初中数学七年级下册《角的平分线性质》教案

初中数学七年级下册《角的平分线性质》教案

一、教材内容分析

（一）课标定位与核心素养关联

本节课隶属于“图形与几何”领域，具体对应《义务教育数学课程标准（2022年版）》中“图形的性质”主题。课标明确要求：理解角平分线的概念；探索并证明角平分线的性质定理及其逆定理（角平分线的判定定理）；掌握用尺规作一个角的平分线。本节内容是在学生已经学习了线段、角的基本概念、三角形全等的判定与性质、命题与证明的初步知识之后，对几何图形基本性质研究的深入。它是全等三角形知识的延续和应用，也是后续学习轴对称、等腰三角形、圆等知识的重要基础，起着承上启下的桥梁作用。

从数学核心素养培育的角度审视，本节课是发展学生几何直观、逻辑推理、抽象能力等核心素养的优质载体。在探索角平分线性质的过程中，学生需要动手操作、观察猜想，锻炼几何直观；在证明性质定理时，需严谨运用全等三角形的知识进行逻辑推理；在将“点到直线的距离”概念应用于角平分线性质的表述时，需要抽象概括能力。尺规作图则强化了学生的动手操作能力和对几何作图原理的理解。

（二）知识结构与内在逻辑

本节课的核心知识结构呈现为“一个概念、一个作图、两个定理（互逆）及其应用”。

1.概念基础：角的平分线的定义，即从角的顶点出发，将角分成两个相等角的射线。这是全课的逻辑起点。

2.作图基础：尺规作已知角的平分线。这不仅是基本技能，其作图过程本身也为性质的发现提供了直观模型和隐含的证明思路（SSS证明三角形全等，得到两个角相等）。

3.核心定理：

1.4.性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。该定理揭示了角平分线上点的“不变性”特征，是“形”（角平分线）到“数”（距离相等）的转化。

2.5.判定定理（逆定理）：到一个角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。该定理完成了“数”（距离相等）到“形”（点在平分线上）的判定，与性质定理构成互逆关系。

两个定理相辅相成，共同刻画了“角的平分线”这一几何对象的完整特征：它既是满足“距离相等”的所有点的集合（判定），其上的点又都具有“距离相等”的属性（性质）。这种“集合”与“属性”的对应，是解析几何思想的早期渗透。

（三）教学价值与育人功能

本节内容的教学价值远超知识本身。首先，它是训练学生“猜想-验证-证明”这一完整数学探究过程的经典案例。从折纸、测量等实验活动产生猜想，到利用几何画板等工具动态验证，再到严格的逻辑证明，学生能亲历数学结论的发现与创造过程。其次，定理的证明过程灵活运用了全等三角形的知识，是知识迁移和综合应用的典范。再次，性质定理在解决实际问题（如选址、光学路径等）中的应用，体现了数学的工具性和应用价值。最后，互逆定理的学习有助于学生进一步理解命题的结构，发展逆向思维能力。整个学习过程渗透着对称美、统一美和逻辑美，有助于培养学生的理性精神和科学态度。

二、学情现状分析

（一）认知基础与技能储备

七年级下学期的学生已经具备以下与本节课直接相关的认知基础：

1.知识层面：牢固掌握了角的概念、度量与比较；熟练掌握了三角形全等的四种判定方法（SSS，SAS，ASA，AAS）及其性质；学习了命题、定理、证明的初步格式；了解了“点到直线的距离”的概念。

2.技能层面：具备基本的尺规作图能力（如作一条线段等于已知线段），能进行简单的几何测量与计算；初步养成了阅读几何文本、书写简单证明过程的习惯。

3.经验层面：在生活中有使用量角器等工具平分角的经验，对“平分”有直观理解。

（二）潜在困难与认知障碍

尽管有以上基础，学生在学习本节时仍可能面临如下挑战：

1.“距离”概念的混淆：性质定理中的“距离”特指“点到直线的距离”，即垂线段的长度。部分学生可能错误理解为“点到点的距离”（如顶点到点的距离），或在证明和表述中忽略“垂直”这一前提条件。这是本节课最易出现的概念性错误。

