重庆市2025-2026学年高二数学上学期期末试题含解析

（满分：150分；考试时间：120分钟）

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.

2.答选择题时，必须使用2B铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号

对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.

3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的.

1.若函数f(x)xlnx，则f(1)（）

A.1eB.eC.1D.0

【答案】C

【解析】

【分析】利用导数运算法则求出导数，进而求出导数值.

【详解】函数f(x)xlnx，求导得f(x)1lnx，所以f(1)1.

故选：C

x2y2

2.方程1表示椭圆，则m的取值范围是（）

m45m

999

A.4m5B.4m或m5C.4mD.

222

9

m5

2

【答案】B

【解析】

【分析】结合椭圆的标准方程求解即可.

m40

99

【详解】由题意知，5m0，解得4m或m5.

22

m45m

故选：B.

aa

911

3.已知数列an是公比为2的等比数列，则（）

a5a7

A.2B.4C.8D.16

【答案】B

【解析】

【分析】根据等比数列的通项公式及下标和性质求解即可.

4=4

【详解】因为数列an是公比为2的等比数列，所以q2，a9a5q，a11a7q，

aaaq4aq44

所以91157q424.

a5a7a5a7

故选：B.

4.已知两条异面直线的方向向量分别是m(3,2,1)，n(1,2,3)，则这两条异面直线所成的角满足

（）

22

A.cosB.cos

77

22

C.sinD.sinθ

77

【答案】A

【解析】

【分析】利用异面直线夹角公式列式求解并判断.

【详解】由两条异面直线的方向向量分别是m(3,2,1)，n(1,2,3)，

mn4235

得coscosm,n，sin1cos2.

mn141477

故选：A

2

5.已知圆C:x6y236，AB是圆C的一条动弦，AB63，则AB的中点M的轨迹方程为

（）

22

A.x6y23B.x6y29

22

C.x6y23D.x6y29

【答案】D

【解析】

【分析】根据勾股定理求出弦心距，再结合两点间距离公式求解即可.

2

【详解】圆C:x6y236，圆心C6,0，半径r6.

设弦AB的中点为Mx,y，连接CM.

1

在Rt△CMA中，CAr6，AMAB33，

2

222

所以CMCAAM62333.

CM是点Mx,y到圆心C6,0的距离，

222

所以x6y09，即x6y29.

故选：D.

6.已知函数fxx24xmex在2,3上单调递增，则实数m的取值范围为（）

A.m4B.m4C.m1D.m1

【答案】B

【解析】

【分析】求函数的导数，由函数在给定区间上的单调性得到f(x)0在2,3上恒成立，将其转化成

2

mx22x4在2,3上恒成立，求出函数gxx2x4，在区间2,3上的最小值为g24，

所以m4.

【详解】求导得到fx2x4exx24xmexexx22x4m，

因为函数fxx24xmex在2,3上单调递增，

所以f(x)0在2,3上恒成立，即x22x4m0在2,3上恒成立，

即mx22x4在2,3上恒成立，

函数gxx22x4，在区间2,3上单调递增，最小值为g24；

所以m4，

故选：B.

an

7.已知数列a满足aa2n，a14，则的最小值为（）

nn1nn

A.5B.4C.3D.2

【答案】C

【解析】

2an4

【分析】根据题意，得到aa2n，利用累加法求得ann4，得到n1，进而求得

n1nnnn

a

n的最小值，得到答案.

n

【详解】由数列an满足an1an2n，且a14，可得an1an2n，

所以ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)42462(n1)

2

(n1)(22n2)2ann44

4nn4，则nn1，

2nnn

4

因为函数yx在(0,2]上单调递减，在[2,)上单调递增，

x

a4

又因为nN，当n2时，可得n取得最小值，最小值为213.

n2

故选：C.

x2y2

8.已知双曲线E:1（a0，b0）的焦距为2c，左、右顶点分别为A1，A2，过A1作x轴的

a2b2

垂线与的渐近线交于，两点，若32，则的离心率的取值范围为（）

EMNS△≥cE

MNA22

2323

A.[,2]B.[,3]C.[2,3]D.[3,2]

33

【答案】A

【解析】

【分析】求出双曲线渐近线方程及顶点坐标，进而求出线段MN长，再利用三角形面积列出不等式求解.

x2y2x2y2

【详解】双曲线E:1的渐近线方程为0，A1(a,0),A2(a,0)，

a2b2a2b2

1

直线MN:xa与渐近线方程联立得|y|b，则|MN|2b，S|MN||AA|2ab，

MNA2212

由32，得32，即224，则2224，

S△≥c2abc16ab3c16a(ca)3c

MNA222

23

整理得3c416a2c216a40，即3e416e2160，而e1，解得e2，

3

23

所以E的离心率的取值范围为[,2].

