2026年麻将摆图说课稿

2026年麻将摆图说课稿主备人Xx备课成员魏老师课程基本信息1.课程名称：数学·排列组合与实际应用——麻将摆图中的数学逻辑

2.教学年级和班级：高一（3）班

3.授课时间：2026年4月10日第3节课

4.教学时数：1课时（45分钟）核心素养目标二、核心素养目标通过麻将摆图的实际情境，抽象出排列组合的数学模型，提升数学抽象能力；在分析摆图规律与计算不同摆法的过程中，发展逻辑推理与数学运算素养；结合生活实例解决实际问题，强化数学建模意识；通过观察图形结构特征，培养直观想象能力，体会数学与现实生活的紧密联系。重点难点及解决办法重点：麻将摆图中排列组合模型的建立与应用（源于课本排列组合章节的数学抽象与建模要求）。

难点：从复杂图形中提取组合要素并计算（学生空间想象与逻辑推理能力不足）。

解决办法：通过实物麻将牌操作，直观展示组合过程；设计阶梯式问题链，引导学生逐步抽象模型；小组合作探究不同摆法，强化分类讨论思想。突破策略：利用错例分析深化理解，结合课本例题迁移应用方法。学具准备多媒体课型新授课教法学法讲授法课时第一课时师生互动设计二次备课教学资源软硬件资源：实物麻将牌（144张）、多媒体教室（投影仪、交互白板）、数学建模工具（几何画板）；

课程平台：校本课程平台（课本例题资源库）、班级学习通（预习任务发布）；

信息化资源：排列组合微课视频（课本章节辅助）、动态排列组合演示课件（麻将摆图多情形展示）、在线练习题库（课本习题拓展）；

教学手段：小组合作探究、实物操作演示、问题驱动教学。Xx教学过程设计（一）导入环节（5分钟）

教师活动：展示3张不同的麻将牌（如“万”“条”“筒”实物），提问：“如果将这3张牌摆成一条直线，有多少种不同的摆法？请动手摆一摆并记录结果。”学生操作后，教师收集不同摆法（如“万条筒”“万筒条”“条万筒”等），追问：“这些摆法的区别在哪里？如果增加一张‘风’牌，摆法数量会如何变化？”引导学生发现“顺序不同导致结果不同”，自然引出“排列”概念。

学生活动：动手操作，记录摆法，小组讨论摆法差异，尝试总结规律。

师生互动：教师巡视指导，关注学生操作过程，对遗漏摆法的小组提示“是否考虑了所有顺序”，对摆法全面的小组给予肯定，强化“有序性”排列核心。

设计意图：通过实物操作创设真实情境，激活学生已有经验，直观感受排列的“有序”特点，为后续抽象模型奠定基础，同时培养直观想象素养。

（二）讲授新课（15分钟）

1.复习旧知，建立联系（3分钟）

教师活动：回顾课本“排列数公式”内容（A_n^m=n(n-1)...(n-m+1)），提问：“公式中的n和m分别代表什么？在刚才的摆牌问题中，n和m的值是多少？”学生回答后，教师强调“n是元素总数，m是选取元素数”，并板书“3张牌摆直线：A_3^3=6种”。

学生活动：回忆公式含义，结合摆牌实例解释n、m，明确排列数与实际问题的对应关系。

师生互动：教师追问“如果只选2张牌摆直线，A_3^2的结果是多少？实际摆法有哪些？”，学生列举“万条”“万筒”“条万”“条筒”“筒万”“筒条”共6种，验证公式正确性，深化对排列数“从n个不同元素中选m个排列”的理解。

2.探究复杂摆图模型，突破难点（8分钟）

教师活动：分发6张相同的麻将牌（如“一万”），提出新问题：“将这6张牌摆成一个正三角形，每边2张，有多少种不同的摆法？”先引导学生观察图形特征：“正三角形有几条边？每条边的牌是否独立？”学生讨论后，教师用几何画板动态演示“固定顶点牌”与“边中点牌”的区别，提问：“如果顶点牌相同，边中点牌交换位置，是否算不同摆法？”引导学生发现“需先确定顶点牌，再安排边中点牌”，明确分类标准。

学生活动：小组合作用实物摆图，尝试不同组合，记录摆法并分类（如“顶点牌相同vs不同”“边中点牌顺序”），汇报时出现争议（如“顶点牌固定后，边中点牌是否可旋转”），教师引导学生通过旋转实物牌验证“旋转后图形重合则算同一种摆法”，明确“位置固定性”要求。