2.互逆关系的理解：学生首次系统性接触一对互逆定理（性质与判定）。容易混淆二者的条件和结论，不清楚在何时该用性质（已知点在平分线上，推距离相等），何时该用判定（已知距离相等，推点在平分线上）。

3.性质定理证明的构图：如何根据文字命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，正确地添加辅助线（作垂线段），构造出包含已知条件和结论的两个直角三角形，并选择恰当的全等判定方法，对学生而言是一个思维跃迁。部分学生可能无从下手，或构造错误。

4.几何语言三种形态的转化：将文字语言叙述的定理，准确地转化为图形语言（正确作图）和符号语言（严谨书写证明过程），并实现三者之间的自由转换，是几何学习的高阶能力，学生需要持续训练。

5.应用的灵活性：在复杂图形中（尤其是含有多个角平分线或与其他几何图形组合时），识别和运用角平分线性质解决问题，需要较强的观察能力和综合运用知识的能力。

（三）学习心理与思维特征

此阶段学生的思维正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期。他们好奇心强，乐于动手操作和参与探究，但思维的深刻性、严谨性和系统性有待加强。他们可能满足于通过实验观察得到“显然”的结论，而对逻辑证明的必要性认识不足。同时，他们开始具备一定的归纳和类比能力，可以在教师引导下，将线段垂直平分线的学习经验迁移到角平分线的研究中。教学应充分利用其好动、好奇的心理，设计丰富的探究活动，并适时引导他们走向理性思考和严密论证。

三、教学目标设定

（一）教学目标

1.知识与技能：

1.2.掌握尺规作已知角的平分线的方法，理解其作图依据。

2.3.探索并证明角的平分线的性质定理和判定定理。

3.4.能初步运用角的平分线的性质定理和判定定理解决简单的几何证明与计算问题。

5.过程与方法：

1.6.经历“动手实验—观察猜想—验证推理—归纳总结”的探索过程，获得研究几何图形性质的基本活动经验。

2.7.通过对比性质定理与判定定理的条件和结论，理解互逆命题的关系，提高逆向思维能力。

3.8.在解决问题中，体会添加辅助线（作垂线段）构造全等三角形的方法，发展几何直观和逻辑推理能力。

9.情感、态度与价值观：

1.10.在探究活动中感受数学发现的乐趣，体验成功的喜悦，增强学习数学的自信心。

2.11.通过尺规作图，感受几何作图的准确与简洁之美；通过定理的证明与应用，体会数学的严谨性与应用价值。

3.12.培养合作交流的意识与理性思考的习惯。

（二）教学重难点

1.教学重点：角的平分线的性质定理和判定定理的探索、证明及其初步应用。

2.教学难点：

1.3.性质定理证明中辅助线的添加思路及证明过程的规范表述。

2.4.正确区分和应用角的平分线的性质定理与判定定理。

四、教学准备与资源

（一）教师准备

1.多媒体课件：包含生活情境图片（如风筝制作、公园规划图）、角平分线尺规作图动画、几何画板动态演示文件（用于验证性质：在平分线上取动点，动态测量其到两边的距离，显示恒等）、例题与变式题、课堂小结思维导图。

2.教具：三角板、圆规、量角器、纸质角模型（用于学生折纸）、教学用大三角板和圆规。

3.教学设计：详细的教学流程、预设问题、学生活动指导方案。

（二）学生准备

1.学具：直尺、圆规、量角器、三角板、练习本、课堂活动任务单。

2.知识复习：回顾“点到直线的距离”概念、三角形全等的判定与性质。

3.心理准备：预习课本相关内容，对“角平分线有什么特殊性质”产生初步疑问。

五、教学过程实施

（一）创设情境，问题导入（预计用时：8分钟）

活动一：生活观察，引出课题

1.课件展示一组图片：

1.2.图1：工人师傅使用角尺平分一个工件角。

2.3.图2：风筝的骨架结构图中，竹条需要固定在角的平分线上以确保平衡。

3.4.图3：某公园规划图，要在两条道路夹角的平分线上修建一个便民服务亭，要求到两条道路的距离相等。

5.教师提问：“这些图片中蕴含了一个共同的几何图形是什么？它起到了什么作用？”引导学生发现“角的平分线”。

6.追问：“为什么便民服务亭要建在角的平分线上？角平分线上的点到底有什么‘魔力’？”引出核心问题：角的平分线上的点具有什么性质？

活动二：温故知新，明晰概念

1.请学生用语言叙述“角的平分线”的定义，并在黑板上画出图形，用符号表示：若OC是∠AOB的平分线，则∠AOC=∠COB=1/2∠AOB。

2.复习“点到直线的距离”的概念。教师强调：“距离”是长度，是数量；必须过点作直线的垂线，垂线段的长度才是距离。

3.承上启下：“我们已经知道角平分线‘分角’的功能，今天我们要探究它另一个更重要的功能——与‘距离’有关的性质。”

