打枪法奥数题目及答案

打枪法奥数题目及答案一、选择题（每题5分，共100分）1.在一个靶场中，射手A每次射击命中靶心的概率为0.7，射手B每次射击命中靶心的概率为0.8，如果两人各射击一次，至少一人命中靶心的概率是多少？A.0.56B.0.94C.0.86D.0.762.有5个不同的球放入3个不同的盒子中，每个球放入每个盒子的概率相等，则恰好有一个盒子为空的概率是：A.50/81B.20/81C.30/81D.40/813.从1到10的整数中随机选取两个不同的数，它们的和为偶数的概率是：A.2/5B.1/2C.4/9D.5/94.一个袋子里有5个红球和3个白球，不放回地连续取两次球，第二次取到红球的概率是：A.5/8B.5/14C.25/56D.15/565.掷两枚均匀的骰子，点数之和为7的概率是：A.1/6B.1/12C.1/9D.1/186.有5个人排成一排，其中甲和乙相邻的概率是：A.1/5B.2/5C.1/10D.1/157.从一副52张的扑克牌中随机抽取一张，抽到K或Q的概率是：A.2/13B.4/13C.1/13D.3/138.一个班级有30名学生，其中15名男生，15名女生。随机选出3名学生，恰好选出2名男生和1名女生的概率是：A.15/91B.45/91C.30/91D.60/919.一个袋子里有3个红球和2个蓝球，不放回地连续取两次球，两次都取到红球的概率是：A.3/10B.1/10C.3/5D.9/2510.抛掷一枚均匀的硬币5次，恰好出现3次正面的概率是：A.5/16B.10/32C.10/16D.5/3211.一个袋子里有4个红球和6个蓝球，有放回地连续取3次球，恰好取到2个红球的概率是：A.216/1000B.432/1000C.216/1000D.288/100012.从1到100的整数中随机选取一个数，能被2或3整除的概率是：A.1/2B.2/3C.83/100D.67/10013.一个袋子里有5个红球和5个蓝球，不放回地连续取两次球，第二次取到红球的概率是：A.1/2B.5/9C.4/9D.1/314.掷两枚均匀的骰子，点数之和大于8的概率是：A.5/18B.10/36C.10/18D.5/3615.有6个人排成一排，其中A和B不相邻的概率是：A.2/3B.1/2C.4/5D.2/516.从一副52张的扑克牌中随机抽取两张，抽到两张都是A的概率是：A.1/221B.1/219C.1/219D.1/265217.一个班级有40名学生，其中20名男生，20名女生。随机选出4名学生，恰好选出2名男生和2名女生的概率是：A.20/91B.40/91C.60/91D.80/9118.一个袋子里有4个红球和6个蓝球，不放回地连续取两次球，第一次取到红球且第二次取到蓝球的概率是：A.4/10×6/9B.6/10×4/9C.4/10×5/9D.6/10×5/919.抛掷一枚均匀的硬币4次，恰好出现2次正面的概率是：A.1/4B.3/8C.1/2D.1/820.一个袋子里有3个红球和7个蓝球，有放回地连续取5次球，恰好取到3个红球的概率是：A.81/100000B.243/100000C.729/100000D.2187/100000二、填空题（每题5分，共100分）1.一个袋子里有5个红球和3个白球，不放回地连续取两次球，第一次取到红球且第二次取到白球的概率是______。2.从1到20的整数中随机选取一个数，能被3整除的概率是______。3.掷两枚均匀的骰子，点数之和为5的概率是______。4.一个班级有25名学生，其中12名男生，13名女生。随机选出2名学生，恰好选出1名男生和1名女生的概率是______。5.抛掷一枚均匀的硬币6次，恰好出现3次正面的概率是______。6.一个袋子里有6个红球和4个蓝球，不放回地连续取两次球，两次都取到蓝球的概率是______。7.从1到50的整数中随机选取一个数，能被5或7整除的概率是______。8.有8个人排成一排，其中A和B相邻的概率是______。9.从一副52张的扑克牌中随机抽取3张，抽到3张都是同花色的概率是______。10.一个袋子里有4个红球和6个蓝球，有放回地连续取4次球，恰好取到2个红球的概率是______。11.一个袋子里有7个红球和3个蓝球，不放回地连续取3次球，第三次才取到红球的概率是______。12.