A可能；选项B：的定义域为，是偶函数，构造，则，满足条件，故B可能；选项C：的定义域为，，故是奇函数，故C不可能；选项D：是定义域为的偶函数，构造，则，，满足条件，故D可能．6.在平面内，某质点在三个力的作用下恰好处于平衡状态，其中，则在上的投影向量的坐标为（）A. B.C. D.【答案】B【详解】因为三个力的作用下恰好处于平衡状态，所以，设，根据向量的坐标运算，，所以，所以.因为，所以在上的投影向量的坐标为.7.已知函数的一个零点是，为了得到函数的图象，只需将的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向左平移个单位长度C.向右平移个单位长度 D.向右平移个单位长度【答案】A【详解】已知是的零点，因此，代入得：

，即

，解得，所以又所以将向左平移个单位长度得到函数的图象，8.在平面直角坐标系中，已知点，若，则（）A. B.0 C. D.【答案】C【详解】根据题意可知，，，即．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在一次机器人大赛中，7位评委给某机器人的打分（单位：分）为，则下列说法正确的有（）A.去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的极差不变B.去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的平均数不变C.去掉一个最低分和一个最高分后，这组数据的方差会变小D.这组数据的分位数为93【答案】BC【详解】对于A，原极差：；去掉最低分、最高分后，剩余数据为，极差为，极差改变，故A错误；对于B，原数据总和：，原平均数，去掉两端后总和为，平均数，平均数不变，故B正确；对于C，方差衡量数据波动程度，去掉了离平均数（）最远的两个数据和，剩余数据波动更小，因此方差变小，故C正确；对于D，计算分位数：由，向上取整得分位数位置为第位，第位数据是，不是，故D错误.10.已知双曲线的左､右焦点分别为，过点的直线与在第一､四象限的交点分别为，与轴的交点为，若，且，则下列说法正确的有（）A.B.的离心率为C.直线的斜率为2D.点到上的点的距离的最小值为【答案】ABD【详解】由，且，得，由双曲线的定义得,所以，又，所以，则，即，所以，故A正确；在中，，在中，，所以，则离心率，故B正确；在中，，则，则，所以直线的斜率为3，故C错误；由C选项得，直线l的方程为，令，得，即设双曲线C上点，则，即，因为，所以，则，所以，所以当时，有最小值，且为，所以，即点到上的点的距离的最小值为，故D正确.11.如图，已知正方体的棱长为是侧面内的一个动点（含边界），分别是的中点，设，则下列说法正确的有（）A.若点在平面内，则B.当取得最小值时，C.若，则的取值范围是D.若点在三棱锥的外接球面上，则的取值范围是【答案】AC【详解】我们如图建立空间直角坐标系，设，为轴，为轴，为轴，由正方体的棱长为2，可得各点坐标：，，，，对于A，

由，则点（），可设平面的法向量为，由于，，则，令，则，则，由点在平面内，则，即，则

，故A正确；对于B，由，，，当时，取到最小值，不是，故B错误；对于C，由，代入点，，可得，平方得：，再平方得：所以的轨迹是椭圆，因为，所以，则，即，故C正确；对于D，取的中点分别为，由分别是的中点，可知长方体的外接球就是三棱锥的外接球，由于长方体的外接球球心为，且则外接球半径为，所以三棱锥的外接球方程为：