【设计意图】从现实情境和实际问题出发，激发学生的学习兴趣和探究欲望。通过复习两个关键概念，扫清认知障碍，为新课探究做好精准铺垫，使探究目标清晰聚焦于“距离”关系。

（二）实践探究，发现性质（预计用时：12分钟）

活动三：动手操作，直观感知

1.任务一（折纸）：每位学生分发一个画在纸上的∠AOB。要求学生不借助工具，通过折叠的方法找出角的平分线OC。折好后，在OC上任取一点P，过P点分别向OA、OB作垂线，垂足为D、E。再沿OC折叠，观察PD与PE有何关系？用量角器测量∠PDO和∠PEO的度数。

1.2.学生活动：动手折叠、画垂线、观察、测量、与小组成员交流发现。

2.3.教师巡视：指导操作规范，关注学生是否准确作出了“垂线段”。

4.任务二（尺规作图与测量）：教师在黑板上示范或播放动画，展示用尺规作∠AOB的平分线OC的规范步骤。学生跟随在练习本上作图。在OC上任取两点P1、P2，分别过这两点向OA、OB作垂线段，用刻度尺测量每组垂线段的长度，并记录数据。

1.5.学生活动：规范尺规作图，精确测量并记录数据，比较P1D1与P1E1，P2D2与P2E2的大小关系。

6.汇报与猜想：请学生代表汇报操作结果。

1.7.折纸发现：折叠后，PD与PE完全重合。

2.8.测量数据：PD=PE，P1D1=P1E1，P2D2=P2E2。

3.9.测量角度：∠PDO=∠PEO=90°。

10.教师引导归纳：“通过以上实验，我们直观感知到，在角的平分线上任意取一点，过这点向角的两边作垂线，所得的垂线段长度相等。”教师板书学生的猜想：角平分线上的点到角的两边的距离相等。

活动四：动态验证，深化猜想

1.教师利用几何画板软件，预先制作好∠AOB及其平分线OC。在OC上取一个动点P，连接PA、PB（非必须），并过P点作PD⊥OA于D，PE⊥OB于E。

2.动态演示：拖动点P在OC上运动，同时显示PD和PE的长度数值。

3.学生观察：无论点P在OC上如何运动（除顶点O外），PD和PE的长度数值始终同步变化并保持相等。

4.教师总结：“通过动态几何的验证，我们的猜想得到了进一步的支持。但这还只是实验归纳，在数学中，一个普遍成立的结论需要经过严格的逻辑证明。”

【设计意图】通过“折纸”和“尺规作图+测量”两种操作活动，从不同角度获得丰富的直观体验，使猜想源于实践，真实可信。几何画板的动态验证，将有限的静态观察推广到无限的动态情形，增强了猜想的说服力，并为证明的必要性埋下伏笔。活动设计层层递进，符合学生的认知规律。

（三）推理论证，形成定理（预计用时：15分钟）

活动五：分析求证，证明性质

1.文字转译：教师引导学生将猜想转化为规范的几何命题语言。

1.2.已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。

2.3.求证：PD=PE。

（教师板书已知、求证，并画出规范图形）

4.思路分析：这是学生面临的主要难点。教师采用问题串进行引导：

1.5.“要证明两条线段相等，我们学过哪些主要方法？”（全等三角形对应边相等，等角对等边等）

2.6.“观察图形，PD和PE分别在哪两个三角形中？”（△PDO和△PEO）

3.7.“这两个三角形看起来像什么三角形？”（直角三角形）

4.8.“要证明这两个直角三角形全等，我们需要哪些条件？目前已知哪些条件？”

