陕西省渭南市蒲城县2025-2026学年上学期高二期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省渭南市蒲城县2025-2026学年上学期高二期末考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.已知数列是等差数列，，则（）A.12 B.15 C.18 D.21【答案】B【解析】因为数列为等差数列，且，所以，即，所以.故选：B.2等比数列中，，公比，前n项和，则（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】依题意，，即，所以.故选：B.3.椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】椭圆的长短半轴长分别为，半焦距，所以所求离心率故选：B.4.从5名同学中选3人参加演讲比赛，不同选法种数是（）A.10 B.20 C.60 D.120【答案】A【解析】从5名同学中选3人参加演讲比赛，不同选法种数是.故选：A.5.的展开式中常数项为（）A.-15 B.15 C.-20 D.20【答案】C【解析】该二项式展开式通项为：.令，则，所以.故选：C.6.二项式的展开式中所有二项式系数和为64，则（）A.4 B.5 C.6 D.7【答案】C【解析】二项式的展开式中所有二项式系数和为，所以.故选：C.7.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数，求导得，由，解得或，所以所求递增区间是.故选：A.8.函数在处的切线斜率为（）A.0 B.1 C.2 D.e【答案】C【解析】函数，求导得，则，所以所求切线的斜率为2.故选：C.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于等比数列，下列说法正确的是（）A.若，则数列递增 B.若，则C.前n项和恒成立 D.若且，则【答案】AD【解析】因为数列是等比数列，所以通项公式为，在A选项中，当，时，，因为，，所以，即，所以数列单调递增，A选项正确，在B选项中，根据等比数列的性质可得，，则，所以，所以B选项错误.在C选项中，等比数列的前n项和，当时，若项数为偶数，则，与矛盾，所以C选项错误，在D选项中，由等比数列的通项公式可得，，，因为，所以，即，由及得出且，所以得出，所以D选项正确，故选：AD.10.已知双曲线，下列结论正确的是（）A.离心率为 B.渐近线方程为C.右焦点坐标为 D.焦点到渐近线距离为【答案】ABCD【解析】由知，，则离心率为，渐近线为，右焦点坐标为，所以焦点到渐近线的距离.故选：ABCD11.时，下列不等关系能成立的有（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】对于A，，求导得，函数在上递减，，即，A正确；对于B，令，求导得，函数在上递增，，即；令，求导得，函数在上递增，，即，因此，B正确；对于C，令，求导得，函数在上递减，，则，因此，C错误；对于D，令，求导得，令，求导得，令，求导得，函数在上递增，而，存在，使得，当时，，当时，，函数在上递减，此时；在上递增，此时，即，函数在上递减，，因此，D正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，则正整数_________．【答案】【解析】由可得，化简可得，故答案为：.13.，则__________.【答案】20【解析】由，求导得，令，得.故答案为：2014.对正数，若，则__________.【答案】1【解析】正数，，而函数在上都单调递增，因此函数在上单调递增，原等式等价于，所以，即.故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.15.等比数列中，.（1）求通项公式.（2）求前n项和及．解：（1）设等比数列的公比为，由，得，解得，所以数列的通项公式为.（2）由（1）得，.16.已知函数.（1）求的导数．（2）求在区间上的最大值和最小值．解：（1）函数，求导得.（2）由（1）得，，当时，；当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，，而，即，所以在区间上的最大值和最小值分别为.17.已知函数在定义域内单调递增．（1）求取值范围．（2）若，求在处的切线方程．解：（1）函数的定义域为，求导得，，又函数在定义域内单调递增，故在定义域内恒成立，即，又由均值不等式得，，当且仅当，即时等号成立，，取值范围为.（2）当时，，则，，又，由点斜式可得，.即.故在处的切线方程为.18.椭圆经过点，且离心率为．（1）求椭圆方程．（2）直线过右焦点交椭圆于两点，求面积最大时的方程，并求面积最大值．（为左焦点）解：（1）因为椭圆标准方程为，离心率，所以，又因为，代入得，椭圆方程可写为，把椭圆过点，代入方程：，则，所以，即，因此，，，所以椭圆方程为.（2）由（1）得，，，设直线的方程为，，，联立椭圆与直线方程：代入得：，整理得，因为，弦长对应的纵坐标差：代入得，，所以的面积，令，则，代入得，由对勾函数性质在上单调递增，故，因此，此时，即，所以，所以直线的方程为，面积最大值为.19.是抛物线上两点，且.（1）求AB直线过定点．（2）过原点O作于，求点的轨迹方程．解：（1）设直线方程：，与抛物线联立可得：，设