上海2026年高三高考数学模拟预测试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页虹口区2025学年第二学期期末学生学习能力诊断测试高三数学（时间120分钟，满分150分）一、填空题1．已知，则等于_______．2．已知全集为，集合，则_____________（用区间表示）．3．已知等差数列的公差为2，若，则_____________．4．甲、乙等共3人排成一排，则甲和乙不相邻的概率为_____________．5．已知点为某个长轴长为6的椭圆上的一点，若点到该椭圆的一个焦点的距离为2，则点到该椭圆的另一个焦点的距离为_____________．6．已知随机变量服从分布，则_____________．7．在中，若，在上的投影向量为，则_____________．8．设函数，当时，表达式的二项展开式中的系数是______．9．已知事件和满足，，，则______．10．已知和是复平面上的两个动点，它们所对应的复数分别为和，若，，则随着的运动，动点所形成的平面图形的面积为_____________．11．如图所示，某公园有一块半径为1千米、圆心角为直角的扇形游乐景观，若公园主办方计划在弧上选取一点，在扇形内保留游乐景观，并修建三条观光道、和（其中，）．若观光道每千米可带来收益3万元，扇形的游乐景观每平方千米需投入维护成本1万元，则当扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，_____________度．（结果精确到0.1度）12．已知、、是三个平面向量，且为给定的单位向量．若，，则的最小值为______．二、选择题13．设，分别为空间中的两条不同的直线，平面，“”是“”的（

）条件：A．充分非必要 B．必要非充分C．充要 D．既非充分又非必要14．已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（

）．A． B．C． D．15．若对于任意的，总存在，使得，则实数可以是（

）．A． B． C． D．16．若函数满足：在定义域内存在互不相同的三个数，，，当，，成等差数列，有，，成等比数列，则称满足“性质”．对于以下两个结论，说法正确的是（

）．①函数不满足“性质”；②对于任意的正实数，都满足“性质”．A．①、②都正确 B．①、②都错误 C．①正确，②错误 D．①错误，②正确三、解答题17．如图，已知正四棱柱的底面边长为2，高为4．

(1)求正四棱柱的侧面积；并求二面角的余弦值；(2)若棱上的点满足，点是线段（含端点和）上的动点，求证：恒成立．18．我国的制造业增加值自2010年起连续12年位居世界第一，某设备生产企业对现有生产设备进行技术攻坚突破，提高核心竞争力．设备生产的零件的直径为（单位nm）．(1)技术攻坚前，为分析影响零件直径的因素，技术人员测量了某批次零件的直径与三个相关变量：机床转速①、切削深度②和环境湿度③，并计算了直径与这三个变量的相关系数分别为，，．请按照相关性从强到弱对这三个变量进行排序，直接写出排序结果（无需说明理由，用标号①②③表示即可）；(2)现有旧设备生产的零件共7个，其中直径大于的有4个．现从这7个零件中随机抽取2个，记表示取出的零件中直径大于的零件个数，求；(3)若技术攻坚后新设备生产的零件直径，从生产的同一批零件中随机取出10个零件逐一独立地进行检验，求至多有1个零件小于的概率．（结果精确到0.0001）参考数据：若，则，．19．设．(1)解不等式：；(2)若恒成立，求实数的取值范围．20．已知双曲线：，为原点．(1)求的右顶点到一条渐近线的距离；(2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标；(3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围．21．对于定义域为的函数以及给定的个实数，，…，，若存在项数为且严格增的有限数列，，…，，满足，则称函数关于数列具有“性质”．(1)若，请分别判断，是否关于数列具有“性质”（无需说明理由）；(2)设，，，，，是否存在首项和公比相等且严格增的有限等比数列，使得函数关于数列具有“性质”？若存在，请写出一个满足要求的等比数列；若不存在，请说明理由；(3)若函数的图象是连续曲线，集合和均不为空集，且为有限集，求证：对于任意给定的个正数，，，，均存在严格增的有限等差数列，使得函数对数列具有“性质”．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．【分析】由二倍角的余弦公式，得到，代入即可求解．【详解】由二倍角的余弦公式，可得．【点睛】本题主要考查了二倍角的余弦公式的应用，其中解答中熟记二倍角的余弦公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．2．【详解】，则，解得或，即，已知全集为，补集．3．40【分析】先求等差数列的通项公式，再求和即可.【详解】由题可知：，由等差数列求和公式得：.4．【分析】用排列数公式计算总情况数，根据甲乙分别在两端计算甲和乙不相邻的情况数，再由古典概型概率公式求解概率.【详解】3人全排列，总的基本事件数为种，若3人排成一排，甲乙不相邻，则甲乙分别在两端，第三个人在中间，甲乙可交换顺序，共种符合条件的排列，所以甲和乙不相邻的概率为：.5．4【详解】由题意可知椭圆的长轴长，由于点到该椭圆的一个焦点的距离为2，根据椭圆的定义得点到该椭圆的另一个焦点的距离为4.6．10【详解】由题意知，所以.所以.所以.7．

