2025-2026学年福建省厦门市同安区第一中学中高一（下）期中数学试卷(含简略答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年福建省厦门市同安区第一中学中高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。1.在复平面内，点Z（3，-4）对应的复数为z,则复数的虚部为（）A.2 B. C. D.2.已知，为单位向量，且满足|-|=，则|2-|=（）A. B. C. D.33.设m,n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（）A.若m∥α，n⊂α，则m∥n B.若m∥α，α∥β，则m∥β

C.若m⊥α，m⊥n,则n∥α D.若m⊥α，m∥β，则α⊥β4.在△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，则等于（）A. B. C. D.5.已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置时的斜二测直观图为矩形A'B'C'D'，如右图所示．若A'O'=O'B'=B'C'=1，则该直四棱柱的表面积为（）A.

B.

C.

D.6.已知正四棱锥P-ABCD的侧棱长为4，且∠APB=30°，若一只蚂蚁从点A出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点A，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A.6 B. C. D.7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,若，则cosB=（）A. B. C. D.8.在直角三角形ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则取值范围为（）A.[4，6] B. C.[2，4] D.二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。9.已知i为虚数单位，下列说法正确的有（）A.复数的共轭复数

B.i+i2+i3+i4=0

C.复数z=3-i的模为10

D.已知复数z满足|z-1|=|z+i|，则z在复平面内对应的点的轨迹为直线10.如图所示，线段AB是⊙C的弦，其中AB=8，AC=5，点D为⊙C上任意一点，则以下结论正确的是（）A.

B.

C.当时

D.的最大值是72

11.如图，在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N，P分别是棱C1D1，AA1，BC的中点，点Q满足，则下列说法正确的有（）A.PQ∥平面ADD1A1

B.若Q，M，N，P四点共面，则

C.若，点F在侧面BB1C1C内（包括边界），且A1F∥平面APQ，则点F的轨迹长度为

D.若，过A，P，Q三点作该正方体的截面将该正方体分成两部分，较小体积与较大体积的比值为

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量，，若与共线，则实数m=

.13.《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图P-ABCD是阳马，PA⊥平面ABCD，PA=5，AB=4，AD=3，则该阳马的外接球的体积为

.

14.赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为

；设，则λ+μ=

.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知△ABC中，a,b,c分别为角A，B，C的对边，.

（1）求B；

（2）若a=3c,点D是AC的中点，且，求△ABC的面积.16.(本小题15分)

如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，，点E，F分别为棱BC，A1B的中点.

（1）证明：直线EF∥平面AA1C1C；

（2）求异面直线EF与B1C所成的角的余弦值.17.(本小题15分)

已知向量，，且，θ∈（0，π）.

（1）求θ的值；

（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a,b,c.若A=θ，求的取值范围.18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=AB=2，BC=1，M，N分别为PC，PB中点.

（1）求证：PB⊥DM.

（2）求BD与平面ANMD所成角的余弦值.

（3）求点C到平面PBD的距离.19.(本小题17分)

现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，必须将四条线段全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形.

（1）求出两种符合条件的三角形的面积.

（2）如图，在平面凸四边形ABCD中，AB=1，BC=3，CD=2，DA=4.

①连接BD，当∠A大小变化时，试用sinA和sinC来表示四边形ABCD面积SABCD，并求SABCD的最大值.

②当时，△ABD所在平面内是否存在点P，使得|PA|+|PB|+|PD|达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由.

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】BD

10.【答案】ABD

11.【答案】ACD

12.【答案】．

13.【答案】

14.【答案】

15.【答案】；

．

16.【答案】证明：因为F是A1B的中点，E是BC的中点．

故EF∥A1C，

又A1C⊂平面AA1C1C，EF⊄平面AA1C1C，

所以EF∥平面AA1C1C

17.【答案】

18.【答案】∵PA⊥平面ABCD，AD⊂平面ABCD，∴PA⊥AD，

又∵AD⊥AB，AB∩PA=A，AB⊂平面PAB，