师生互动：教师针对学生争议点追问：“如何用数学方法表示‘位置固定’？是否需要考虑图形的对称性？”学生提出“先确定顶点牌的位置（3个位置选1个放固定牌），再安排剩余牌”，教师板书“分步计数：选顶点牌C_3^1，排边中点牌A_2^2，总数3×2=6种”，并对比课本“有限制条件的排列例题”，强化“分类分步”思想。

3.抽象数学模型，提升素养（4分钟）

教师活动：引导学生将麻将摆图问题转化为数学模型：“复杂图形中的排列问题，关键是什么？”学生总结“先分析图形结构，确定元素位置关系，再分步计数”，教师补充“若存在对称性，需除以重复情况”，并以课本“圆桌排列问题”为例类比，说明“位置固定性”在不同情境中的应用。

学生活动：归纳解决步骤：①观察图形特征；②确定元素位置是否独立；③分类分步计数；④考虑对称或重复情况。

师生互动：教师提问：“如果将三角形改为‘田’字形（2×2方格），放4张不同的牌，有多少种摆法？”学生快速应用模型回答“A_4^4=24种”，教师追问“若田字格可旋转，数量如何变化？”，引发对“对称性”的进一步思考，培养逻辑推理与数学建模素养。

（三）巩固练习（15分钟）

1.基础巩固题（5分钟）

教师活动：展示课本习题变式：“用5张不同的麻将牌摆成一条直线，要求其中‘一万’和‘二条’必须相邻，有多少种摆法？”学生独立完成后，教师抽取不同解法投影：解法1（捆绑法：“一万二条”或“二条一万”视为整体，与剩余3张牌排列，A_2^1×A_4^4=48种）；解法2（直接列举相邻位置）。提问：“哪种方法更高效？为什么？”

学生活动：独立完成，小组讨论解法优劣，明确“捆绑法”适用于相邻问题，体会算法优化的重要性。

师生互动：教师追问“如果‘一万’和‘二条’不相邻，如何解决？”，学生回答“用排除法：总排列数A_5^5减去相邻排列数”，强化“正难则反”思想，巩固数学运算素养。

2.拓展提升题（7分钟）

教师活动：提出生活实际问题：“麻将中‘清一色’是指所有牌同花色，若从‘万’字牌（1-9万）中选5张摆成顺子（连续3张，如1-2-3万），有多少种可能的顺子？”引导学生分析“顺子需连续且同花色，分步骤：选起始牌（1-7万），确定3张连续牌”，并提示“是否考虑花色限制”。

学生活动：小组合作探究，汇报时出现分歧：“是否需要区分不同花色？”教师引导“清一色要求同花色，故先选花色（4种），再选顺子”，板书“4×(9-2)=28种”，对比课本“分步计数原理应用例题”，明确“多步问题需明确每一步的限制条件”。

师生互动：教师追问“如果允许花色不同，顺子数量如何变化？”，学生计算“选起始牌7种，选3张连续牌C_4^3（不同花色）或A_4^3（同花色），总数7×(C_4^3+A_4^3)=7×(4+24)=196种”，体会分类讨论思想，提升数学抽象与建模能力。

3.错例分析题（3分钟）

教师活动：展示典型错例：“用4张不同的牌摆成正方形，有多少种摆法？”学生错解“A_4^4=24种”，提问：“错在哪里？如何修正？”学生观察发现“正方形旋转后重合，需除以对称轴数”，教师用几何画板演示旋转重合过程，明确“正方形有4种旋转对称情况”，正确解法“A_4^4÷4=6种”。

学生活动：分析错因，总结“对称图形排列需考虑重复计数”，修正解法，强化直观想象与逻辑推理素养。

（四）课堂小结与作业布置（5分钟）

教师活动：“通过本节课的学习，你掌握了哪些解决排列组合问题的方法？”学生总结“实物操作抽象模型、分类分步计数、考虑对称性”，教师补充“课本中‘排列组合应用’章节的核心思想是‘具体问题具体分析’，需结合情境灵活选择方法”。布置作业：①课本习题3.2第5题（麻将摆图排列问题）；②实践作业：用麻将牌设计一个排列问题并求解，下节课分享。

学生活动：回顾知识脉络，记录作业，明确后续学习方向。

师生互动：教师提问“生活中还有哪些类似麻将摆图的排列问题？”，学生举例“排队、座位安排、密码设置等”，体会数学与现实生活的联系，强化应用意识。

总用时：5分钟（导入）+15分钟（讲授）+15分钟（巩固）+5分钟（小结作业）=45分钟，紧扣重难点，通过实物操作、问题链、小组合作等互动方式，落实数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象等核心素养培养。Xx知识点梳理1.排列组合的基本概念