##0.5【分析】由正弦定理边角互化可得，结合投影向量,余弦定理可得三角形为等边三角形，据此可得答案.【详解】因，结合正弦定理边角互化可得：.因在上的投影向量为，则，由余弦定理：.从而即三角形为等边三角形，则.8．【详解】当时，，所以.展开式中，的系数为.9．##【详解】由，所以，得.所以，又，所以.10．16π【详解】由知，点的轨迹为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆，又，，所以点到点的距离小于或等于.所以随着的运动，动点所形成的平面图形为以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的外部与以坐标原点O为圆心，以为半径的圆的内部形成的圆环，所以其面积为.11．【分析】设，根据题意表示出公园产生的净收益为，利用导数分析函数的单调性，进而求解即可.【详解】由题意，设，由于扇形的半径为1，，则，，所以公园产生的净收益为，则，令，得，而，则（近似值），即此时函数单调递增；令，得，而，则（近似值），即，此时函数单调递减，则扇形区域为公园产生的净收益取得最大值时，.12．【分析】将向量最值问题转化为动点在抛物线和圆上的轨迹问题后，结合“阿波罗尼斯圆”的性质构造新定点配平系数，最终化归为求抛物线上动点到该定点的最短距离.【详解】不妨设，因为，则有，整理得，即向量的终点的轨迹是以原点为顶点，焦点为的抛物线，设，由得，整理得，即向量的终点的轨迹是以为圆心，半径的圆，，其中表示到的距离，由阿波罗尼斯圆的定义有：平面内到两个定点的距离之比为常数，且定点与圆心三点必共线，所以必在轴上，设使，点满足，即，，，则有，解得，则，易得三点共线时取最小值，问题转化为抛物线上的动点到定点的最短距离，，当时取最小值，即，即，即的最小值为.

13．D【分析】结合线面平行的判定定理验证充分性，结合线面平行的性质验证必要性.【详解】已知，：如果本身也在平面内（是不同直线），此时，不满足，因此充分性不成立；若，则和平面无公共点，与内的直线可以平行，也可以异面，不一定满足，因此必要性不成立，综上，“”是“”的既非充分又非必要条件.14．B【分析】因为，所以，再结合是定义在上的奇函数进行求解.【详解】因为，所以，对于A：但是不是奇函数，所以A错误；对于B：，且，定义域为，所以是奇函数，所以B正确；对于C：，是偶函数，所以C错误；对于D：,是奇函数，所以D错误；15．C【分析】由题意可得在内的值域包含，只需，即可，进而将选项中的角，依次代入验证，即可求解.【详解】因为对任意，都存在，使得成立，所以，因为，所以，，若对任意，都存在，使得成立，可知在内的值域包含，只需，即可，因为，则，对于A：当时，，则，因为，所以的取值不符合条件，故A错误；对于B：当时，，则，因为，所以的取值不符合条件，故B错误；对于C：当时，，则，因为，，取值符合条件，故C正确；对于D：当时，，则，因为，所以的取值不符合条件，故D错误；16．D【分析】对于①，取特殊值，结合，，成等差数列可得，假设，，成等比数列，可得，进而解方程求解判断即可；对于②，取特殊值，结合，，成等差数列可得，进而验证即可判断.【详解】对于①，由，，成等差数列，则，取，即，则，，若，，成等比数列，则，即，则，即或，则或（舍去），当时，，当时，，所以函数满足“性质”，故①错误；对于②，由，，成等差数列，则，取，则，，所以，而，则，所以对于任意的正实数，都满足“性质”，故②正确.17．(1)32；(2)证明详见解析.【分析】（1）由四棱柱为正四棱柱，得侧面是全等矩形，根据底面边长和高，用侧面积公式计算即可；取中点，由正四棱柱，得，，可得是二面角的平面角，计算各边长度，用余弦定理求角的余弦值.（2）由正四棱柱，得，，两两垂直；以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系；根据已知条件分别求出向量和，得，即可证明恒成立．【详解】（1）四棱柱为正四棱柱，四棱柱的四个侧面为全等的矩形；正四棱柱的底面边长为2，高为4，，即正四棱柱的侧面积为32.连接，交于点，连接，；

