山东德州市2025-2026学年高二上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东德州市2025-2026学年高二上学期数学期末试题一､选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】抛物线化为标准方程可得，故，焦点坐标为.故选：A.2.若随机变量服从两点分布，其中，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为随机变量服从两点分布，，所以，所以，所以，故选：B.3.的展开式中，常数项是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】的展开式通项为，令，可得，故展开式中的常数项为.故选：C.4.已知随机变量服从正态分布，且，则（）A.0.2 B.0.3 C.0.5 D.0.6【答案】D【解析】因为服从正态分布，所以对称轴，因为，所以，由对称性得，所以.故选：D.5.世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张､小赵､小李､小罗､小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译､安保､礼仪､服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同选派方案共有（）种.A.120 B.60 C.24 D.36【答案】D【解析】根据题意可分为2种情况讨论：（i）若小张或小赵只有一人入选，则有种不同的选派方案；（ii）若小张，小赵都入选则有种不同的选派方案，综上可得，共有种不同的选派方案.故选：D.6.如图，一个地区分为4个区域，现给该地区着色，要求相邻区域不得使用同一颜色，现有3种颜色可供选择，则不同的着色方法共有（）种.A.12 B.18 C.24 D.30【答案】B【解析】若用3种颜色，则需AD同色，或BC同色，则有种选择，若用2种颜色，则需AD同色并且BC同色，则有种选择，综上，不同的着色方法共有种.故选：B.7.如图，已知抛物线的焦点为，过且斜率为2的直线交于两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点轴于点.若四边形的面积等于8，则的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】易知，直线AB的方程为，设，，，则，所以，所以，，所以.所以MC直线方程为，令，得，所以.因为，所以四边形的面积为，所以，故抛物线E的方程为.故选：D.8.已知实数满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】当时，方程为，为焦点在y轴的椭圆的一部分，当时，方程为，为双曲线右支的一部分，渐近线方程为，当，方程为，为双曲线上支的一部分，渐近线方程为，当，方程为，不存在，作出的图象，如下图所示，点到直线距离，所以表示点到直线的距离的倍，设与平行的直线方程为，当其与在第一象限相切时，两平行线间的距离的倍为所求的最小值，联立，得，令判别式，解得，显然当时，直线与椭圆在第一象限相切，此时两平行线与的距离为，则的最小值为；又与的渐近线均为，此时与的距离，则的最大值为，所以的取值范围是.故选：C.二､多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】对于A，令，则，故A正确；对于B，令，则，所以，故B正确；对于C，令，则，由B可知，所以，即，，所以，故C错误；对于D，令，则，所以，故D正确；故选：ABD.10.在边长为的正方体中，、分别为、的中点，则（）A.B.与所成角的余弦值为C.三棱锥的体积是D.平面截正方体所得截面的面积为【答案】BC【解析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、，对于A选项，，，所以，故与不垂直，A错；对于B选项，，，所以，即与所成角的余弦值为，B对；对于C选项，，，C对；对于D选项，因为，，故，所以，故平面截正方体所得截面为梯形，，则点到直线的距离为，故截面面积为，D错.故选：BC.11.造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线的一部分.已知过坐标原点，且上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为9，则（）A.B.曲线上存在点，使得C.若点在上，则D.当点在上时，不等式恒成立【答案】ACD【解析】对于A，因为在曲线上，所以到的距离为，而，所以有，故，故A正确；对于B，由题意可知，曲线的方程为，因为，所以，又，所以，故C正确；若点在上，则，故曲线上不存在点，使得，故B错误；由可得，因为，所以，则，故D正确.故选：ACD.三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.将10本不同的书分成三组，一组4本，其它两组各3本，共有__________种不同分法.（用数字作答）【答案】2100【解析】10本不同的书分成三组，一组4本，其它两组各3本，共有种不同分法.故答案为：2100.13.已知双曲线的左､右焦点分别为，过作轴的垂线与渐近线交于两点，，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】由题可知，渐近线方程为，，所以的横坐标为，又在双曲线的渐近线上，所以不妨设，在中，，即，所以，所以，所以，故答案为：.14.为研究不同性别学生对“deepseek”应用程序的了解情况，某学校进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各40名作为样本，设事件“了解deepseek”，“学生为女生”，据统计，则__________；将样本的频率视为概率，现从全校的学生中随机抽取20名，设其中了解deepseek的学生人数为，则当取得最大值时，的值为__________.【答案】①.或②.【解析】对于①：因为，所以，又，所以，所以;对于②：将样本的频率视为概率，则从全校的学生中随机抽取名，每名学生了解的概率都是，可知，若取得最大值，则，即所以，即，解得，又，所以故答案为：①②.四､解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤.）15.已知直线与圆相切.（1）求实数的值；（2）已知直线与圆相交于两点，若的面积为8，求直线的方程.解：（1）由，得，圆心为，半径为，因为直线与圆相切，所以，解得.（2）设圆心到直线的距离为，则，所以，解得，即，可知，得，解得或，所以直线的方程为：或16.乒乓球比赛规则规定：在双方打成10平后，领先两分者获胜，比赛结束.在某校组织的乒乓球比赛中，甲､乙两名同学已经打成了10平.已知下一球甲同学得分的概率为，且对以后的每一球，若甲同学在本球中得分，则他在下一球的得分概率为，若甲同学在本球中未得分，则他在下一球的得分概率为.（1）求在继续打了两个球后比赛结束的条件下，乙同学获胜的概率；（2）求再打两个球甲新增的得分的分布列和期望.解：（1）打了两个球后结束，则甲连胜两球或乙连胜两球，设事件为“打两球后结束”，事件为“乙赢得比赛”，则，，故.（2）依题意的可能取值是，所以，，，所以的分布列为：012所以.17.如图，在中，，点满足，将沿翻折至，使得.（1）证明：；（2）求平面与平面所成角的正弦值.（1）证明：由，得，又，在中，由余弦定理得，所以，则，即，连接，由，所以，则在中，，得，所以，又平面，所以平面，又平面，所以（2）解：由（1）知，两两垂直，建立如图空间直角坐标系，则，，所以设平面和平面的一个法向量分别为，则，令，得，所以，所以，设平面和平面所成角为，则，所以平面和平面所成角的正弦值为.18.有一个装着5个小球的箱子，其中白球3个，红球2个．从箱子里随机取出一个小球，同时抛掷一枚质地均匀的硬币：如果硬币出现正面，小球留在手上；如果硬币出现反面，小球放回箱子．重复该试验，当箱中无小球时停止试验．假设刚开始时手上没有小球，请回答以下问题：（1）求经过两次试验后，手上有两个白球的概率；（2）求经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率；（3）设第次停止试验的概率为，则当取最大值时，求的值．解：（1）因“经过两次试验后，手上有两个白球”即第一次和第二次试验都取到了1个白球，且这两次取出的球都未放回箱子，也即两次抛掷硬币均正面向上，故其概率为：.（2）由题意，“经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球”包括两个事件：①三次试验取到两个白球和一个红球且有一个白球被放回，其概率为：；②三次试验取到两个红球和一个白球且有一个红球被放回，其概率为：.故由互斥事件概率加法公式，经过三次试验后，手上正好有1个白球和1个红球的概率为.（3）依题意，，由，解得，即，故经过8次或9次试验后，停止试验的概率最大，此时或9.19.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且点在第一象限，点的纵坐标是.当轴时，.（1）求抛物线的方程；（2）直线，设是抛物线上异于的一点，且在第一象限，直线交于是在上的投影，若点满足“对于任意都有”，求的取值范围；（3）若，为坐标原点，过的直线与抛物线交于，且直线交轴于点，