3

故选：A

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全

部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知直线l1:a1x2a2y40，l2:xy10，则下列说法正确的是（）

A.直线l1过定点2,1

π

B.直线l的倾斜角为

24

C.若l1l2，则a3

1

D.若l∥l，则a

123

【答案】ACD

【解析】

【分析】直线l1化简得到a(x2y)(x2y4)0，则直线l1过定点2,1，故A正确；直线l2的斜

3π

率为1，所以倾斜角为，故B错误；

4

∥

若l1l2，则两直线斜率乘积为1，列方程求解得到a3，所以故C正确；若l1l2，则两直线斜率相等

1

为1，列方程求解得到a，故D正确.

3

【详解】直线l1:a1x2a2y40，化简得到a(x2y)(x2y4)0，

x2y0

令，所以x2,y1，所以直线l1过定点2,1，故A正确；

x2y40

3π

直线l的斜率为1，对应倾斜角为，故B错误；

24

若l1l2，则两直线斜率乘积为1，因为直线l2的斜率为1，所以直线l1的斜率为1，

a1

所以1，所以a3，故C正确.

2a2

∥

若l1l2，则两直线斜率相等，因为直线l2的斜率为1，所以直线l1的斜率为1，

a11

所以1，所以a，故D正确.

2a23

故选：ACD.

2*

10.设正项数列an的前n项和为Sn，已知2anSnan1(nN).则下列结论正确的是（）

A.S11B.SnSn11(n2)

C.D.

annn1anan1

【答案】ACD

【解析】

2

【分析】根据给定的递推公式，结合anSnSn1,n2变形，利用等差数列定义求出Sn，再逐项分析判

断.

2

【详解】正项数列an中，2anSnan1，

22

对于A，由a1S1，得2S1S11，而S10，解得S11，A正确；

2

对于B，当n2时，anSnSn1，则2(SnSn1)Sn(SnSn1)1，

整理得22，由，得，，B错误；

SnSn11S11S22S2S1211

22

对于C，由选项B知数列{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，Snn，而Sn0，

解得，当时，，满足上式，

Snnn2annn1a11

因此，C正确；

annn1

11

对于D，an1n1nnn1an，D正确.

n1nnn1

故选：ACD

11.已知抛物线C:y24x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，过点F的直线与抛物线C交于A，B两

点，分别过点A，B作l的垂线，垂足分别为D，E，则（）

A.以AB为直径的圆与l相切

B.若AB8，则直线AB的斜率的绝对值为1

C.DEF为锐角三角形

D.DFEF8

【答案】ABD

【解析】

【分析】求出抛物线焦点坐标及准线方程，利用抛物线定义，结合圆的切线判定判断A；设出直线AB方程

并与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合抛物线定义、数量积的坐标表示及两点间距离公式求解判断BCD.

2,,(,)

【详解】抛物线C:y4x的焦点F(1,0)，准线l:x1，设A(x1y1)Bx2y2，

1xx

对于A，|AB||AF||BF|xx2，以AB为直径的圆半径r|AB|121，

1222

xxyyxx

线段AB中点(12,12)到直线l的距离为121r，因此该圆与l相切，A正确；

222

xty1

对于B，设直线，由消去x得2，则，

AB:xty12y4ty40y1y24t

y4x

22

x1x2t(y1y2)24t2，由AB8，得x1x26，于是4t26，

1

解得|t|1，因此直线AB的斜率的绝对值为1，B正确；

t

对于C，由选项B知，，而，，

y1y24D(1,y1),E(1,y2)FD(2,y1),FE(2,y2)

因此，即，，C错误；

FDFE4y1y20FDFEDFE90

对于D，222222

|FD||FE|4y14y2164(y1y2)y1y2

222，当且仅当时取等号，D正确.

164(y1y2)8y1y2(y1y2)8t18t0

故选：ABD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知向量a4,x,6，向量b2,5,y，且a∥b，则xy________.

【答案】13

【解析】

【分析】根据空间向量平行的坐标表示求解即可.

422

【详解】因为a∥b，所以ab，即x5，解得x10.

6yy3

所以xy13.