5.9.“已知∠AOC=∠BOC（角平分线定义），还有吗？”（两个直角：∠PDO=∠PEO=90°）

6.10.“现在有了两个角对应相等，还差什么？”（一条边）

7.11.“哪条边是‘公共’的，可以为我们所用？”（斜边OP是公共边）

8.12.“根据什么判定定理可以证明它们全等？”（AAS或HL。强调在Rt△中，HL定理更简洁）

13.规范证明：师生共同完成证明过程的书写，教师板书示范，强调每一步的推理依据。

1.14.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB（已知）

∴∠PDO=∠PEO=90°（垂直的定义）

2.15.∵OC是∠AOB的平分线（已知）

∴∠AOC=∠BOC（角平分线的定义）

3.16.在△PDO和△PEO中，

∠PDO=∠PEO（已证）

∠AOC=∠BOC（已证）

OP=OP（公共边）

∴△PDO≌△PEO（AAS）

4.17.∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）

（也可用HL：OP=OP，PD⊥OA，PE⊥OB，可得两个Rt△，再用HL）

18.形成定理：教师揭示：“经过严格的证明，我们的猜想成为了一个真命题，我们把它叫做‘角的平分线的性质定理’。”请学生齐声朗读定理，并圈出关键词：“平分线”、“点”、“距离相等”。

活动六：逆向思考，再获定理

1.教师提出逆向问题：“性质定理说的是，如果一个点在一个角的平分线上，那么这个点到角两边的距离相等。反过来，如果已知一个点到一个角两边的距离相等，那么这个点是否一定在这个角的平分线上呢？”

2.猜想与表述：引导学生类比性质定理，尝试叙述逆命题。教师修正并板书：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。

3.独立证明：要求学生仿照性质定理的证明过程，尝试独立完成逆定理的证明。教师巡视，个别指导。

1.4.已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE。

2.5.求证：点P在∠AOB的平分线上（即OP平分∠AOB）。

3.6.证明思路分析：连接OP，证明Rt△PDO≌Rt△PEO(HL)，从而得到∠AOP=∠BOP。

7.形成定理：学生口述证明过程，教师板书。明确此逆命题也为真，称为“角的平分线的判定定理”。强调其作用是“判定”一个点是否在角平分线上。

活动七：对比辨析，理解互逆

1.将性质定理和判定定理并排展示在黑板或课件上。

2.组织学生小组讨论，填写表格，比较两个定理的条件和结论。

定理名称

条件

结论

作用

性质定理

点在角的平分线上

点到角两边的距离相等

由“形”推“数”

判定定理（逆定理）

点到角两边的距离相等

点在角的平分线上

由“数”定“形”

1.教师总结：“这两个定理的条件和结论正好互换，它们是一对互逆定理。性质定理告诉我们角平分线上的点都具备‘距离相等’的属性；判定定理告诉我们，具备‘距离相等’属性的点都在角平分线上。这就像给角的平分线下了一个‘双保险’的定义。”

【设计意图】证明环节是突破难点的关键。通过问题串引导学生分析证题思路，化解了辅助线添加和全等构造的思维障碍。规范的板书示范，为学生提供了证明书写的范例。从性质定理自然过渡到其逆定理，引导学生进行逆向思考，并通过独立证明和对比辨析，深刻理解互逆关系及其不同功能，完成知识体系的完整建构。

（四）初步应用，巩固新知（预计用时：10分钟）

活动八：基础应用，辨析概念

1.例题精讲（课本例题或改编）：

如图，△ABC中，AD是它的角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F。求证：EB=FC。

1.2.分析：由AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，可直接应用角平分线性质定理，得到DE=DF。再结合BD=CD，证明Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，从而得到EB=FC。

2.3.教师示范：引导学生分析条件与结论的关联，梳理证明思路，然后规范书写。

3.4.强调：在书写性质定理的应用时，必须写明“∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF”，三个条件缺一不可。

5.辨析练习（判断对错并说明理由）：

(1)如图，∵OC是∠AOB的平分线，∴AC=BC。（错，缺少垂直条件）

(2)如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴OP是∠AOB的平分线。（对，判定定理）

(3)角的平分线就是到角两边距离相等的点的集合。（对，从集合角度理解判定定理）

活动九：变式训练，深化理解

1.变式1（直接应用性质计算）：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若CD=3cm，AB=10cm，求△ABD的面积。

