2026年高考数学复习系列（全国）重难点03 函数性质的灵活运用9大题型（试题版）

重难点03函数性质的灵活运用9大题型

【全国通用】

1、函数性质的灵活运用

函数及其性质是高考数学的重要内容.从近几年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、对称性与周

期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相结合进

行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解．对于选择题和填空题部分，重点考查基

本初等函数的单调性、奇偶性、周期性等，主要考察方向是：判断函数单调性及求最值、解不等式、求参

数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，考查难度较大，需要灵活求解，二轮复习时

需要加强这方面的训练.

知识点1函数的单调性与最值问题的解题策略

1．求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2．函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.

(3)函数单调性的几条常用结论：

①若f(x)是增函数，则f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则f(x)为增函数；

②若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)g(x)为增（或减）函数；

1

③若f(x)0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，为减函数；

f(x)

1

④若f(x)0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，为增函数．

f(x)

3．求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

4．复杂函数求最值：

对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

知识点2函数的奇偶性及其应用

1．函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式

(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.

(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，

如f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x),f(x)g(x)．

对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶；奇()奇=偶；奇()偶=奇；偶()

偶=偶．

(4)复合函数yf[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．

(5)常见奇偶性函数模型

ax1ax1

奇函数：①函数f(x)m()(x0)或函数f(x)m()．

ax1ax1

②函数f(x)(axax)．

xm2mxm2m

③函数f(x)loglog(1)或函数f(x)loglog(1)

axmaxmaxmaxm

④函数2或函数2．

f(x)loga(x1x)f(x)loga(x1x)

2．函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数

或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

知识点3函数的周期性与对称性的常用结论

1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)

(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；

(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；

(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；

(4)若f(x+a)=，则T=2a；

(5)若f(x+a)=，则T=2a；

(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);

2．对称性的三个常用结论

(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.

(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.

(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.

3．函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数yf(x)有两条对称轴xa，xb(ab)，则函数f(x)是周期函数，且T2(ba)；

(2)若函数yf(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(ab)，则函数yf(x)是周期函数，且T2(ba)；

(3)若函数yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)(ab)，则函数yf(x)是周期函数，且

T4(ba).

知识点4抽象函数及其解题策略

1．抽象函数及其求解方法

我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函

数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，

是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.

【题型1函数的单调性及其应用】

【例1】（2025·广东清远·一模）设函数，则函数为（）

2

��=�−���

A．奇函数，且在单调递增

0,+∞

B．奇函数，且在单调递减

C．偶函数，且在0,+∞单调递增

D．偶函数，且在0,+∞单调递减

0,+∞，

【变式1-1】（2025·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（）

，

��+1�<1

��=��

A．B．lCn．�+2��≥1D．

【变式1-21】,+（∞25-26高一上·1四,+川∞眉山·月考）已知函2数,+∞的定义域为，2且,+它∞的图象关于对称，当

时，恒成立，设�，�，R，则，，的大�小=−关2系为（）

��1−��2

�1<�2<−2�1−�2>0�=�−3�=�0�=�2���

A．B．

C．�<�<�D．�<�<�

【变式1-�3】<（�<202�5·黑龙江大庆·一模）已知函数�<的�定<义�域为，且在

上单调递减，则不等式的解集是�(（�)）�,�(1+�)=�(3−�)�(�)[2,+∞)

A．B�(．2�−3)>�(3)C．D．

(−∞,3)(−∞,2)(3,+∞)(2,3)