从1到100的整数中随机选取两个不同的数，它们的和为偶数的概率是______。13.掷三枚均匀的骰子，点数之和为10的概率是______。14.一个班级有30名学生，其中15名男生，15名女生。随机选出4名学生，恰好选出2名男生和2名女生的概率是______。15.抛掷一枚均匀的硬币7次，恰好出现4次正面的概率是______。16.一个袋子里有5个红球和5个蓝球，不放回地连续取3次球，第三次才取到红球的概率是______。17.从1到60的整数中随机选取一个数，能被2或3整除的概率是______。18.有10个人排成一排，其中A和B不相邻的概率是______。19.从一副52张的扑克牌中随机抽取4张，抽到4张都是A的概率是______。20.一个袋子里有3个红球和7个蓝球，有放回地连续取6次球，恰好取到4个红球的概率是______。三、解答题（每题20分，共100分）1.一个袋子里有10个红球和5个蓝球。不放回地连续取3次球。求：(1)第一次取到红球的概率；(2)前两次都取到红球的概率；(3)三次都取到红球的概率；(4)三次中恰好取到2个红球的概率；(5)三次中至少取到1个红球的概率。2.有5个不同的球放入3个不同的盒子中，每个球放入每个盒子的概率相等。求：(1)每个盒子至少有一个球的概率；(2)恰好有一个盒子为空的概率；(3)两个特定的球放入同一个盒子的概率；(4)一个特定的球放入第一个盒子的概率；(5)所有球都放入同一个盒子的概率。3.掷两枚均匀的骰子，求：(1)点数之和为7的概率；(2)点数之和大于8的概率；(3)点数之和为偶数的概率；(4)至少一枚骰子点数为6的概率；(5)两枚骰子点数相等的概率。4.从1到100的整数中随机选取两个不同的数，求：(1)它们的和为偶数的概率；(2)它们的积为偶数的概率；(3)它们的和为3的倍数的概率；(4)它们的积为9的倍数的概率；(5)较大的数能被较小的数整除的概率。5.一个班级有30名学生，其中15名男生，15名女生。随机选出5名学生，求：(1)恰好选出3名男生和2名女生的概率；(2)至少选出1名男生的概率；(3)选出的学生中男生人数不少于女生人数的概率；(4)选出的学生中至少有一对双胞胎的概率（假设班级中有3对双胞胎）；(5)选出的学生中至少有两名同一天生日的概率（假设一年有365天）。四、证明题（每题20分，共100分）1.证明：对于任意事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。2.证明：对于独立事件A和B，有P(A∩B)=P(A)P(B)。3.证明：对于任意事件A和B，有P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)（贝叶斯定理）。4.证明：对于n次独立重复试验，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，则恰好有k次成功的概率为C(n,k)p^kq^(n-k)。5.证明：对于从n个不同元素中选取k个的组合数，有C(n,k)=C(n,n-k)。五、应用题（每题20分，共100分）1.一个射击运动员每次射击命中靶心的概率为0.8，如果要求至少命中一次靶心的概率不低于0.99，那么他至少需要射击多少次？2.某工厂生产的产品中，有10%是次品。质检员随机抽取10件产品进行检验，求：(1)恰好有2件是次品的概率；(2)至少有1件是次品的概率；(3)次品数不超过2件的概率；(4)次品数多于3件的概率；(5)次品数的期望值和方差。3.一个游戏规则如下：玩家抛掷一枚均匀的硬币，如果出现正面，则赢得10元；如果出现反面，则输掉5元。求：(1)玩家玩一次游戏的期望收益；(2)玩家玩两次游戏的期望收益；(3)玩家玩n次游戏的期望收益；(4)玩家玩n次游戏，收益不低于0元的概率；(5)当n趋近于无穷大时，玩家的收益情况如何？4.某医院有5名医生和10名护士，需要选出3名医生和5名护士组成医疗队。求：(1)医疗队的组成方式有多少种；(2)特定的2名医生和特定的3名护士都被选中的概率；(3)特定的1名医生不被选中的概率；(4)特定的2名护士都被选中的概率；(5)特定的1名医生和特定的1名护士都被选中的概率。5.一个袋子里有10个红球和10个蓝球。不放回地连续取球，直到取到红球为止。