四川省广元市2025-2026学年高二年级秋季普通高中期末教学质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省广元市2025-2026学年高二年级秋季普通高中期末教学质量监测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线的方向向量可以是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】直线的斜率为，则该直线的一个方向向量为，而选项ABC中向量与向量不共线，选项D中向量与向量共线.故选：D.2.数列的一个通项公式为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意可知题干数列是交替出现，故其通项公式可以写成或利用三角函数来写，对于A，的第一项为，不符合题意，故A错误；对于B，即为，对应的余弦值为，符合题意，故B正确；对于C，的前两项依次为，不符合题意，故C错误；对于D，的第一项为，不符合题意，故D错误；故选：B.3.“”是“直线与平行”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若直线，则，解得：.所以“”是“直线的充分必要条件.故选：C.4.已知随机事件和相互独立，且，则（）A.0.9 B.0.85 C.0.8 D.0.78【答案】A【解析】因为事件和相互独立，,故，所以.故选：A.5.已知点在抛物线上，为抛物线的焦点，则（为坐标原点）的面积是（）A.16 B.8 C.4 D.2【答案】C【解析】因为点在抛物线上，所以，即，则抛物线的焦点为，则的面积是.故选：C.6.已知圆关于直线对称，圆，则圆与圆的位置关系是（）A.内含 B.相交 C.外切 D.外离【答案】C【解析】由圆得，，圆心，半径，圆关于直线对称，说明圆心该直线上，所以，，解得，故，.由得，圆心，半径，，，，所以，所以两圆外切.故选：C.7.已知椭圆的左、右焦点分别是，是椭圆上一点，直线与轴交于点，为线段的中点，且（其中为坐标原点），则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为是椭圆上一点，为线段的中点，O是的中点，所以，，设，由为中点且在轴上，可得点横坐标，由可得点纵坐标，故可取，所以，所以，所以.故选：B.8.如图，在正方体中，E，F分别为棱BC，的中点，过点A，E，F作一截面，该截面将正方体分成上、下两部分，则分成的上、下两部分几何体的体积比为（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】如图，连接，，∵E，F分别为棱BC，的中点，则，又∵，且，则为平行四边形，∴，可得，故则过点A，E，F的截面即为截面，截面将正方体分成上、下两部分，其中下部分为三棱台，且三棱台的高为．设正方体的棱长为2，则，可得正方体的体积，三棱台的体积，故分成的上、下两部分几何体的体积比为．故选：C．二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的不得分．9.已知双曲线的左、右焦点分别为，是双曲线右支上任意一点，则下列说法正确的是（）A.双曲线的离心率为B.C.的最小值为D.到双曲线渐近线的距离为【答案】ABD【解析】已知双曲线，则，，故，则，，离心率，A选项正确；由双曲线定义：，又点在双曲线右支上，故，B选项正确；当点为双曲线右支顶点时取得最小值，此时点坐标为，则，C选项错误；取靠近双曲线右支的渐近线方程，化为一般式，则点到双曲线渐近线的距离，D选项正确.故选：ABD.10.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球，2个绿球，从袋中不放回地随机摸出2个球．记事件“摸出的两个球都是红球”，“摸出的两个球都是绿球”，“摸出的两个球颜色相同”，“摸出的两个球颜色不同”，则下列说法正确的是（）A.为对立事件 B.与相互独立C. D.【答案】AC【解析】M（颜色相同）与N（颜色不同）互斥，且所有摸球结果必属于其中一个，因此是对立事件，故A正确；从4个球中不放回摸2个，总样本数为，，，所以，因为，所以，所以，所以与不独立，故B错误；因为R与G互斥，所以，故C正确；因为，所以，故D错误.故选：AC.11.如图，平面四边形是由两个直角三角形拼接而成，，．现在将沿进行翻折，使得平面平面，连接，得到三棱锥．若分别为的中点，则下列说法正确的是（）A.平面平面B.异面直线与所成角的余弦值为C.不共面D.三棱锥外接球的表面积为【答案】ABD【解析】对于A，平面平面，交线为，，平面，所以平面，因为平面，所以.又，且，所以平面.