天津市河北区2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市河北区2025-2026学年高一上学期期中质量检测数学试题一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列选项中描述正确的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】选项A：，是圆周率（无理数）的相反数，仍为无理数，但属于实数集（实数包括所有有理数和无理数）.因此，故A错误；选项B：，表示有理数集，定义为可以表示为两个整数之比（分母非零）的数.中，3和7均为整数，且分母非零，因此属于有理数集.故B正确；选项C：，表示整数集，包括正整数、负整数和零，是无理数，不是整数.因此，故C错误；选项D：，表示自然数集，在高中数学中通常定义为非负整数集（即0,1,2,3,…），不包括负数.因此，故D错误.故选：B.2.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】给定集合和，同时属于和的元素只有1和2，即.故选：D.3.设命题：，则的否定为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为命题：，所以的否定：，故选：B.4.设，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】，但，不充分，时，必要性满足，故是必要不充分条件．故选：B．5.下列函数中与是同一函数的为（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】选项A，对于，定义域为.对于，定义域为，因此和的定义域均为，且对应关系相同.两函数是同一函数，故A正确；选项B，，由，解得或，故定义域为.，由且，即，故定义域为.两者定义域不同，不是同一函数.故B错误；选项C，对于，定义域为.对于，定义域为.两者定义域不同，不是同一函数.故C错误；选项D，对于，定义域为.对于，定义域为.两者定义域不同，不是同一函数.故D错误.故选：A.6.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，，则，【答案】C【解析】对于A：当时，，则，此时成立，但不成立（因为不成立）.因此，该命题不是真命题，故A错误；对于B：取反例：设，，满足计算：，，，则不成立（实际).因此，该命题不是真命题，故B错误；对于C：由条件，得，，.比较差：.分子（因为，)，分母（因为，).故，即.因此，该命题是真命题，故C正确；对于D：取反例：设，，满足（因为).且，，满足（因为).但结论要求且，而此处，不满足，所以该命题不是真命题，故D错误.故选：C7.函数的图象大致为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于CD：由函数为偶函数，偶函数的图象关于轴对称，故CD错误；由时，，排除A；当时，是单调增函数，当时，可得，时，可得，B正确.故选：B8.已知函数在上的最大值为4，则实数k的值为（）A. B.或C.3或 D.或【答案】D【解析】当时，不符合题意；所以该函数为二次函数，顶点横坐标为，顶点位于，且在区间内（因为).顶点函数值：.端点函数值：，.二次函数在闭区间上的最大值出现在端点或顶点处.需根据的符号分情况讨论.情况1：（抛物线开口向下），此时顶点为最大值点，最大值在处：，解得：，情况2：（抛物线开口向上），此时顶点为最小值点，最大值在端点处，比较端点值：,，由于，有，故，最大值在处：，解得：.综上，满足条件的解为：或.故选：D.9.下列说法错误的是（）A.的最小值是2B.的最小值是C.的最小值是2D.的最大值是【答案】C【解析】当时，，当且仅当，即时取等号，A正确；当时，，当且仅当，即时取等号，D正确；，而，则，当且仅当时取等号，B正确；，因，有，，则有，C不正确.故选：C.10.已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题设，易知在上，在上，且，由，则或，所以原不等式的解集为.故选：C.二、填空题：本大题共5个小题，每空4分，共20分.答案填在题中横线上.11.把集合用列举法表示出来_______________.【答案】【解析】因为且，所以x的所有取值为4,5,6.故答案为：.12.函数的定义域为__________.【答案】【解析】函数的定义域需要满足以下条件：平方根内的表达式非负：要求.分母不为零：分母为，因此，即.综合解得.故答案为：.13.不等式的解集为__________.【答案】【解析】首先，解对应方程.通过因式分解：，得和.二次函数的图象是开口向上的抛物线（二次项系数为正），与轴交点为和。当抛物线在轴下方时，函数值小于零，即不等式成立.由于开口向上，函数值在两根之间小于零，因此解集为，用区间表示为.故答案为：.14.若两个正实数x，y满足，且恒成立，则实数m的取值范围是__________.【答案】【解析】由已知，，当且仅当时取等号，结合已知解得,符合题意，所以，因为恒成立，所以,解得.故答案为：.15.为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民生活用水，实行“阶梯水价”.计算方法如下表：每户每月用水量水价不超过的部分3元/超过但不超过的部分6元/超过的部分9元/若某户居民本月交纳的水费为90元，则此户居民本月用水量为___________.【答案】【解析】设用水量为立方米，水价为元，则，整理得到：，当时，；时，；故某户居民本月交纳的水费为90元，则用水量大于18立方米，令，则（立方米）.故答案为：.三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.已知全集，集合，，.（1）当时，求，；（2）若是的充分条件，求实数m的取值范围.解：（1）当时，.因为，所以；因为或，所以或．（2）因为是的充分条件，所以，所以，解得，所以实数m的取值范围是．17.已知幂函数，且函数在上单增（1）函数的解析式；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）为幂函数，则有，解得或，时，，在上单调递增，符合题意；时，，在上单调递减，不合题意；所以.（2），函数定义域为，，函数为偶函数，在上单调递减，在上单调递增，若，有，解得，所以实数的取值范围为.18.已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围；（3）对任意实数x，不等式恒成立，求实数a的取值范围.解：（1）当时，，不等式，，解得或，所以不等式的解集为或．（2）当时，在区间上单调递减，不符合题意；当时，函数在区间上不单调，其对称轴需满足，即，解得.综上所述，实数a的取值范围是．（3）不等式恒成立，即不等式恒成立.当时，恒成立；当时，要使恒成立，则需，解得.综上所述，实数a的取值范围是．19.已知函数，，（1）若，写出函数的单调区间，并证明其单调性；（2）若函数在上单调，且存在，使成立，求实数a的取值范围：（3）当时，函数的最大值为，求的解析式.解：（1）当时，，的单调递增区间为，单调递减区间为．证明：，，且，则，因为，且，所以，，当时，，得，即；当时，，得，即；所以在上单调递增，在上单调递减．（2）当，时，，易知的单调区间与的单调区