求：(1)第一次就取到红球的概率；(2)第二次才取到红球的概率；(3)第三次才取到红球的概率；(4)第四次才取到红球的概率；(5)第k次才取到红球的概率。答案及解析1.B。解析：至少一人命中靶心的概率等于1减去两人都未命中靶心的概率。射手A未命中靶心的概率为1-0.7=0.3，射手B未命中靶心的概率为1-0.8=0.2。两人都未命中靶心的概率为0.3×0.2=0.06。因此，至少一人命中靶心的概率为1-0.06=0.94。选项A计算的是两人都命中靶心的概率0.7×0.8=0.56。选项C计算的是一人命中靶心但未指定是哪一人，可能是A命中B未命中或B命中A未命中，即0.7×0.2+0.3×0.8=0.14+0.24=0.38，然后加上两人都命中的概率0.56，得到0.94，但计算过程有误。选项D是A命中B未命中的概率0.7×0.2=0.14。2.A。解析：每个球有3个盒子可选，5个球的总放法为3^5=243种。恰好有一个盒子为空的情况意味着所有球都放入剩下的两个盒子中，且这两个盒子都不为空。有3种选择哪个盒子为空。然后5个球放入剩下的2个盒子，每个盒子至少有一个球，有2^5-2=30种方法（减去所有球都放入第一个盒子和所有球都放入第二个盒子的情况）。因此，总的有利情况数为3×30=90种。概率为90/243=30/81=10/27。选项B错误地计算了所有球都放入一个盒子的概率。选项C错误地计算了所有球放入特定两个盒子的概率。选项D错误地计算了特定盒子为空的情况。3.B。解析：从1到10的整数中随机选取两个不同的数，总的选取方式为C(10,2)=45种。两个数的和为偶数有两种情况：两个数都是偶数或两个数都是奇数。1到10中有5个偶数和5个奇数。选取两个偶数的方式有C(5,2)=10种，选取两个奇数的方式有C(5,2)=10种。因此，有利情况数为10+10=20种。概率为20/45=4/9。选项A错误地计算了概率为2/5。选项C错误地计算了概率为4/9，但计算过程有误。选项D错误地计算了概率为5/9。4.A。解析：第二次取到红球的概率可以通过全概率公式计算。考虑第一次取球的结果：如果第一次取到红球（概率为5/8），那么袋子里剩下4个红球和3个白球，第二次取到红球的概率为4/7；如果第一次取到白球（概率为3/8），那么袋子里剩下5个红球和2个白球，第二次取到红球的概率为5/7。因此，第二次取到红球的概率为(5/8)×(4/7)+(3/8)×(5/7)=20/56+15/56=35/56=5/8。选项B错误地计算了概率为5/14。选项C错误地计算了概率为25/56。选项D错误地计算了概率为15/56。5.A。解析：掷两枚均匀的骰子，总的可能结果为6×6=36种。点数之和为7的情况有：(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6种。因此，概率为6/36=1/6。选项B错误地计算了概率为1/12。选项C错误地计算了概率为1/9。选项D错误地计算了概率为1/18。6.B。解析：5个人排成一排的总排列数为5!=120种。甲和乙相邻的情况可以看作将甲和乙看作一个整体，这个整体与另外3个人一起排列，有4!种排列方式，而甲和乙在这个整体中有2种排列方式（甲在前或乙在前）。因此，有利情况数为4!×2=24×2=48种。概率为48/120=2/5。选项A错误地计算了概率为1/5。选项C错误地计算了概率为1/10。选项D错误地计算了概率为1/15。7.A。解析：一副52张的扑克牌中有4张K和4张Q。抽到K或Q的概率为(4+4)/52=8/52=2/13。选项B错误地计算了概率为4/13。选项C错误地计算了概率为1/13。选项D错误地计算了概率为3/13。8.B。解析：从30名学生中随机选出3名，总的选取方式为C(30,3)=4060种。恰好选出2名男生和1名女生的选取方式为C(15,2)×C(15,1)=105×15=1575种。因此，概率为1575/4060=45/91。选项A错误地计算了概率为15/91。选项C错误地计算了概率为30/91。选项D错误地计算了概率为60/91。9.A。解析：袋子里有3个红球和2个蓝球，不放回地连续取两次球，两次都取到红球的概率为(3/5)×(2/4)=6/20=3/10。选项B错误地计算了概率为1/10。选项C错误地计算了概率为3/5。选项D错误地计算了概率为9/25，这是有放回地取两次球的概率。10.B。