（1）排列：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），按照一定的顺序排成一列，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。核心特征是“有序性”，如麻将牌中“一万、二条、三筒”与“二条、一万、三筒”是不同的排列。

（2）组合：从n个不同元素中取出m个元素（m≤n），不管顺序如何并成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合。核心特征是“无序性”，如选“一万、二条、三筒”与“二条、一万、三筒”是相同的组合。

（3）排列与组合的区别：是否考虑顺序，可通过“交换位置后是否视为不同结果”判断，如麻将摆直线时交换牌的位置是排列，选牌组成手牌是组合。

2.计数原理

（1）分类计数原理（加法原理）：完成一件事有n类办法，第1类办法有m₁种方法，第2类办法有m₂种方法，……，第n类办法有mₙ种方法，则完成这件事共有m₁+m₂+…+mₙ种方法。应用场景：麻将中“选万或选条或选筒”，三类花色互斥，用加法原理计算总数。

（2）分步计数原理（乘法原理）：完成一件事需要分成n个步骤，第1步有m₁种方法，第2步有m₂种方法，……，第n步有mₙ种方法，则完成这件事共有m₁×m₂×…×mₙ种方法。应用场景：麻将中“先选花色（4种），再选数字（9种）”，两步连续，用乘法原理计算总数。

3.排列数与组合数公式

（1）排列数公式：从n个不同元素中取出m个元素的排列数记作Aₙᵐ，Aₙᵐ=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!/(n-m)!（n!表示n的阶乘）。特例：全排列数Aₙⁿ=n!。如用5张不同的麻将牌摆直线，排列数为A₅⁵=120种。

（2）组合数公式：从n个不同元素中取出m个元素的组合数记作Cₙᵐ，Cₙᵐ=Aₙᵐ/m!=n!/[m!(n-m)!]。性质：Cₙᵐ=Cₙⁿ⁻ᵐ（如选3张万牌与选6张未选的万牌组合数相同）；Cₙ⁰=Cₙⁿ=1。如从9张万字牌中选3张，组合数为C₉³=84种。

4.有限制条件的排列组合问题

（1）相邻问题：采用“捆绑法”，将相邻元素视为一个整体。如麻将中“一万”和“二条”必须相邻，视为一个元素，与其他元素排列，再乘以相邻元素的排列数。公式：Aₙ₋ₘ₊₁ᵐ×Aₘᵐ（m为相邻元素个数）。

（2）不相邻问题：采用“插空法”，先排列无限制元素，再在形成的“空”中插入不相邻元素。如麻将中“一万”和“二条”不相邻，先排其他3张牌形成4个空（含两端），再插入“一万”和“二条”。公式：Aₙ₋ₘᵐ×Aₘ₊₁ᵐ。

（3）定序问题：若部分元素顺序固定，用“除法原理”，总排列数除以固定顺序元素的排列数。如麻将中“一万”“二条”“三条”顺序固定，排列数为Aₙ³/A₃³。

（4）对称图形排列：考虑图形的对称性（如旋转、翻转重合），需除以对称变换的种数。如正三角形摆图（3条边旋转对称），排列数除以3；正方形摆图（4条边旋转对称），排列数除以4。

5.麻将摆图中的数学模型构建

（1）直线排列模型：n张不同的麻将牌摆成一条直线，排列数为Aₙⁿ；选m张摆直线，排列数为Aₙᵐ。如用“万、条、筒”三种花色各1张摆直线，排列数为A₃³=6种。

（2）封闭图形排列模型：如正三角形、正方形等，需结合图形的对称性。例如用6张相同的牌摆正三角形（每边2张），顶点牌固定后，边中点牌排列数为A₂²=2，考虑3个顶点位置，总数为3×2=6种（除以旋转对称性后为2种）。

（3）多元素组合模型：结合花色、数字、牌型限制。如麻将“清一色”要求同花色，从“万”字牌（1-9万）中选5张，组合数为C₉⁵；若要求“顺子”（连续3张），则起始牌为1-7万，组合数为7种，再结合花色限制（4种），总数为4×7=28种。

