（学生版）浙江省宁波市镇海中学2026届高三模拟预测数学试题与解析

浙江省宁波市镇海中学2026届高三模拟预测

数学试题

★祝大家学习生活愉快★

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合要求

1.已知集合A={y|y=-x2{,B={x|x>2}，则下列说法正确的是

A.A∩B=BB.AUB=RC.([RA(UB=BD.([RB(∩A=A

2.已知α,β,γ是空间中三个不同的平面,a,b,c是空间中三条不同的直线,则下列说法正确的是

A.若a丄b,b丄c,则a聂cB.若α丄β,β丄γ,则α聂γ

C.若a丄α,a丄β,则α聂βD.若a聂α,a聂β,则α聂β

3.图中是抛物形拱桥，当水面在l时，拱顶部离水面1m，水面宽2m，水面下降1m后,水面的宽约为(其中

、2≈1.414,精确到0.1m)

A.1.4mB.2.8mC.4.2mD.5.7m

4.某函数的图像如图所示,则该函数解析式可能为

A.B.C.D.(x2-1(ex

5.若圆锥的内切球与外接球的球心重合,且内切球的半径为1,则圆锥的体积为

A.πB.2πC.3πD.4π

数学试题第1页共4页

6.在△ABC中,角A,B,C为三个内角,则是“A=B”的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知双曲线C的左右焦点分别为F1,F2,直线y=3与双曲线的右支交于点P且∠F1PF2=

,PF2的中点记为Q,且lOQl=3,则双曲线C的离心率为

A.3B.C.23D.3+1

8.已知函数f(x(=ex-x+1,g(x(=klnx,h(x(=kx-k,在区间(0,+∞(上恒有f(x(≥h(x(≥g(x(,求k

的取值范围

A.[0,e2-1[B.(0,e2-1[C.(0,e-1[D.[0,e-1[

二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.下列说法正确的是

A.χ2独立性检验方法不适用于普查数据

B.数据1,2,2,3,3,4,4,5,8,9的上四分位数是8

C.如果散点图中所有的散点都落在一条斜率为非0的直线上,则R2=1

D.已知父亲身高为172cm，儿子身高的观测值为176cm，儿子身高预测值为173cm，则儿子身高的残差

为3cm

→→→→→→→→→→→→→

10.已知平面内的三个非零向量a,b,c满是b.(b-a(=b2,且la-bl=lb-cl=lc-al=2,则下列说法正

确的是

→→→→→→

A.a⊥bB.(a-b(.(b-c(=-2

→→→→

C.a.c的最小值为1D.a.c的最大值为3

11.已知无穷数列{an{前n项和为Sn,若存在i,j∈{1,2,…,n{,当i≠j时,lSil=lSjl,则称{an{为“绝对数

列”.则下列选项正确的是

*

A.已知数列an=2n-5(n∈N(，则数列{an{为“绝对数列”

B.若数列{an{和{bn{均为“绝对数列”,则{an+bn{为“绝对数列”

C.若等比数列{an{为“绝对数列”,则公比为-1

D.存在两个公差均不为0的等差数列{an{和{bn{,使得数列{an{,{bn{,{an+bn{和{anbn{均为“绝对数

列”

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分

12.复数z=(1+i，则lzl=.

13.已知实数a,b满足ab+5=3a+2b，且a>2，则a+b的最小值为.

14.甲有2个白球和1个黑球,乙有3个白球,甲乙两人每次交换1个球,经过5次交换后，黑球仍然在甲手中

的概率为.

数学试题第2页共4页

四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

15.已知锐角△ABC三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若ccosA+3csinA=b+a.

(1)求C的大小；

(2)若CE平分LACB交AB于点E，求的取值范围.

__→__→

16.如图，已知平行四边形ABCD，AB=4,BC=6，LABCE是线段BC上的点，且2BE=EC,F为线

段AD中点，现将△ABE沿AE翻折至△AB1E，使得BB1=2.

___→__→

(1)若点M在线段B1C上，且B1M=3MC，证明:FM聂平面AB1E；

(2)求直线DB1与平面AB1E所成角的正弦值.

B1

M

BC

E

AFD

3

17.设数列{an{的前n项和为Sn,a1=-50,当n≥2时满足nSn-(n+1(Sn-1=n-n.

(1)求Sn；

(2)令bn，记Tn为{bn{的前n项和，当n为何值时，Tn取最小值.

数学试题第3页共4页

18.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y2=4x上点P(t2,2t(处的切线与双曲线x2-y2=1相交于不同的两点

A,B.

(1)若P为AB中点，求实数t的值；

(2)若0<t<1，且在x轴上存在点C，使得△ABC为正三角形，求实数t的值；

(3)若t>1，求△OAB面积的最小值.

x

19.在平面直角坐标系xOy中,曲线Γ1:y=a(a>1(与Γ2:xy=m(m>0(交于点A.