解析：抛掷一枚均匀的硬币5次，总的可能结果为2^5=32种。恰好出现3次正面的情况数为C(5,3)=10种。因此，概率为10/32=5/16。选项A错误地计算了概率为5/16，但计算过程有误。选项C错误地计算了概率为10/16。选项D错误地计算了概率为5/32。11.D。解析：袋子里有4个红球和6个蓝球，有放回地连续取3次球，恰好取到2个红球的概率为C(3,2)×(4/10)^2×(6/10)=3×(16/100)×(6/10)=3×96/1000=288/1000。选项A错误地计算了概率为216/1000。选项B和C都错误地计算了概率为216/1000。12.D。解析：从1到100的整数中随机选取一个数，能被2整除的数有50个，能被3整除的数有33个，能被6整除的数有16个。能被2或3整除的数有50+33-16=67个。因此，概率为67/100。选项A错误地计算了概率为1/2。选项B错误地计算了概率为2/3。选项C错误地计算了概率为83/100。13.B。解析：袋子里有5个红球和5个蓝球，不放回地连续取两次球，第二次取到红球的概率可以通过全概率公式计算。考虑第一次取球的结果：如果第一次取到红球（概率为5/10），那么袋子里剩下4个红球和5个蓝球，第二次取到红球的概率为4/9；如果第一次取到蓝球（概率为5/10），那么袋子里剩下5个红球和4个蓝球，第二次取到红球的概率为5/9。因此，第二次取到红球的概率为(5/10)×(4/9)+(5/10)×(5/9)=20/90+25/90=45/90=1/2。选项A错误地计算了概率为1/2，但计算过程有误。选项C错误地计算了概率为4/9。选项D错误地计算了概率为1/3。14.A。解析：掷两枚均匀的骰子，总的可能结果为6×6=36种。点数之和大于8的情况有：和为9、10、11、12。和为9的情况有：(3,6)、(4,5)、(5,4)、(6,3)，共4种；和为10的情况有：(4,6)、(5,5)、(6,4)，共3种；和为11的情况有：(5,6)、(6,5)，共2种；和为12的情况有：(6,6)，共1种。因此，有利情况数为4+3+2+1=10种。概率为10/36=5/18。选项B错误地计算了概率为10/36。选项C错误地计算了概率为10/18。选项D错误地计算了概率为5/36。15.A。解析：6个人排成一排的总排列数为6!=720种。A和B不相邻的情况可以用总排列数减去A和B相邻的排列数。A和B相邻的排列数为将A和B看作一个整体，这个整体与另外4个人一起排列，有5!种排列方式，而A和B在这个整体中有2种排列方式（A在前或B在前）。因此，A和B相邻的排列数为5!×2=120×2=240种。A和B不相邻的排列数为720-240=480种。概率为480/720=2/3。选项B错误地计算了概率为1/2。选项C错误地计算了概率为4/5。选项D错误地计算了概率为2/5。16.A。解析：从一副52张的扑克牌中随机抽取两张，总的抽取方式为C(52,2)=1326种。抽到两张都是A的抽取方式为C(4,2)=6种。因此，概率为6/1326=1/221。选项B和C都错误地计算了概率为1/219。选项D错误地计算了概率为1/2652。17.B。解析：从40名学生中随机选出4名学生，总的选取方式为C(40,4)=91390种。恰好选出2名男生和2名女生的选取方式为C(20,2)×C(20,2)=190×190=36100种。因此，概率为36100/91390=40/91。选项A错误地计算了概率为20/91。选项C错误地计算了概率为60/91。选项D错误地计算了概率为80/91。18.A。解析：袋子里有4个红球和6个蓝球，不放回地连续取两次球，第一次取到红球且第二次取到蓝球的概率为(4/10)×(6/9)=24/90=4/15。选项B错误地计算了概率为6/10×4/9=24/90=4/15，但这是第一次取到蓝球且第二次取到红球的概率。选项C错误地计算了概率为4/10×5/9=20/90=2/9。选项D错误地计算了概率为6/10×5/9=30/90=1/3。19.B。解析：抛掷一枚均匀的硬币4次，总的可能结果为2^4=16种。恰好出现2次正面的情况数为C(4,2)=6种。因此，概率为6/16=3/8。选项A错误地计算了概率为1/4。选项C错误地计算了概率为1/2。选项D错误地计算了概率为1/8。20.C。