，将点代入外接球方程，展开整理：

因为左边（），因此右边满足：

解不等式得：，解不等式得：或，结合，可得的范围为，故D错误.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知复数在复平面内对应的点为，则__________．【答案】【详解】由题意可知，又因为，所以．13.小明参加校园新春体能打卡，需完成9次打卡动作，其中有2次柔韧打卡，3次力量打卡，4次耐力打卡，同类的打卡难度不同，需从易到难依次进行，任意2次耐力打卡不能相邻，不同类的打卡可以穿插进行，则完成全部打卡的不同顺序共有__________种.【答案】150【详解】第一步：排非耐力打卡：非耐力共有次打卡，同类顺序固定，只需从5个位置中选2个放柔韧打卡，剩余3个放力量打卡，放法数为：；第二步：插入耐力打卡：5个排好的打卡共形成6个空隙（含两端），要选4个空隙各插入1次耐力打卡（保证不相邻），且耐力顺序固定，选法数为：，第三步：根据分步乘法计数原理，总顺序数为：.14.在锐角三角形中，角所对的边分别为，且，则的取值范围为__________．【答案】【详解】，，，即，已知三角形是锐角三角形，，故，，故，解得，由得，则，，故，，，解得，锐角三角形中，，，，解得，，由正弦定理得，解得，令，，故，则单调递增，，即的取值范围为．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知数列的前项和为，且.（1）证明：是等比数列；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】证明：因为，所以当时，，解得，当时，，所以，即.所以，又，所以是以为首项，3为公比的等比数列.【小问2详解】由（1）知，.所以，则，①，②①减去②，得：所以.16.如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，且，是棱上一动点.（1）若为棱的中点，证明：平面；（2）若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【小问1详解】如图，取的中点，连接.由为的中点，为的中点，，且，可得，.所以四边形为平行四边形，故.又平面，平面，所以平面.【小问2详解】取的中点，连接.由为等边三角形，得，又平面平面，平面平面，平面，所以平面.由，，得四边形是平行四边形于是，又，则，直线两两互相垂直.以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，所以.设平面的法向量为，则，即，令，可得易知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.晋中市的平遥推光漆器是中国四大名漆器之一，其制作过程中描金､罩漆､抛光三个核心环节的成功率直接影响漆器的等级与收益.已知某工艺师在描金､罩漆､抛光环节的成功率分别为（各环节相互独立）.若描金失败，则该漆器直接报废，每件废品损失25元；若描金成功但罩漆和抛光中至少有一个环节失败，则为普品；若三个环节均成功，则为精品.普品和精品均为成品，可对外销售，假设每件漆器的制作过程相互独立.（1）求该工艺师制作的一件漆器为精品的概率；（2）该工艺师共制作件漆器，记其中精品的数量为，普品的数量为，若，求的值；（3）该工艺师计划制作一批漆器进行销售，现有两种销售方案：方案①：成品全部线下零售，普品每件可获利80元，精品每件可获利300元；方案②：成品全部线上零售，在方案①获利的基础上，每件成品均需支付5元快递费，且每件精品可获得25元的线上平台补贴.分别求采用销售方案①②时一件漆器的期望利润，并判断对该工艺师来说，哪种方案更好.【答案】（1）（2）（3）100元，元，方案②更好【小问1详解】设事件为“描金成功”，事件为“罩漆成功”，事件为“抛光成功”，则，且相互独立.所以该工艺师制作的一件漆器为精品的概率为.【小问2详解】由题可知该工艺师制作一件漆器为精品的概率，为废品的概率，为普品的概率.由题可知，故.因为，所以，解得.【小问3详解】当采用方案①时，设一件漆器的利润为元，则的所有可能取值为，的分布列为2580300所以（元）.当采用方案②时，设一件漆器的利润为元，则的所有可能取值为，的分布列为2575320所以（元）.因为，所以对该工艺师来说，方案②更好.18.已知椭圆方程为，其长轴长为6，且点在上.（1）求的方程；（2）设的左顶点为，动直线的斜率为，且与交于两点，为坐标原点.（i）若，且的重心在轴上，求的方程；（ii）若经过的右焦点，点在第一象限，是关于原点的对称点，且四边形与的面积之比为，求的值.【答案】（1）（2）（i）；（ii）【小问1详解】由长轴长为6，可得，则.将点的坐标代入椭圆方程，可得，解得.故的方程为.【小问2详解】（i）由（1）可知，设直线.联立得可得.由，可得.的重心的横坐标为，则，即，符合，故直线的方程为.（ii）由（i）可知.设，联立得可得，则如图，因为的面积，四边形的面积所以，得.故，①，②联立①②，得，又在第一象限，所以，故解得，所以.19.已知函数.（1）当时，求的单调区间；（2）当，且时，证明：；（3）当时，若正实数满足，求证：.【答