(1)当a=e时，求曲线Γ1在(0,1(的切线方程；

m

(2)若直线OA与Γ1相切于点A,求a的值；

m

3若直线OA与Γ1交于另一点B,且lOBl≥2lOAl,求a的取值范围.

数学试题第4页共4页

参考答案

1.D

【解析】Ayyx2yy0Bxx2,

AB={A|B=-R{=C{RA|≤0{,={C|RA>}B0B,

CRB2CRBA0A.

∴∩=∅,∪≠,=(,+∞(,((∪=(,+∞(≠

2.C[

=(-∞,],((∩=(-∞,=

【解析】垂直于同一条直线的两个不同平面平行,aαaβαβ为不同平面,αβC正确.

3.B

⊥,⊥,,∴⎳,

【解析】以拱顶为原点竖直向下为y轴设抛物线为yax2a0,y1时水面宽为2米,

11在抛物线上,a1水面下降1米后,y2,x22水面宽为222.8米.

,,=(>(=

4.B

∴(,(∴=,==,≈

【解析】由图像知,xfx0且fx0

+

xfx→并+有∞两⇒个(零(→点选,项B(中(>fx;零点为x1xfxx

→-∞f⇒x((0→+与∞图,像相符.,(,=±→-∞⇒((→+∞,→

+

5.+C∞⇒((→,

【解析】圆锥轴截面为等腰三角形,内切球、外接球球心重合,

轴截面的内心、外心重合,轴截面为等边三角形.

设等边三角形边长为a则∴a1a23r3ha3,Vπr2h3π.

6.C,=,=,==,====

【解析】ABA等式成立.反过来等式有意义由得1sinAcosB

1sinBc=osAc⇒osBcos,AsinBcosAsin,AcosBcosB,cosAsinBA,(+(=

2(si+n(sin-cos=0-sin,cos-0=sin-0,

AB所以为充要条件.

+=,+>,∴=

7.D(

∴=,

【解析】设F1c0F2c0Px3x0.F1PF2,

则22((2(2((((2(222.

PF1PF2-F,1F2,x,c,9,xc>9∠4cx=9c

+=,+++-+=,∴+=

cxcx9cx3c23x3.

PF6PF232aPFPF623a33,

∴(1-((+2(=,∴-=1,∴2=,=

=,=,=-=-,=-

8.A

【解析】方法一由hxgxkxlnx10恒成立,x1显然成立,

x0且x1时,xlnx10必有k0

:((≥((⇒(--(≥=

由fxhxexx1kx1exx1x1x12,

>≠-->,∴≥

当0x1时左边2右边0不等式显然成立.

((≥((⇒-+≥(-(,∵-+>+-+=

<≤,>,≤,

参考答案1页共8页

当x>1时,k,

min

而=-1=e.-1≥e2-1(x=2时取“=”)(运用了x>0时,e)

---

∴0≤k≤e2-1,A正确.

方法二:h(x(-g(x(=k(x-1-lnx(,lnx≤x-1,等号在x=1

时成立.h(x(≥g(x(恒成立k≥0.k=0时,f(x(≥0=h(x(=g(x(成立.

以下设k>0,令F(x(=f(x(-h(x(=ex-(k+1(x+k+1.

⇔

,聂,

F(x(=ex-k-1,F(x(=ex>0,F(x(=0x=ln(k+1(

F(x(min=F(ln(k+1((=(k+1((2-ln(k+1((

⇒

k>0,k+1>0.F(x(≥0恒成立2-ln(k+1(≥0.ln(k+1(≤2k≤e2-1

综上,0≤k≤e2-1.

⇔⇒

方法三:h(x(≥g(x(kx-k≥klnxk(x-1-lnx(≥0.

∵x∈(0,+∞(时x-1-lnx≥0恒成立,∴k≥0.

⇒⇒

((≥((x-+≥(-(.当∈(,+∞(时,≤.

fxhxex1kx1x1k-

设⇒

x∈(1,2(时,φ,(x(<0,φ(x(单调递减;x∈(2,+∞(时,φ,(x(>0,φ(x(单调

22

递增.∴φ(x(min=φ(2(=e-1.∴k≤e-1.

当x∈(0,1(时,x-1<0,ex-x+1>0,且k≥0,∴ex-x+1≥k(x-1(恒成立.

当x=1时,e≥0恒成立.综上,0≤k≤e2-1.

9.ACD

【解析】χ2独立性检验用于随机样本数据,普查数据不适用,A对.

数据共10个,后5个数为4,4,5,8,9,所以上四分位数为5,B错.