解析：袋子里有3个红球和7个蓝球，有放回地连续取5次球，恰好取到3个红球的概率为C(5,3)×(3/10)^3×(7/10)^2=10×(27/1000)×(49/100)=10×1323/100000=13230/100000=1323/10000=729/100000。选项A错误地计算了概率为81/100000。选项B错误地计算了概率为243/100000。选项D错误地计算了概率为2187/100000。1.15/28。解析：第一次取到红球的概率为5/8。第二次取到白球的概率取决于第一次取球的结果。如果第一次取到红球（概率为5/8），那么袋子里剩下4个红球和3个白球，第二次取到白球的概率为3/7；如果第一次取到白球（概率为3/8），那么袋子里剩下5个红球和2个白球，第二次取到白球的概率为2/7。因此，第一次取到红球且第二次取到白球的概率为(5/8)×(3/7)=15/56。2.1/4。解析：从1到20的整数中，能被3整除的数有3,6,9,12,15,18，共6个。因此，概率为6/20=3/10。3.1/9。解析：掷两枚均匀的骰子，总的可能结果为6×6=36种。点数之和为5的情况有：(1,4)、(2,3)、(3,2)、(4,1)，共4种。因此，概率为4/36=1/9。4.156/300。解析：从25名学生中随机选出2名学生，总的选取方式为C(25,2)=300种。恰好选出1名男生和1名女生的选取方式为C(12,1)×C(13,1)=12×13=156种。因此，概率为156/300=13/25。5.20/64。解析：抛掷一枚均匀的硬币6次，总的可能结果为2^6=64种。恰好出现3次正面的情况数为C(6,3)=20种。因此，概率为20/64=5/16。6.2/15。解析：袋子里有6个红球和4个蓝球，不放回地连续取两次球，两次都取到蓝球的概率为(4/10)×(3/9)=12/90=2/15。7.11/50。解析：从1到50的整数中，能被5整除的数有5,10,15,20,25,30,35,40,45,50，共10个；能被7整除的数有7,14,21,28,35,42,49，共7个；能被35整除的数有35，共1个。能被5或7整除的数有10+7-1=16个。因此，概率为16/50=8/25。8.1/7。解析：8个人排成一排的总排列数为8!=40320种。A和B相邻的情况可以看作将A和B看作一个整体，这个整体与另外6个人一起排列，有7!种排列方式，而A和B在这个整体中有2种排列方式（A在前或B在前）。因此，有利情况数为7!×2=5040×2=10080种。概率为10080/40320=1/4。9.44/221。解析：从一副52张的扑克牌中随机抽取3张，总的抽取方式为C(52,3)=22100种。抽到3张都是同花色的抽取方式为C(13,3)×4=286×4=1144种（因为有4种花色）。因此，概率为1144/22100=44/821。10.216/1000。解析：袋子里有4个红球和6个蓝球，有放回地连续取4次球，恰好取到2个红球的概率为C(4,2)×(4/10)^2×(6/10)^2=6×(16/100)×(36/100)=6×576/10000=3456/100000=216/6250=108/3125=216/1000。11.6/120。解析：袋子里有7个红球和3个蓝球，不放回地连续取3次球，第三次才取到红球意味着前两次都取到蓝球，第三次取到红球。前两次都取到蓝球的概率为(3/10)×(2/9)=6/90=1/15。第三次取到红球的概率为7/8。因此，第三次才取到红球的概率为(1/15)×(7/8)=7/120。12.49/99。解析：从1到100的整数中随机选取两个不同的数，总的选取方式为C(100,2)=4950种。两个数的和为偶数有两种情况：两个数都是偶数或两个数都是奇数。1到100中有50个偶数和50个奇数。选取两个偶数的方式有C(50,2)=1225种，选取两个奇数的方式有C(50,2)=1225种。因此，有利情况数为1225+1225=2450种。概率为2450/4950=49/99。13.27/216。解析：掷三枚均匀的骰子，总的可能结果为6×6×6=216种。点数之和为10的情况有：(1,3,6)、(1,4,5)、(2,2,6)、(2,3,5)、(2,4,4)、(3,3,4)及其排列。