故答案为：13.

13.已知点P为抛物线y24x上的动点，点A3,4，过P作y轴的垂线，垂足为点M，则PMPA的

最小值为_________.

【答案】251

【解析】

【分析】结合抛物线的定义可得PMPAPFPA1，再根据三角形的性质求解即可.

【详解】由抛物线y24x，则焦点为F1,0，准线为x1，

22

则PMPAPF1PAPFPA1AF131401251，

当且仅当P在线段AF上时等号成立，

所以PMPA的最小值为251.

故答案为：251.

nn1

14.已知数列an满足an41n1t，若数列an为单调递增数列，则t的取值范围为

__________.

4812

【答案】t

75

【解析】

【分析】由数列an为单调递增数列得到an1an0，对an1an进行化简，分情况讨论计算即可.

nn1n1nnn

【详解】已知an41n1t，所以an141n11t441n2t.

因为数列an为单调递增数列，所以an1an0恒成立.

nn1

aa44n1n2t4n1n1t

n1n

nn1nn1

441n2t41n1t

nn1nn1

341tn2n13412n3t0.

n

n34

当n为奇数时，不等式变为342n3t0，即t.

2n3

34n

设fn（n为奇数），需tfn.

2n3min

341234364345345

又f1，f3，f5，

235233325313

12

已知fn在奇数项上单调递增，故fnf1.

min5

n

n34

当n为偶数时，不等式变为342n3t0，即t.

2n3

34n

设gn（n为偶数），需tgn.

2n3max

3424834476834646

又g2，g4，g6，

2237243112635

48

已知gn在偶数项上单调递减，故gng2.

max7

4812

综上，t.

75

4812

故答案为：t.

75

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知公差大于1的等差数列an满足a11，且a1，a21，a81成等比数列.

（1）求数列an的通项公式；

1

1

（2）设bn，数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn.

anan12

【答案】（1）an2n1；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）设出公差，利用等比中项的定义列出方程求出公差，进而求得通项公式.

（2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和，借助放缩法推理得证.

【小问1详解】

设等差数列an的公差为d(d1)，由a11，且a1，a21，a81成等比数列，

得(d2)21(7d2)，即d23d20，而d1，解得d2，

所以数列an的通项公式为ana1(n1)d2n1.

【小问2详解】

11111

由（1）得bn()，

anan1(2n1)(2n1)22n12n1

11111111111

所以S[(1)()()()](1).

n2335572n12n122n12

15

16.已知曲线fxalnxx2x在点1,f1处的切线与直线3xy20平行.

22

（1）求a；

（2）求fx的单调区间.

3

【答案】（1）

2

（2）fx的单调递增区间为0,3，单调递减区间为3,

【解析】

【分析】（1）对原函数进行求导，根据切线与直线平行，得到f13，代入求解即可.

（2）根据导数与单调性的关系求解即可.

【小问1详解】

15a5

已知fxalnxx2x，所以fxx.

22x2

15

曲线fxalnxx2x在点1,f1处的切线与直线3xy20平行，

22

a53

所以f13，即13，解得a.

122

【小问2详解】

352x25x3

函数fx的定义域为0,，fxx.

2x22x

2x25x3

令fx0，即0，又x0，所以2x25x30，

2x

即2x25x30，也即2x1x30，

1

解得x3或x（舍去，因为x0）.

2

当0x3时，fx0，fx单调递增；当x3时，fx0，fx单调递减；

所以fx的单调递增区间为0,3，单调递减区间为3,.

17.如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB//CD，AB4，ADDC2，△PAD

为等边三角形，且平面PAD平面ABCD，连接BD.

（1）证明：BDAP；

（2）求平面APB与平面CPB所成角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析；

（2）65.

65

【解析】

【分析】（1）取AB中点Q，利用直角三角形判定证得ADBD，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性

质推理得证.

（2）建立空间直角坐标系，求出平面APB与平面CPB的法向量，再利用面面角的向量法求解.

【小问1详解】

在四棱锥PABCD中，取AB中点Q，连接DQ，

因为四边形ABCD是等腰梯形，AB//CD,AB4,ADDC2，

所以BQ//CD,BQCD，则四边形BCDQ是平行四边形，

1

则DQBC2AB，△ABD是直角三角形，且ADBD，

2

因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，

所以BD平面PAD，又PA平面PAD，

所以BDAP.