四棱柱为正四棱柱，四边形是正方形，四个侧面为全等的矩形.是的中点.由，，得；；四边形是正方形，；是二面角的平面角.由，，得，，；在中，；二面角的余弦值为.（2）四棱柱为正四棱柱，，，两两垂直；以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系.

则，，，，，，，；，点是线段（含端点和）上的动点，，，得，；，；；；恒成立18．(1)②①③；(2)；(3)【分析】（1）由相关系数绝对值越大，相关性越强来判断排序；（2）的值可能为：，求出分布列，然后由方差公式计算；（3）由正态分布的性质求得，然后由10个零件都不小于或只有１个小于求出概率.【详解】（1）相关系数绝对值越大，相关性越强，因此从强到弱的排序为：②①③；（2）由题意的值可能为：，，，，所以，，所以；（3）由已知，，，，，则，，记“从生产的零件中随机取出10个，至多有一个零件直径小于”为事件，则.19．(1)(2)【分析】（1）先求定义域和单调性，再根据单调性解不等式.（2）先对不等式进行化简，然后分离参数，将问题转化为求函数的最值问题.【详解】（1）的定义域为且在单调递增.，，解得.故不等式的解集为.（2）.恒成立等价于恒成立，，.令，.令，则，在单调递减.又，时，，即，在单调递增，时，，即，在单调递减.，，即的取值范围是20．(1)(2)或(3)【分析】（1）根据双曲线的性质及点到直线的距离公式求解即可.（2）根据两点间的距离公式，与双曲线方程联立求解即可.（3）设出直线：，，，与双曲线方程联立得到，结合题意得到，即且，求出，，结合向量数量积的坐标运算及函数值域的求解方法求解即可.【详解】（1）双曲线：，其中，，右顶点.渐近线方程为：，取，所以右顶点到一条渐近线的距离为.（2）设，则，即因为、、为一个等腰三角形的三个顶点，所以或或.若，则，即，整理得，解得或（舍去）.若，点应在中垂线上，此时无实根.若，，即，整理得，解得或（舍去）.综上，或，即点的横坐标为或.（3）由题意易知，直线的斜率存在，设方程为.联立，整理得，则，所以且.设，，则，.所以，则.当时，所以，，故；当时，所以，，故.综上，实数的取值范围为.21．(1)关于数列不具有“性质”，关于数列具有“性质”(2)不存在满足要求的等比数列(3)证明见解析【分析】（1）根据“性质”的定义，判断是否存在严格增的有限数列，，…，，使得和.（2）假设存在满足条件的等比数列，根据“性质”的定义列出等式，通过分析等式是否成立来判断是否存在这样的等比数列.（3）利用函数的连续性、零点存在定理以及等差数列的性质，构造出满足“性质”的严格增的有限等差数列.【详解】（1）假设存在严格增的有限数列，，…，，使得，因为，所以，由于，，…，是严格增的有限数列，所以，，…，不都为0，那么，与矛盾，所以关于数列不具有“性质”；若关于数列具有“性质”，则需存在严格增的有限数列，，…，，使得，即，取数列，该数列是严格增的有限数列，则，所以存在严格增的有限数列，使得，所以关于数列具有“性质”；综上，关于数列不具有“性质”，关于数列具有“性质”.（2）假设存在满足条件的等比数列，设等比