【题型2函数的最值问题】

【例2】（2025·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（）

�−�

A．B．C�．�0+1=2−2D．�1�−1,1

315

24

【变式2-1】（2025·湖南·模拟预测）已知函数，则“，”是“在上的最

小值为2”的（）��∀�∈0,+∞��≥2��0,+∞

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

【变式2-2】（2025·广东·模拟预测）已知是上的奇函数，，若在上

单调递增，且，则在上的�最�小值是R（）��−1−�3−�=0��0,1

A．�1=2B．��RC．D．

−4−3−2−1

【变式2-3】（2025·新疆·三模）已知函数，若在区间上有最大值，则实数m的

�−1�2

取值范围是（）��=ln�+1−4���,�

A．B．C．D．

2,32,22,33,3

【题型3函数的奇偶性的综合应用】

【例3】（2025·陕西汉中·一模）若函数为奇函数，则实数（）

4

�

��=�+3−1�=

A．B．1C．2D．4

【变式3-−1】1（2025·安徽·二模）已知函数，下列函数中为偶函数的是（）

2

A．B．��C=．ln�−2�+2D．

【变式3-�2】�（+20125·广西南宁�·模�拟−预1测）已知是�定�义+1在R上的奇函数，�当�−1时，则

2

的值为（）���<0��=�+��2

A．2B．C．6D．

【变式3-3】（2025·福建漳州−2·模拟预测）定义在上的奇函数满足：−6，且，

1212

，若，则不等式的�解集为（）��∀�,�∈0,+∞�≠�

��1−��2

�1−�2>1�2=2��>�

A．B．C．D．

0,22,+∞−∞,−2∪0,2−2,0∪2,+∞

【题型4函数的图象问题】

【例4】（2025·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（）

A．B．

22

C．��=ln�+1+�D．��=ln�+1−�

22

【变式4-�1】（�2=02l5n·四�川+成1都+·�一模）已知定义在上的�奇�函=数ln�在+1−�上的图象如图所示，则不等式

的解集为（）��(�)[0,+∞)(�−

3)�(�)>0

A．B．

C．(−3,0)∪(3,3)D．(−3,0)∪(0,3)

【变式4-(2】−（∞,2−0235)·四∪川(0成,3)都·模拟预测）如图是下(列−四∞个,−函3数)∪中(的3某,3个)函数在区间上的大致图象，则

−8,8

该函数可能是（）

．．

A4B4

�sin��sin�−�

�−��−�

��=e+e��=e+e

．．

C4D4

�cos��cos�−�

�−��−�

e+ee+e

【变式4-�3】�（=2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数��的=部分图象如图所示，则的解析式可能为（）

����

A．B．

��

2

��=�−1��=1−�

．．

C2D2

��

��=−�+1��=1−�

【题型5对称性与周期性的综合应用】

【例5】（2025·湖南·一模）已知均为定义在上的函

数，��,��，若�的图象关于直线对称，且，

则��−1+的�值�是=（�,��）+1=�1−�+��2�+1�=−1�0=1

30

�=1

A．463��B．464C．465D．466

【变式5-1】（2025·吉林·模拟预测）已知定义域为R的奇函数满足，则（）

A．B．�(�)�(�)+�(2−�)=2

C．�(2)的=最0小正周期为2D．�(10)是=曲10线的一条对称轴

【变式5-�2(】�)（2025·湖南郴州·一模）函数对�=1�=�(�)，且为奇函数，则下列

说法正确的是（）��∀�∈�,��+2=�4−���+6

A．若时，则

�

B．�∈的周0,期3为�6�=2�8=4

��

C．的图象关于中心对称

D．��−6,0

【变式5-�3】（20220525·+河�北3邢台≠·0三模）已知定义在上的函数满足为偶函数，，

则下列说法错误的是（）R�(�)�(�+2)�(4+�)=−�(4−�)

A．的图象关于中心对称

B．�(�)的周期为8(4,0)

C．�(�)

