2026年高考数学复习系列(全国)第六章 数列(综合训练)(解析版)_第1页
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文档简介

第六章数列(举一反三综合训练)

(全国通用)

(考试时间:120分钟;满分:150分)

注意事项:

1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写

在答题卡上。

2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用

橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题共58分)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要

求的。

1.(5分)(2026·贵州六盘水·模拟预测)已知等差数列前三项的和为,则的公差为()

A.3B.2C.2��D.3−3, �4=5��

【答案】−D−

【解题思路】根据给定条件,利用等差数列性质求解.

【解答过程】由等差数列前三项的和为,得,解得,

�12322

又,所以的公差�.−3�+�+�=3�=−3�=−1

�4−�2

�4=5���=4−2=3

故选:D.

2.(5分)(2026·陕西榆林·二模)已知数列满足,则()

1

���1=2,��+1=1−���2026=

A.-1B.C.2D.3

1

2

【答案】C

【解题思路】利用递推公式先判断周期,利用周期数列即可求解.

【解答过程】解法1:由数列满足,

1

���1=2,��+1=1−��

可取,则;

11

�=1�2=1−�1=2

取,则;

1

�=2�3=1−�2=−1

取,则,

1

�=3�4=1−�3=2,�1=�4,⋯⋯

猜想数列是周期为3的周期数列,.

�20263×675+11

解法2:由�得,∴�=�=,�逐=项2代换可得,

111

��+1=1−����+2=1−��+1,��+3=1−��+2��+3=��

数列是周期为3的周期数列,.

故选:��C.�2026=�3×675+1=�1=2

3.(5分)(2026·四川遂宁·一模)记为等比数列的前项和,若,,则()

A.4B.��C.8���D�.8=17�4�4−�2=3�3=

【答案】B±2±8

【解题思路】把题干所给条件转化为的方程组,解方程组即可得出答案.

【解答过程】设等比数列的公比为,�当1,�时,,所以.

��=1�8≠17�4�≠1

由题意可得84,解得或,

�11−�17�11−�11

1−�1−�11

=1�=2�=−2

3�≠0

11�=2�=−2

当,��时,−��=3,

12

�1=2�=2�3=�1�=2

当,时,.

12

�1=−2�=−2�3=�1�=−2

故选:B.

4.(5分)(2026·山东枣庄·模拟预测)记等差数列的前n项和为,公差为d,若,

则()�����4=�8+7,�8+1=2�4

�A5.=15B.25C.35D.45

【答案】C

【解题思路】根据等差数列的前项求和公式,结合已知条件求出首项和公差的值,再代入等差数列的前

项求和公式得出.��1�

【�解答过程】因为�5,,

4884

所以�=�+7�+1,=2�

4×(4−1)

411

�=4�+2�=4�,+6�,

�将8上=述�1式+子(8代−入1已)�知=条�件1+得7:��4=�1+(4−1)�=�1+3�

,解得,

4�1+6�=�1+7�+7�1=3

11

所�以+7�+1=2(�+3�)�=2.

5×(5−1)5×4

�5=5�1+2�=5×3+2×2=35

故选:C.

5.(5分)(2025·江苏宿迁·模拟预测)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次为小寒、大寒、

立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,这十二个节气,其日影长依次成等差数列,

若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺,前八个节气日影长之和为92尺,则谷雨日影长为()

A.15B.16C.17D.18

【答案】B

【解题思路】令所给等差数列为,由给定的两个和建立方程,结合等差数列性质求解.

【解答过程】令所给等差数列为{��},其前项和为,

∗

��

则,即{�},�∈N,,因�此≤12��,

5

2585

�+�+�=368(�31�+�8=)36�=12

84518

解得�=9,22=92�+�=�+�=23

�4=11

则数列�5=1的2公差,所以谷雨日影长.

故选:B{�.�}�=�5−�4=1�9=�5+4�=16

6.(5分)(2025·辽宁鞍山·模拟预测)已知正项数列为等比数列,且是与的等差中项,若,

�2432

则该数列的前5项和为()�5��3��=2

A.10B.15C.30D.31

【答案】D

【解题思路】由是与的等差中项可得,再利用等比数列的通项公式代入求出

和,最后利用等5�比2数�列4的3前�3项和公式求解即可2×.5�2=�4+3�3�1

【解�答过程】因为数列为正�项等比数列,设公比为,

又是与的等差��中项,所以��>0,即,

22

解得5�2�4或3�3(舍去),2×5�2=�4+3�3=�2�+3�2�2�+6�=20

所以由�=2�=解−得5,

211

所以该数�列=的�前�项�和=1,

555

�11−�1×1−2

51−�1−2

故选:D.�===31

7.(5分)(2025·福建漳州·模拟预测)设等差数列的前n项和为,若,,则数

��5223

列的前2025项和为()���=5��+�=5

1

����+1

A.B.C.D.