【小问2详解】

取AD的中点O，连接OP,OQ，由（1）知，OQ//BD，OQ平面PAD，

由△PAD为等边三角形，得POAD，则直线OA,OQ,OP两两垂直，

以O为原点，直线OA,OQ,OP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

则P(0,0,3),A(1,0,0),B(1,23,0),C(2,3,0)，

PA(1,0,3),PB(1,23,3),PC(2,3,3)，

设平面PBC的一个法向量m(x,y,z)，

mPBx23y3z0

则，令，得，

y1m(3,1,3)

mPC2x3y3z0

设平面PAB的一个法向量n(a,b,c)，

nPAa3c0

则，令b1，得n(3,1,1)；

nPBa23b3c0

设平面PAB与平面PBC的夹角为，

mn165

则coscosm,n，

mn13565

65

所以平面PAB与平面PBC的夹角的余弦值为.

65

x2y23

18.已知椭圆C:1ab0的离心率为，点A0,2在C上.

a2b22

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点A作两条互相垂直的直线，与椭圆C的另一个交点分别为E，F，证明：直线EF过定点；

（3）以原点O为圆心且过点A的圆与直线AE交于点B（异于点A），求△ABF面积的最大值.

x2y2

【答案】（1）1（2）证明见解析

164

（3）8

【解析】

【分析】（1）根据题意列出a,b,c的方程组，解方程组即可；

（2）设直线AE的方程为ykx2，与椭圆联立求出点E的坐标，同理可得点F的坐标，最后根据E,F

的坐标写出直线EF的方程即可得证，

（3）首先联立直线AE和圆O，利用弦长公式求出AB，然后根据点线距公式求出点F到直线的距离，

进而得到SABF的表达式，最后利用基本不等式即可求出最大值.

【小问1详解】

c3

a2a4

422

xy

由题意可知21，解得b2，所以椭圆C的方程为1.

b164

a2b2c2c23

【小问2详解】

由题意可知，直线AE的斜率显然存在且不为0，设直线AE的方程为ykx2，

ykx2

22y2

由xy消去得x4k1x16k0，

1

164

16k16k8k2216k8k22

所以，，即，

xEyEk·2E2,2

4k214k214k214k14k1

12

1

16·822

k16kk2k8

因为，所以同理可得x，，

AEAFxEF22yF22

1k41k4

4141

kk

2k288k22

22

16k2k822k1

即F,，直线EF的斜率为k44k1，

2216k16k

k4k45k

k244k21

8k22k2116kk216

所以直线EF的方程为yx，整理得yx，

4k215k4k215k5

6

所以直线EF恒过定点0,.

5

【小问3详解】

以原点O为圆心且过点A0,2的圆的方程为x2y24，

ykx24k

联立消去y得xk21x4k0，所以，

22xB2

xy4k1

4kk21

则AB1k2x0，

Bk21

k·16k2k28

2

点F到直线AE:kxy20的距离k24k2416k21，

d2

k21k4

2232

114kk116k132k32

SAB·d··8

所以ABF22244，

22k1k4k4k2k·

kk

4

当且仅当k即k2时取等号，所以△ABF面积的最大值为8.

k

19.设*，点、满足222，222，若线段的中点满足

nNAn(xn,yn)Bn(sn,tn)xnynnsntnnAnBnCn

2

.

OAnOBn2OCn

（1）记与的夹角为，试问是否为定值.若是，请求出的值；若不是，请说明理由；

OAnOBn

（2）设dn为An与Bn到直线y3xn(n1)的距离之和，记dn的最大值为an，求an；

*3

（3）在（2）中，设数列bn的前n项和为Tn，且满足：anbnn2，nN，证明：T2nTn.

4

2π

【答案】（1）为定值，大小为；

3

（2）ann(n2)；

（3）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据给定条件，利用数量积的坐标表示及向量夹角公式求解判断.

（2）由（1）的结论，结合点An,Bn的坐标特征，用三角函数表示点An,Bn的坐标，再利用点到直线的距离

公式列式求出，并利用正弦函数的性质求出最大值.

（3）由（2）的结论求出bn，进而求出T2nTn，再利用倒序相加法、放缩法推理得证.

【小问1详解】

xnsnyntn2

由点An(xn,yn),Bn(sn,tn)，得点C(,)，由OAOB2OC，

n22nnn

xsyt

得xsyt2[(nn)2(nn)2]，又x2y2n2,s2t2n2，

nnnn22nnnn

1

2

12n

则，OAnOBnxnsnyntn21，

xnsnyntnncos

2