D．�当(2025)=时�(，1)，则的值为

2

�∈[0,2]�(�)=�−2��(7)−1

【题型6类周期函数】

【例6】（2024·云南昆明·二模）定义“函数是上的级类周期函数”如下:函数，对

于给定的非零常数，总存在非零常数，�使=得�定�义域�内的�任意实数都有�=�恒�成,立�∈，D此时

为的周期.若�是上�的级类周期函�数，且，当���时�，=��+�,且�

是��上的单调�=递�增�函数，1,则+实∞数的�取值范围为（）�=1�∈1,2��=2�+1�=��

1A,+．∞B．�C．D．

55

6,+∞2,+∞3,+∞10,+∞

【变式6-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）定义在上的函数满足，且当时，

1

�����+1=2���∈0,1��=

.当时，，则的最小值为（）

3

1−2�−1�∈�,+∞��≤32�

A．B．C．D．

27291315

8844

【变式6-2】（24-25高一上·江西吉安·期末）设函数的定义域为R，且，当时，

����+4=2���∈0,4

，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（）

23

��=2�−8�∀�∈−∞,���≥−2

A．B．C．D．

【变式6-3−】∞（,−20725·江西新余−·∞一,模−）5若函数−，∞,−3对于给定的非−零∞实,−数1，总存在非零常数，使

得定义域内的任意实数，都有�=�(�恒)成�立∈，�此时为的假周期�，函数是�上的

级假周期函�数，若函数�是�定�(义�)在=区�(间�+，�)内的3级�假周�(期�)函数且，当�=�(�)，��

，�函=数�(�)0+∞，若，�=2，�∈使[0,2)�(�)=

12

12

2−2�,0≤�≤1122

成立，则实数的取�(值�)范=围−是2l（n�+）2�+�+�∃�∈6,8∃�∈(0+∞)�(�)−

�(2−�),1<�<2

1

�(�A)．≤0B�．C．D．

13

(−∞,2]−∞,12−∞,3912,+∞

【题型7抽象函数的性质及其应用】

【例7】（2025·辽宁抚顺·一模）已知定义域为的函数满足，

，且当时，恒成立�，�≠则0下列结论正��确的是�（�+）���+��=����

�1A=．2�∈0,+∞��>0B．

2

�3=6�2�=2��

C．为奇函数D．在区间是单调递增函数

����0,+∞

【变式7-1】（2025·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若

221

，则（）����+��+2=4����+2>0

�2A<．01�2025=B．C．D．

【变式7-2】（2025·云南昆明2·三模）函数−在2上的图象是一条连−续1不断的曲线，且与轴有且仅有

一个交点，对任意，，�=��R，，则下列说法正确的是（�）

22

��∈R��+��=��+��1=1

A．B．为奇函数

C．�2在=2单调递减D．�若�，则

【变式7-�3】�（2002,5+·全∞国·模拟预测）若定义在上的函�数�≤4满足�∈−2,2，且

，则下列结论错误的是（）�����=���2+�+�2−�=

6,�A3．=6B．的图象关于直线对称

C．�8+�=��D．��是奇�函=数4

�201=3�=��+2−3

【题型8函数性质的综合应用】

【例8】（2025·陕西·模拟预测）已知函数的定义域是，的图象关于点中心对称，若，

且对任意，，都�有��，�则�不−等1式的1解,0集为（）�3=0

��2−��1�3�−1

�1,�2∈ −∞,0�1≠�2�2−�1<0�≥0

A．B．

214214

−3,0∪3,3−3,0∪3,3

C．D．

214214

−3,0∪3,3−3,0∪3,3

【变式8-1】（2025·安徽合肥·模拟预测）定义域为R的函数，其图象关于直线对称，已知

为奇函数，且，则（）�(�)�=1�(�+2)−1

2025

A．2023�(1)=0B．20�2=41�(�)=C．2025D．2026

【变式8-2】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数的定义域为，且满足为偶

函数，当时，，若��，则�（）��=−�2−�,��+2

225

�∈1,2��=��+��0+�3=6�3=

A．B．C．D．

3211417

93−3−9

【变式8-3】（2025·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有

；②的图象关R于直线��对称：③�∈R．则下列说法正确的

32

是�2（+�）=�1−�−��2��=1�2=1,�2=2

A．是奇函数B．是偶函数

��+2��+1

C．D．

2025

12�

�−2=−2�=1�2=0

【题型9函数新定义问题】

【例9】（2025·甘肃甘南·模拟预测）已知函数的定义域为，若，都有，

∗

则称函数为“距”增函数．若函数�(�)，且�∀是�∈�上�(的�+“3�距)>”增�(函�)数,�，∈则�实

2

�+�|�|

数的取值�范(�)围为�（）�(�)=2(�∈�)�(�)(−1,+∞)

�A．B．C．D．

【变式9-(1】−（1,2+02∞5)·甘肃定西(−·模3,拟+预∞测)）若定义在(−上∞的,函−4数)满足对任(−意∞,−2)均有

，则称为“函�数”.已知��为“函数�,”�，∈且���，+�=，

�则��2−�+�（2−�）�����−2���−2�2=1�−1<0

�0+�47=

A．B．0C．D．1

22

【变式9-−2】2（2025·上海闵行·一模）如果“若，则2”和“若，则”中有且仅有一个真命题，称与具有“

－关系”．已知函数的定义域为，��为偶�函数，�则与下列选项中的具有“�－关�系”的�为

（）�=�(�)��:�=�(�)���

A．：对任意都有B．：对任意都有

C．�：对任意�∈�都有−�(�)≥�(�)D．�：对任意�∈�都有�(−�)≥�(�)