具体来说，(1,3,6)有6种排列，(1,4,5)有6种排列，(2,2,6)有3种排列，(2,3,5)有6种排列，(2,4,4)有3种排列，(3,3,4)有3种排列。因此，有利情况数为6+6+3+6+3+3=27种。概率为27/216=1/8。14.2021/5460。解析：从30名学生中随机选出4名学生，总的选取方式为C(30,4)=27405种。恰好选出2名男生和2名女生的选取方式为C(15,2)×C(15,2)=105×105=11025种。因此，概率为11025/27405=2021/4981=2021/5460。15.35/128。解析：抛掷一枚均匀的硬币7次，总的可能结果为2^7=128种。恰好出现4次正面的情况数为C(7,4)=35种。因此，概率为35/128。16.1/12。解析：袋子里有5个红球和5个蓝球，不放回地连续取3次球，第三次才取到红球意味着前两次都取到蓝球，第三次取到红球。前两次都取到蓝球的概率为(5/10)×(4/9)=20/90=2/9。第三次取到红球的概率为5/8。因此，第三次才取到红球的概率为(2/9)×(5/8)=10/72=5/36。17.2/3。解析：从1到60的整数中，能被2整除的数有30个，能被3整除的数有20个，能被6整除的数有10个。能被2或3整除的数有30+20-10=40个。因此，概率为40/60=2/3。18.4/5。解析：10个人排成一排的总排列数为10!=3628800种。A和B不相邻的情况可以用总排列数减去A和B相邻的排列数。A和B相邻的排列数为将A和B看作一个整体，这个整体与另外8个人一起排列，有9!种排列方式，而A和B在这个整体中有2种排列方式（A在前或B在前）。因此，A和B相邻的排列数为9!×2=362880×2=725760种。A和B不相邻的排列数为3628800-725760=2903040种。概率为2903040/3628800=4/5。19.1/270725。解析：从一副52张的扑克牌中随机抽取4张，总的抽取方式为C(52,4)=270725种。抽到4张都是A的抽取方式为C(4,4)=1种。因此，概率为1/270725。20.1890/1000000。解析：袋子里有3个红球和7个蓝球，有放回地连续取6次球，恰好取到4个红球的概率为C(6,4)×(3/10)^4×(7/10)^2=15×(81/10000)×(49/100)=15×3969/1000000=59535/1000000=1890/312500=378/62500=189/31250=1890/1000000。1.(1)第一次取到红球的概率为10/15=2/3。(2)前两次都取到红球的概率为(10/15)×(9/14)=90/210=3/7。(3)三次都取到红球的概率为(10/15)×(9/14)×(8/13)=720/2730=24/91。(4)三次中恰好取到2个红球的概率为C(3,2)×(10/15)×(9/14)×(5/13)=3×(10/15)×(9/14)×(5/13)=3×450/2730=1350/2730=45/91。(5)三次中至少取到1个红球的概率为1减去三次都取到蓝球的概率。三次都取到蓝球的概率为(5/15)×(4/14)×(3/13)=60/2730=2/91。因此，至少取到1个红球的概率为1-2/91=89/91。2.(1)每个盒子至少有一个球的概率为[3^5-3×2^5+3×1^5]/3^5=[243-96+3]/243=150/243=50/81。(2)恰好有一个盒子为空的概率为[3×(2^5-2)]/3^5=[3×(32-2)]/243=3×30/243=90/243=30/81。(3)两个特定的球放入同一个盒子的概率为3/3^2=3/9=1/3。(4)一个特定的球放入第一个盒子的概率为1/3。(5)所有球都放入同一个盒子的概率为3/3^5=3/243=1/81。3.(1)点数之和为7的概率为6/36=1/6。(2)点数之和大于8的概率为10/36=5/18。(3)点数之和为偶数的概率为18/36=1/2。(4)至少一枚骰子点数为6的概率为11/36。(5)两枚骰子点数相等的概率为6/36=1/6。4.(1)从1到100的整数中随机选取两个不同的数，它们的和为偶数的概率为49/99。(2)它们的积为偶数的概率为1减去两个数都是奇数的概率。两个数都是奇数的概率为C(50,2)/C(100,2)=1225/4950=49/198。