上海市虹口区2026届高三上学期一模数学试题

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市虹口区2026届高三上学期一模数学试题一、填空题(本大题共有12题，满分54分，第题每题4分，第题每题5分)1.已知集合，，则___________.2.函数的定义域为___________.3.的二项展开式中的系数是___________.4.已知，若幂函数为偶函数，则实数__________.5.若事件、互斥，且，，则___________.6.已知复数是实系数一元二次方程的一个虚数根，则___________．7.已知某圆锥的底面半径为2，侧面积为，则该圆锥的体积为___________（结果保留）.8.甲、乙、丙人站到共有级的台阶上，若每级台阶最多站人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是________.（用数字作答）9.已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，则点到的一条渐近线的距离为__________．10.小虹同学要在边长为10的正方形纸片上剪出一个等腰梯形的图案，如图所示，腰、与正方形内的抛物线分别相切于、两点，其中的顶点为的中点.若当点到的距离为4.5时，，则当等腰梯形的面积取到最小值时，_____________.（结果保留2位小数）11.若，则实数的取值范围是：___________.12.已知空间中四个单位向量满足，则在方向上的数量投影的最大值为_______________.

二、选择题(本大题共有4题，满分18分，第题每题4分，第题每题5分)13.已知、为实数，则“”是“”的（

）条件.A.充分非必要 B.必要非充分 C.充要 D.非充分又非必要14.已知，若，则实数的取值可以是（

）A. B.C. D.15.如图，已知点在表面积为的球的球面上，且，平面，点为中点，当二面角的大小为时，则有（

）A.异面直线和所成角的大小为B.直线与平面所成角的大小为C.D.的面积为16.若每一项均为正数的数列的前项和为，若对于任意的正整数，均存在正整数使得，则称具有“性质”．对于以下两个命题，说法正确的是（

）①存在等比数列，使得具有“性质”；②若具有“性质”，记且为等差数列，则．A.①和②都为真命题 B.①和②都为假命题C.①为真命题，②为假命题 D.①为假命题，②为真命题三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应位置写出必要步骤.17.如图，已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，点为中点.（1）若点是线段上的动点，求证：直线与直线不相交；（2）若平面，，，求点到平面的距离.

18.已知，，设.（1）当，时，试判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）当且函数的最小正周期为时，若在中，-，求的取值范围.

19.班主任小明为了解本班每位学生每周平均手机使用时长(单位：小时)，在某一学期每周对全班名学生进行问卷调查，收集了全部数据并计算出每位学生每周平均手机使用时长，绘制了相应的统计图表，全班用时最长的为小时.其中，男生每周平均手机使用时长的茎叶图如图所示，女生每周平均手机使用时长的频率分布直方图如图所示.（1）求该班男生每周平均手机使用时长的第百分位数；（2）小明老师想从本班每周平均手机使用时长小于小时的学生中任选人在班会课上做经验分享．设事件表示“人中至多名男生”，事件表示“人中恰有名学生的每周平均手机使用时长位于区间”．试判断事件和事件是否独立，并说明理由；（3）小明老师发现本班有位学生的每周平均手机使用时长超过小时，这位学生的数据平均数为小时．当去掉这位学生中用时最长和用时最短的数据后，平均数变为小时，且这位学生中女生的数据从小到大依次排序成等差数列．那么这位学生每周平均手机使用时长的方差是否超过？请说明理由．

20.已知椭圆的左、右焦点分别为和，点是的长轴上的动点，点为上的动点，且异于点．（1）当点位于椭圆的左焦点，且、、能构成三角形时，求的周长；（2）当点位于椭圆的左顶点时，直线与轴交于点，，求实数的值；（3）当点与椭圆的左、右顶点均不重合时，记直线与椭圆的另一个交点为，过点作直线与椭圆交于、两点，设和分别为弦和弦的中点，若、、、为四个相异的点，，且直线恒过定点，求点的坐标．

21.已知函数的定义域为（），记