6.排列组合问题的解决策略

（1）明确“排”与“选”：根据是否有序确定用排列数还是组合数，如“排队”用排列，“选代表”用组合。

（2）分析限制条件：先确定是否有相邻、不相邻、定序、对称等限制，再选择对应方法（捆绑法、插空法、除法原理等）。

（3）分类与分步：复杂问题先分类（互斥情况用加法），再分步（连续步骤用乘法），如麻将中“选花色与数字”需分步，“选万或条”需分类。

（4）验证与反思：通过列举小规模数据验证结果（如用3张牌列举所有摆法），结合课本例题对比方法合理性，避免重复或遗漏。

7.核心素养与知识点的融合

（1）数学抽象：从麻将摆图的实物操作中抽象出排列组合的数学概念（如“有序性”对应排列，“无序性”对应组合），建立数学模型。

（2）逻辑推理：通过分类分步计数原理的训练，培养严谨的逻辑思维能力，如分析对称图形排列时，需全面考虑所有对称变换。

（3）数学建模：将实际问题（如麻将牌型、摆图设计）转化为排列组合模型，选择合适公式求解，体现数学的应用价值。

（4）直观想象：通过几何画板演示图形旋转、牌面摆放，培养空间想象能力，如理解正方形牌摆图的对称性时，需直观感受旋转重合的过程。

8.教材知识点关联

（1）人教版高中数学《排列与组合》章节：本节课内容是对课本“排列组合应用”的拓展，结合麻将实例深化对Aₙᵐ、Cₙᵐ公式及计数原理的理解，呼应课本“实际问题中的排列组合”例题（如排队、选书问题）。

（2）数学建模章节：通过麻将摆图问题，落实“从具体到抽象”的建模过程，与课本“数学建模的基本步骤”一致（问题分析、模型假设、模型求解、模型检验）。

（3）概率初步章节：排列组合是概率计算的基础，本节课为后续“麻将牌型概率”（如“清一色”概率）学习奠定基础，体现知识的前后关联性。

9.常见易错点与辨析

（1）混淆排列与组合：如“选3张麻将牌组成顺子”是组合（顺序不重要），而“摆成一条直线”是排列（顺序重要），需根据题意明确“排”或“选”。

（2）忽略对称性：如用4张不同的牌摆正方形，易忽略旋转重合情况，误认为A₄⁴=24种，实际需除以4（正方形有4种旋转对称），正确结果为6种。

（3）重复计数或遗漏：如“选万或条或筒，且每种花色选1张”，需分步（选花色3种，选数字各9种），总数为3×9=27种，若误用分类加法（3+9+9=21）则遗漏“选花色与数字”的连续性。

10.知识应用拓展

（1）生活应用：排队问题（如学生排队）、座位安排、密码设置等均可转化为排列组合问题，与麻将摆图模型一致。

（2）学科融合：结合信息技术（如几何画板演示动态排列）、语文（理解“有序”“无序”的语义区别），提升综合应用能力。

（3）文化渗透：通过麻将这一传统文化载体，感受数学在生活中的应用，增强学习兴趣与文化认同感。Xx课后作业巩固排列组合与麻将摆图知识点，完成以下题型：

题型1:用5张不同的麻将牌摆成一条直线，计算所有可能的摆法数量。补充说明：考虑顺序不同视为不同排列，应用排列数公式A₅⁵。答案:120种。

题型2:从9张万字牌（1-9万）中选3张组成顺子（连续3张），计算可能的顺子种类。补充说明：顺子需连续，起始牌为1-7万，不考虑顺序，应用组合数公式C₉³但限制连续。答案:7种（如1-2-3万至7-8-9万）。

题型3:用4张不同的牌摆成正方形，考虑旋转对称后重合视为同一种摆法，计算不同摆法数量。补充说明：正方形有4种旋转对称，需除以对称变换数。答案:6种（A₄⁴÷4=24÷4=6）。

题型4:麻将中“清一色”要求同花色，从“万”字牌选5张，计算组合数。补充说明：同花色固定，从9张中选5张，应用组合数公式C₉⁵。答案:126种。

题型5:选3张牌摆成三角形，每边1张，顶点牌固定，计算摆法数量。补充说明：顶点牌固定后，边中点牌排列有序，应用分步计数原理。答案:2种（剩余2张牌排列A₂²=2）。Xx板书设计①基础概念

排列：从n个不同元素中取m个，按一定顺序排列（有序性），如麻将牌“一万、二条、三筒”与“二条、一万、三筒”不同。

组合：从n个不同元素中取m个，不管顺序并成一组（无序性），如选“一万、二条、三筒”与“二条、一万、三筒”相同。

排列与组合区别：是否考虑顺序，交换位置后是否视为不同结果。

②计数原理与公式

分类计数原理（加法）：完成一件事有n类互斥办法，总数为各类方法之和，如麻将选“万或条或筒”。

分步计数原理（乘法）：完成一件事需分n个连续步骤，总数为各步方法之积，如先选花色（4种）再选数字（