因此，积为偶数的概率为1-49/198=149/198。(3)它们的和为3的倍数的概率为33/99=1/3。(4)它们的积为9的倍数的概率为1减去两个数都不能被3整除的概率。两个数都不能被3整除的概率为C(67,2)/C(100,2)=2211/4950=737/1650。因此，积为9的倍数的概率为1-737/1650=913/1650。(5)较大的数能被较小的数整除的概率为1/2。5.(1)恰好选出3名男生和2名女生的概率为C(15,3)×C(15,2)/C(30,5)=455×105/142506=47775/142506=15925/47502。(2)至少选出1名男生的概率为1减去全部选出女生的概率。全部选出女生的概率为C(15,5)/C(30,5)=3003/142506=1001/47502。因此，至少选出1名男生的概率为1-1001/47502=46501/47502。(3)选出的学生中男生人数不少于女生人数的概率为[C(15,5)+C(15,4)×C(15,1)+C(15,3)×C(15,2)]/C(30,5)=[3003+1365×15+455×105]/142506=[3003+20475+47775]/142506=71253/142506。(4)选出的学生中至少有一对双胞胎的概率为1减去没有选出任何一对双胞胎的概率。没有选出任何一对双胞胎的概率为C(24,5)/C(30,5)=42504/142506=14168/47502。因此，至少有一对双胞胎的概率为1-14168/47502=33334/47502=16667/23751。(5)选出的学生中至少有两名同一天生日的概率为1减去所有学生生日都不同的概率。所有学生生日都不同的概率为365×364×363×362×361/365^5。因此，至少有两名同一天生日的概率为1-365×364×363×362×361/365^5。1.证明：对于任意事件A和B，有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。证明：我们可以通过文氏图来理解这个公式。事件A∪B表示A或B发生，事件A∩B表示A和B同时发生。当我们计算P(A)+P(B)时，A∩B的部分被计算了两次，因此需要减去一次P(A∩B)。因此，P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。2.证明：对于独立事件A和B，有P(A∩B)=P(A)P(B)。证明：根据独立事件的定义，事件A的发生不影响事件B的发生，即P(B|A)=P(B)。而条件概率的定义为P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。因此，P(A∩B)/P(A)=P(B)，即P(A∩B)=P(A)P(B)。3.证明：对于任意事件A和B，有P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)（贝叶斯定理）。证明：根据条件概率的定义，P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，P(B|A)=P(A∩B)/P(A)。因此，P(A∩B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(A)。所以，P(A|B)=P(B|A)P(A)/P(B)。4.证明：对于n次独立重复试验，每次试验成功的概率为p，失败的概率为q=1-p，则恰好有k次成功的概率为C(n,k)p^kq^(n-k)。证明：n次试验中恰好有k次成功意味着有k次成功和n-k次失败。每次成功的概率为p，每次失败的概率为q=1-p。由于试验是独立的，特定顺序的k次成功和n-k次失败的概率为p^kq^(n-k)。而有C(n,k)种不同的顺序可以得到k次成功和n-k次失败。因此，恰好有k次成功的概率为C(n,k)p^kq^(n-k)。5.证明：对于从n个不同元素中选取k个的组合数，有C(n,k)=C(n,n-k)。证明：从n个不同元素中选取k个的组合数等于从n个不同元素中选取n-k个的组合数，因为选取k个元素相当于留下n-k个元素。因此，C(n,k)=C(n,n-k)。1.解：设运动员需要射击n次，至少命中一次靶心的概率为1-(1-0.8)^n=1-0.2^n。要求