【变式9-�3】（2025�·上∈海�浦东�新(·−模�拟)=预测|�(）�)设|函数�的定义�域∈为�，若�(存−在�)实=数�(|�|)，使得对于任

意，都有，则称为＂�严�格增函数＂，�对于＂严格�增函�数>＂0)，有以下四个结

论：�∈���<��+����−�−

＂－严格增函数＂一定在上严格增；

①＂�－严格增函数＂��一定是＂�－严格增函数＂（其中，且）

∗

②函数�是＂��严格增函数�＂�（其中表示不大于�的∈最N大整数�）≥2

③函数��=�不�是−＂严格增函数＂（�其中表示不�大于的最大整数）

④��=�−��−��

其中，正确的结论个数有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

一、单选题

1．（2026·湖南株洲·一模）已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，

则（）�(�)�(�)��(�)+�(�)=�(�+1)

�A(1．)0−�(1)=B．2C．D．1

．（河北邢台一模）函数图象的−对2称中心的坐标为（）

22026··2

�

A．B．��=�+1C．D．

3．（20261·,山−东2·一模）已知奇1函,2数在上−是1,增2函数，且−，1,−2，则函数在

上的最大值是（）��−2,−1�−2=6�−1=7��1,2

A．6B．C．7D．

4．（2026·福建漳州·模拟预测−）6若函数是定义在上−的7奇函数，则不等式

22

的解集是（）��=ln�+�+�R��+��−

2�A<．0B．C．D．

5．（2026−·2黑,1龙江大庆·二模）0已,1知函数是定义在−1上,2的奇函数，−是∞偶,−函1数∪，当2,+∞时，

，则��（）���+1�∈0,1��=

2

�+A�．4�2024+�B2．025+�2026=C．0D．

6．（2026·河北沧州·一模）若定义在上的函数在上单调递增−2，的图象关于直线

对称，，则不等式R�的�解集0为,+（∞）��−1�=1

A．�−3=0�−1��−2≥B．0

C．−2, 1∪5, +∞D．−1, 1∪5, +∞

7．（2025−·1山, 1东∪日照3, ·5一模）定义在上的函数0, 1满∪足2以, 5下条件：①；②对任意

12

，当时都有R，则�=��的大小�关−系�是−（��）=0�,�∈

��1−��2

0,+∞�1≠�2�1−�2>0�−5,�π,�−3

A．B．

C．�π>�−3>�−5D．�π>�−5>�−3

8．（20�25π·陕<西�西−安3·模<拟�预−测5）已知函数，对�任π意<的�−5，<恒�有−3，

且，则下列说法正确的是（）���,�∈���+�+��−�=2��⋅��

1

�1=2

A．B．为奇函数C．D．

二、多选�题0=0����≥−1�2025=1

9．（2026·陕西西安·一模）已知函数是定义域为的奇函数，，若，

，，则（）�����=�−2���4−�=��

�1A．=2�2=0B．

C．�3是=周2期为的周期函数D．�5=−6

2025

10．（20�25�·海南省直辖4县级单位·模拟预测）函数�是=1定�义�在=2上的奇函数，满足

，在区间上单调递减，且，�则�（）���+1+��−1=��

33

��0,2�−2=3

A．

�6=0

B．

3

�2025+�2=6

C．关于直线对称

���=3

D．在上单调递增

3

��2,3

11．（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数满足：①定义域为，②

，③当时，，则（�）�−∞,0∪0,+∞��+��−

���A．=2�>1��>2B．

C．�1+�−1=0D．�若1−�−1=，0则的取值范围为

三、填空�题2025>�2024��+2<2�−3<�<−1

12．（2025·上海崇明·一模）已知是定义在上的奇函数，且当时，，则

2�

．�=��R�>0��=�−3

1�3−．1（=2025·河南·模拟预测）已知函数的定义域为，若，，则

.�����+2=−���3=−3

1�42．0（22502=5·青海·模拟预测）已知是定义在上的偶函数，对任意的，，当

12