因为平面，所以平面平面，故A正确；对于B，以为原点，过在平面内作的垂线为轴，直线为轴，直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，因为，，所以，则，所以，，故B正确；对于C，，因为，即，所以共面，故C错误；对于D，由A可知，，，所以与都是直角三角形，且，因为点是的中点，所以点到A，B，C，D的距离相等，即为三棱锥外接球的球心，故球半径为，则三棱锥外接球的表面积为，故D正确.故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知数列满足，，则______．【答案】或【解析】由，得，以上各式相加，得，又，所以，所以.故答案为：.13.用掷两枚质地均匀的硬币做胜负游戏，规定：两枚硬币同时出现正面或同时出现反面算甲胜，一个正面、一个反面算乙胜．这个游戏是否公平？______（填“公平”或“不公平”）．【答案】公平【解析】抛掷两枚硬币，共有正正，正反，反正，反反共4种结果.甲胜的情况是正正，反反共2种情况，所以甲胜的概率为；乙胜的情况是正反，反正共2种情况，所以乙胜的概率为.因为甲胜和乙胜的概率，所以这个游戏是公平的.故答案为：公平.14.如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．如图2所示，若双曲线的左、右焦点分别为，从发出的光线经过图中的两点反射后，反射光线分别是，且，，三点共线，则的渐近线方程为______．【答案】【解析】如图，由，可得，所以,因为，所以在直角三角形中,设由双曲线的定义得到，即，又因为，所以，即所以，，在直角三角形中，，即，即，得到所以双曲线的渐近线为.故答案为：.四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知数列的前项和，．（1）求的最小值和数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和．解：（1）因为，这是一个开口向上的二次函数，对称轴为，所以当时，取得最小值，当时，，当时，，验证时，，满足所以数列的通项公式为.（2）由（1）得到，所以，所以所以数列是首项为4、公比为4的等比数列，所以.16.如图，有一枚质地均匀的正方体骰子，抛掷这枚正方体骰子一次，观察它落地时朝上的面的点数，得到样本空间为．记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为质数”．（1）请写出该试验的样本空间；（2）判断是否成立，并说明理由；（3）连续抛掷2次这个骰子，记事件为第次抛掷这个骰子，事件发生．求连续抛掷2次这个骰子，事件恰好发生1次的概率．解：（1）试验的样本空间为.（2）成立，理由如下：事件“得到的点数为偶数”，则；事件“得到的点数不大于4”，则；事件“得到的点数为质数”，则；则事件，则所以.（3）事件，则，，连续抛掷2次，恰好发生1次的概率为：.17.已知圆内有一点．过点且倾斜角为的直线与圆交于两点．（1）当弦被点平分时，求直线的方程和的值；（2）若，求直线的方程．解：（1），故圆心为，半径为4，故，当弦被点平分时，由垂径定理得直线的斜率为1，故，所以，所以直线的方程为，即；（2）当时，中，令得，，解得，故，又到直线的距离为2，故，满足要求；当时，设直线的方程为，即，点到直线的距离为，又，，故，解得或，当时，，解得，直线方程为；当时，，变形得到，方程无解，综上，直线方程为或.18.如图，在三棱柱中，分别是的中点，平面，且，，.（1）求证：平面；（2）求平面与平面的夹角的余弦值；（3）若线段上存在点到平面的距离为，求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：因为H，P分别是BC，AB的中点，所以，因为，可得，又因为平面ABC，以点H为原点，以所在直线分别为x轴，y轴和z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，，，，，所以向量，且平面的法向量为，则，所以，又因为平面，所以平面.（2）解：由（1）中的空间直角坐标系，可得向量，设平面的法向量为，则，令，可得，所以，设平面与平面的夹角为，则，则平面与平面的夹角的余弦值为.（3）解：设（其中），可得，则点到平面的距离，即，解得，所以，设直线与平面所成角为，则，则直线与平面所成角的正弦值为.19.如图，在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，为垂足．当点在圆上运动时，记线段的中点的轨迹为曲线（当点经过圆与轴的交点时，规定点与点重合）．（1）求曲线的方程，并说明曲线的形状；（2）设曲线与轴的一个交点为，过点作两条互相垂直的直线分别交曲线于点、点（、异于点）．①直线是否过定点，若过，请证明并求出定点的坐标，若不过请说明理由；②过点作直线的垂线，垂足为．证明存在定点，使得为定值．（1）解：设点的坐标为，由轴于