人教版六年级数学上册数学广角-数与形练习题

人教版六年级数学上册数学广角——数与形练习题(1)第1个点阵有（）个点，第2个点阵有（）个点，第3个点阵有（）个点。(2)照这样的规律，第5个点阵有（）个点。(3)第n个点阵有（）个点。思路点拨：仔细观察每个点阵的形状和点数。第1个点阵，是1个点。第2个点阵，我们可以看作是在第1个点阵的基础上，在它的下方和右方各增加了1个点，形成了一个类似三角形的形状，但点数是1+2=3个。第3个点阵，同样的思路，在第2个点阵的基础上，在下方和右方各增加了2个点？或者换个角度，第1个点阵可以写成1，第2个是1+2，第3个呢？我们数一下，是1+2+3=6个吗？哦不，图2的描述可能需要更精确。如果第3个点阵是三行，第一行1个，第二行2个，第三行3个，呈三角形排列，那么就是1+2+3=6个。那么第n个点阵就是1+2+3+...+n=n(n+1)/2个点。这就是三角形数的规律。所以，第5个点阵就是1+2+3+4+5=15个点。练习4：图形排列中的计数问题一串珠子按下面的规律排列：●●○●●○●●○...(1)第10颗珠子是什么颜色？(2)前10颗珠子中，黑色珠子有多少颗？白色珠子有多少颗？思路点拨：这道题虽然没有直接给出复杂图形，但珠子的排列本身就是一种“形”的体现。我们首先要找到它的循环规律。观察可知，“●●○”这3颗珠子为一个循环周期，每个周期里有2颗黑珠子（●）和1颗白珠子（○）。(1)求第10颗珠子的颜色：10÷3=3（组）……1（颗）。这意味着前9颗珠子刚好完成3个完整的周期，第10颗是第4个周期的第1颗，对照周期“●●○”，第1颗是黑色。(2)求前10颗珠子中黑、白珠子的数量：每个周期有2颗黑珠子，3个完整周期就有3×2=6颗黑珠子，再加上第10颗也是黑珠子，所以黑珠子总数是6+1=7颗。白珠子数量就是总珠子数减去黑珠子数，10-7=3颗；或者每个周期1颗，3个周期就是3颗。练习5：巧用图形解决实际问题一个长方形的操场，长比宽多10米。小明沿着操场跑了一圈，一共跑了100米。这个操场的长和宽分别是多少米？思路点拨：这是一个典型的几何问题，我们可以通过画线段图来帮助理解。首先，设操场的宽为x米，那么长就是(x+10)米。长方形的周长=2×(长+宽)。根据题意，周长是100米，所以可以列出方程：2×(x+x+10)=100。但如果我们用图形来思考：画一个长方形代表操场，长比宽多出的10米用一段额外的线段表示。周长是两个长加两个宽，也就是两个（宽+10）加两个宽，等于四个宽加20米，总共是100米。那么四个宽就是100-20=80米，一个宽就是80÷4=20米，长就是20+10=30米。通过线段图，数量关系变得更加清晰明了。三、挑战提升与思维训练核心提示：对于学有余力的同学，可以尝试一些更具挑战性的题目，这些题目往往需要更深入的观察和更巧妙的转化，能极大地激发我们的数学潜能。练习6：复杂图形的规律探寻观察下面的图形序列，找出规律并填空。图3：第1个图形：△(1个三角形)第2个图形：△△△(由4个小三角形组成的大三角形)第3个图形：△△△△△△(由9个小三角形组成的大三角形)...(1)第4个图形由（）个小三角形组成。(2)第n个图形由（）个小三角形组成。(3)第（）个图形由100个小三角形组成。思路点拨：这个题目与练习1有相似之处，但图形是三角形。第1个图形，1个小三角形；第2个图形，我们可以看作是2行，每行分别有1个、2个小三角形吗？不，仔细看描述，第2个图形是“由4个小三角形组成的大三角形”，也就是2×2=4个；第3个图形是“由9个小三角形组成的大三角形”，即3×3=9个。哦，原来如此，这里的规律和正方形点阵是类似的！第n个这样的大三角形，是由n²个小三角形组成的。所以第4个图形就是4²=16个小三角形。多少个图形有100个小三角形？因为10²=100，所以是第10个。练习7：数形结合的极限思想初探（选做）古希腊数学家芝诺曾提出“阿基里斯追龟”的悖论，虽然其结论荒谬，但其中蕴含的极限思想对后世影响深远。我们可以通过一个简单的图形来感受“无限”的概念：一个边长为1的正方形，第一次将其面积的1/2涂成阴影，第二次将剩余面积的1/2涂成阴影，第三次再将剩余面积的1/2涂成阴影……如此不断进行下去。(1)第1次涂色后，阴影部分面积是（）。(2)前2次涂色后，阴影部分总面积是（）。(3)前3次涂色后，阴影部分总面积是（）。(4)想象一下，如果无限次涂下去，阴影部分的面积会无限接近（）。思路点拨：这道题引入了“无限”的概念，对六年级同学来说有一定难度，但通过画图非常有助于理解。第1次，阴影面积是1×1/2=1/2。第2次，是在剩下的1/2中再涂1/2，即又涂了1/2×1/2=1/4，所以总面积是1/2+1/4=3/4。第3次，是在剩下的1/4中再涂1/2，即又涂了1/4×1/2=1/8，总面积是3/4+1/8=7/8。我们观察这些结果：1/2，3/4，7/8……它们越来越接近1。如果无限次涂下去，阴影部分就会几乎充满整个正方形，面积无限接近1。这个过程可以用算式1/2+1/4+1/8+1/16+...来表示，其结果无限趋近于1。这就是初步的极限思想。四、总结与学习建议“数与形”的世界丰富多彩，远不止我们练习中所涉及的这些。通过以上练习，我们不难发现：1.细致观察是前提：无论是图形的变化还是数字的排列，只有仔细观察，才能发现其中的端倪。2.寻找联系是关键：要积极思考图形的形态、数量与数字、算式之间的内在联系，尝试用一种形式去解释另一种形式。3.动手操作是捷径：对于较为抽象的规律，动手画一画、摆一摆，往往能让问题变得直观易懂。4.归纳总结是升华：从具体的实例中总结出一般的规律，并用简洁的语言或符号表示出来，是数学思维的重要体现。在今后的学习中，希望同学们能自觉运用数形结合的思想去分析和解决问题。遇到复杂的数字问题，不妨画个图试试看；看到复杂的图形，也不妨数一数其中的