所有散点落在斜率非0的直线上，则拟合完全，R2=1，C对.

残差=176-173=3cm，D对.

10.ABD

→→→→2→→→→→2→→

【解析】由b.(b-a(=lbl得b.b-a.b=lbl,所以a.b=0,A对.

→→→→→→→→→→→→2→2→2→→→→

令u=a-b,v=b-c,lul=lvl=lu+vl=2,4=lu+vl=lul+lvl+2u.v=8+2u.v

→→→→→→

所以u.v=-2,即(a-b(.(b-c(=-2,B对.

→→→→→→

设lal=x,lbl=y,x>0,y>0,由a.b=0,la-bl=2得x2+y2=4.

→→

取a=(x,0(,b=(0,y(,则三个向量的终点构成边长为2的等边三角形,

→→

令x=2cosθ,y=2sinθ,0<θ<,a.c=1+cos2θ±3sin2θ

取加号时,1+cossin2θ=1+2cos时取等号.

取减号时,1+cos2θ-、3sin2θ=1+2cos(2θ+≥-1,θ=时取等号.

→→

所以a.c的最小值为-1,最大值为3,C错,D对.

参考答案2页共8页

11.AD

【解析】方法一:对于A,:a1=-3,a2=-1,a3=1,：S1=S3,：lS1l≤lS3l，A正确.

对于B,取an=2n-5(受A的启发),bn=5-n,an+bn=n,显然{an+bn{不为“绝对数列”,B错.

-1

对于C,取an=(-2(n,则a1=1,a2=-2,：S1=1,S2=-1,lS1l=lS2l符合{an{为“绝对数列”,但q=

-2≠-1,C错.

对于D,取an=bn=n-2,则对{an{,{bn{而言,S1=S2,：lS1l=lS2lan+bn=2(n-2(,anbn=(n-2(2,也

都有lS1l=lS2l,符合{an{,{bn{,{an+bn{,{anbn{均为“绝对数列”,D正确.

方法二:对A,an=2n-5,

2

Sn=n(n+1(-5n=n-4n=n(n-4(,S1=-3,S3=-3,lS1l=lS3l,A正确.

对B,取an=n-2,bn=3-n,设前n项和分别为An,Bn,Cn,

AnA1=A2=-1,所以{an{为绝对数列;

BnB2=B3=3,所以{bn{为绝对数列;

an+bn=1,Cn=n,i<j时,lCil=i,lCjl=j,所以lCil≠lCjl,B错误.

-1

对C,取等比数列an=(-2(n,则q=-2,S1=1,S2=-1,lS1l=lS2l,但q≠-1C错误.

对D,取an=n-2,bn=2n-4,公差分别为1,2,A1=A2=-1,B1=B2=-2,an+bn=3n-6,C1=C2

=-3,anbn=2(n-2(2,P1=2,P2=2,D正确.

2

方法三:对于A,an=2n-5→Sn=n-4nS1=-3,S3=-3→lS1l=lS3l,A正确.

2

对于B,取等差数列an=2n-5→Sn=n-4n,有S1=S3=-3

2

取等差数列bn=-2n+7→其前n项和Tn=-n+6n,

*

有T2=T4=8an+bn=2→其前n项和Mn=2nn∈N→Mn单调递增且大于0,

不存在i≠j使得lMil=lMjl,B错误.

对于C,取a1=1,q=-2→S1=1,S2=-1→lS1l=lS2l,此时公比不等于-1,C错误.

对于D,取an=n-2,bn=n-3a2=0→S1=S2=-1b3=0→其前n项和Tn满足T2=T3=-3an+bn=2n

2

-5→其前n项和Mn=n-4n→M1=M3=-3anbn

=(n-2((n-3(→第2项为0→其前n项和Hn满足H1=H2=2四者均满足条件,D正确.

12.3

【解析】lzl=l1+ilx

13.7

1

【解析】由ab+5=3a+2b得(a-2((b-3(=1,a>2,所以b=3+,a+b=5+(a-2(+

(a-2(

所以a+b≥7.当a-2=1,即a=3,b=4时,a+b的最小值为7.

122

14.

243

【解析】方法一:记n次交换后球仍在甲手中的概率为Pn

参考答案3页共8页

方法二:每次交换,黑球所在者手中均有3个球,黑球被交换的概率为,不被交换的概率为.5次后

黑球仍然在甲手中,即5次中黑球被交换次数为偶数.

方法三:设经过n次交换后,黑球在甲手中的概率为pn,则黑球在乙手中的概率

为1-pn,p0=1.由全概率公式得到,

n

变形得到pnpn因为p所以pn

n

化成pn,n=5→p

15.(1)sinCcosA+3sinCsinA=sinB+sinA=sinAcosC+cosAsinC+sinA

：3sinC-cosC=1,2sin(C-1,sin(C-=,而-→C

=π.