1.2.思路：应用性质得DE=CD=3cm，△ABD的面积=1/2×AB×DE。

3.变式2（综合应用）：如图，已知BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，且BE⊥CE于点E。求证：AB//CD。

1.4.思路：由角平分线和垂直条件，可推导出∠ABC+∠BCD=180°，从而得证。

【设计意图】通过典型例题，示范定理的应用格式和逻辑链条。辨析练习旨在强化对定理成立条件的精确把握，尤其是“距离”的垂直前提。变式训练由浅入深，从单一性质应用到与其他几何知识的初步综合，促进学生对新知的内化和迁移。

（五）尺规作图，溯源原理（预计用时：5分钟）

活动十：操作与说理

1.教师提问：“我们已经会用折纸、量角器作角平分线，那么只用没有刻度的直尺和圆规，如何作出一个角的平分线？其原理是什么？”

2.学生回忆或阅读课本，口述尺规作角平分线的步骤。教师用课件动画同步演示关键步骤。

3.教师追问：“为什么以相同长度为半径画弧？为什么连接交点与顶点得到的射线就是角平分线？”引导学生从作图步骤中寻找全等三角形（SSS），从而证明所作射线平分已知角。

4.学生当堂用尺规在练习本上作一个角的平分线，并同桌互相检查步骤的规范性。

【设计意图】将尺规作图从单纯的技能操作提升到理解数学原理的层面。通过追问“为什么”，引导学生发现作图背后的全等三角形证明，实现知识（全等三角形）与技能（尺规作图）的融合，使学生不仅“知其然”，更“知其所以然”。

（六）归纳小结，体系建构（预计用时：5分钟）

活动十一：总结升华

1.知识梳理：教师引导学生以思维导图或知识树的形式，共同回顾本节课的学习历程。

1.2.中心主题：角的平分线。

2.3.分支一：定义（分角）。

3.4.分支二：作法（尺规作图，原理是SSS）。

4.5.分支三：性质定理（点在线上一→距离相等）。

5.6.分支四：判定定理（距离相等→点在线上一→互逆）。

6.7.分支五：应用（证明线段相等、角相等、计算等）。

8.思想方法提炼：

1.9.研究几何图形性质的一般路径：操作感知→猜想→验证→证明→应用。

2.10.重要的数学思想：数形结合（距离与位置）、转化思想（通过全等转化线段或角）、互逆思想、模型思想（角平分线基本模型）。

11.自我评价：请学生对照学习目标，用一句话分享自己本节课最大的收获或仍存在的疑惑。

【设计意图】通过系统化的梳理，将零散的知识点串联成网，形成稳固的认知结构。提炼思想方法，提升学生的数学思维层次。自我评价环节关注学生的个体获得，并为后续教学提供反馈。

（七）分层作业，拓展延伸（课后完成）

1.基础巩固题（必做）：

1.2.完成课本课后练习题。

2.3.用尺规作一个60°角的平分线，并用量角器检验。

3.4.写出角平分线性质定理的逆命题，并判断其真假。

5.能力提升题（选做）：

1.6.已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC中点，DM平分∠ADC。求证：AM平分∠DAB。

2.7.如图，三条公路两两相交于A、B、C三点，现要修建一个加油站P，使其到三条公路的距离都相等。请用尺规作图确定加油站P的位置（不写作法，保留作图痕迹）。你能找到几个这样的点P？

8.实践探究题（选做）：

1.9.查阅资料，了解角平分线性质在物理（如光学反射定律）、工程测量或艺术设计中的具体应用实例，并尝试用本节课的知识进行解释。

【设计意图】作业设计体现分层理念，满足不同层次学生的发展需求。基础题巩固双基；提升题训练综合应用和作图能力，渗透“三角形内角平分线交于一点（内心）”的结论；实践题打通学科边界，体现数学的广泛应用价值，培养学生的探究精神和跨学科视野。

六、板书设计

（版面左侧）

角的平分线的性质与判定

一、定义：∵OC平分∠AOB

∴∠AOC=∠COB

二、尺规作图（步