3

(2)解法1::CE平分LACB,

在△ABC中,c2=a2+b2-2aba2+b2-ab

:△ABC为锐角三角形,

：的取值范围为.

解法2::CE平分LACB

在锐角△ABC中tanA

16.(1)证明:过M作MG聂CE交B1E于点G，连接AG

B1

M

G

BC

HE

AFD

：GM=BC,又:AF=BC,GM聂BC聂AF,：GMAF

参考答案4页共8页

：四边形AFMG为平行四边形,：MF聂AG,

:FM≠平面AB1E,AGC平面AB1E,

：FM聂平面AB1E.

(2)BE=2,AB=4，在△ABE中，AE

222

：AE+BE=AB,LAEB=90O,:AE丄BE,AE丄B1E,BE∩B1E=E

：AE丄平面BB1E，又:AEC平面ABCD，：平面BB1E丄平面ABCD

过B1作B1H丄BE于点H,B1H丄平面ABCD,

:B1E=BE=BB1=2,：△BB1E为等边三角形,：B1H=3,

设D到平面AB1E的距离为h,DB1与平面AB1E所成角为：sin

由

AB1EADE→→h

22

B1D1=B1H+DH=3+61=8,：sinθ=.

17.(1)nSn-(n+1(Sn-1=n(n+1((n-1(,n≥2，两边同除以n(n+1(n-1,

时,2而也满足上式,

：n≥2Sn=(n+1n-n-25(,S1=-50

*

bn=(n关于n∈N单调递增

注意到b

：1≤n≤7时,bn<0,n≥8时,bn>0

故n=7时,T7最小.

18.方法一:(1)y2=4x在P(t2,2t(处的切线方程为,

2

即x-ty+t=0,易知t≠0.设A(x1,y1(,B(x2,y2(

(2)A(x1,y1(,B(x2,y2(,AB中点R(x0,y0(

联立→(t2-1(y2-2t3y+t4-1=0,

Δ=4t6-4(t2-1((t4-1(=4(t4+t2-1(>0

：CR=1+=、1+t2.,:△ABC为等边三角形,：CRAB

|-||-|

参考答案5页共8页

(3)设直线AB与x轴交于E,∴E(-t2,0(

2

令t-1=m,m>0,∴S△OAB

当且仅当即m=1,t=2时取“=”,∴(S△OAB(min=25.

方法二:(1)抛物线y2=4x在P(t2,2t(处的切线为ty=x+t2

由题意,t≠0,所以x=ty-t2

2

设A(x1,y1(,B(x2,y2(,且xi=tyi-t,i=1,2.

222234

联立得(ty-t(2-y=1,(t-1(y-2ty+t-1=0

34(4+t2-1(

由题意,2于是2t2t

t≠1,y1+y2=,yy=t+1,(y-y(2=

212122

t-1(t-1(2

又x+x=t(y+y(-2t所以AB中点为M

1212-,-(

若P为AB中点,则t

∴t2=2,∴t=±2

(2)当0<t<1时，My

2

若△ABC为正三角形,且C在x轴上,则Mt(y1-y2(2

此时t4+t符合题意.

(3)当t>1时，SΔOABx1y2-x2y1|

2

令u=t,则u>1,SOAB

SOAB等号成立时,u=2,即t=2.

∴(S△OAB(min=25.

x,x

19.方法一:(1)Γ1:y=e,y=e,k=1,Γ1在(0,1(处的切线方程为y=x+1.

x0x,x

(2)设A(x0,a(,Γ1:y=a,y=alna，

参考答案6页共8页

x0x0

:Γ1在A处的切线斜率kOA=alna→x0lna=1,a=e,

又:Γ1与Γ2交于点A,：A也在Γ2上,：x0.ax0=m→ex0=m

exx

：am=a0=(a0(e=ee.

(3)设A(x1,y1(,B(x2,y2(,:O,A,B三点共线，

：kOA=kOB→=→=,而

令t→lnyt≥2,

令g(tg,(t(运用了lnt≥1-,当且仅当t=1时取

“=”)

：g(t(在[2,+∞(上单调递减,0<g(t(≤g(2(=ln2→0<lny1≤ln2,1<y1≤2

mx1y1x11y1y1lny1

又:A也在Γ2上,：x1y1=m,：a=a=(a(y=y1=e

m

而y1lny1在y1∈(1,2[上单调递增,：0<y1lny1≤ln4,：1<a≤4.

方法二:(1)当a=e时,y=ex,x=0处切线斜率为e0=1,y-1=x：y=x+1.

x1

(2)设A(x1,a(,x