1120242025

2026202520252026

【答案】D

【解题思路】根据等差数列通项公式可得,再利用裂项求和即可求得结果.

【解答过程】设等差数列的公差为,��=�

�

依题意可得�,�解得;

5�1+10�=52�1+�

�1=�=1

所以可得�1+�+�1+2�,=因5此,

11

��=1+�−1=�����+1=��+1

所以

111111

�1�2+�2�3+⋅⋅⋅+�2025�2026=1×2+2×3+⋅⋅⋅+2025×2026

.

1111112025

=1−2+2−3+⋅⋅⋅+2025−2026=1−2026=2026

故选:D.

8.(5分)(2025·海南·模拟预测)数列满足,对于任意的

51∗

�1�+1���

恒成立,则实数的取值范围是()��=2, �=2�−2�∈N, �2�−1<2�−

2A.�B.C.D.

33

−∞, 4−∞, 14, +∞1, +∞

【答案】A

【解题思路】构造等比数列得,由题意对于任意的恒成立,故只需求

�+1

12−11

�∗�+1�+1

��=2+2�∈N, �<2=1−2

出即可.

1

�+1

1−2min

【解答过程】由题意令,所以,对比,可得,

11

��+1−�=2��−���+1=2��−� ��+1=2��−2�=2

所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,

11

��−2�1−2=2

所以,

11�−1�

��−2=�1−22=2

所以,

1�

�

对于任�意=的2+2恒成立,即对于任意的恒成立,

∗∗�+1�+1

��

即对于任意的�∈N, �2�−1<2�−2恒成立,�∈N, �⋅2<2−1

�+1

2−11

∗�+1�+1

�∈N, �<2=1−2

显然当增大时,减小,此时增大,

11

�+1�+1

�21−2

所以.

13

1+1

�<1−2=4

故选:A.

二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的

要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。

9.(6分)(2026·陕西西安·模拟预测)已知正项等比数列的前项和为,且,,则

()������4=15�8=255

A.数列是单调递减数列B.

4

C.��D.�=16

2024

【答案】�B10C=D1023�2025=2

【解题思路】根据等比数列的性质结合已知条件求出通项公式,结合指数函数单调性判断选项A;利用公

比判断选项B;利用前项和公式计算判断选项C;代��入通项公式计算判断选项D.

【解答过程】设等比数列�公比为,则,即,解得,

444

数列是正项等比数列,�,�8故=�4+,��4255=15+15��=16

�

∵�,则∴�,>解0得�=2,

44

�11−��11−2

41

∵�=1−�15,=1−2�=1

�−1�−1

∴��=�1�,数列=单2调递增,故A错误;

�−1

��=2,,故B正确;

4

∵�=2∴�=16,故正确;

10C

1−210

10

�=1−2=2−1=,10故23D正确.

2025−12024

�故20选25:=B2CD.=2

10.(6分)(2025·陕西汉中·一模)记数列的前项和为,若,且,则()

2

A.��B.�是等差�数�列���+1=��+�+��1=2

2�

C.�=4D.�

2111�

��=�+2�−1�1+�2+⋯+��=�+1

【答案】ABD

【解题思路】利用与的关系式,运用迭代相减法,得到,即可判断其为等差数列,写出数

列的通项与前项�和�,�即�可依次判断A,B,C项;再利用裂项�相�+消1法−�求�和=即2可判断D项.

【解答过程】对�于A,在中,取时,,故A正确;

2

�+1�21

对于B,当时,由��=�+�+�①,得�=1�=�+1+1=4②,

22

则①②得�≥2���+1=��+�,+即��−1��= �,�−所1+以�−1+�−1.

又−���,+1所−以�−1是�以�=2为��首+项2�,2为�公�差�+的1−等�差�−数2列,=故0B正确�;�+1−��=2(�≥2)

�2−�1=2��

对于C,由B项,可得,故C错误;

��−12

��=2�+2×2=�+�

对于D,因,

1111

��=��+1=�−�+1

故,故D正确.

1111111111�

�1+�2+⋯+�� =1−2+2−3+⋯+�−�+1=1−�+1=�+1

故选:ABD.

11.(6分)(2026·广东·模拟预测)已知数列均为递增数列,它们的前项和分别为,且满

足,,则下列结论正��确,的��有()���,��

�

��A+.��+1=2���⋅B�.�+1=2C.D.

2

【答案】A0C<D�1<1�2�=�+3�+21<�1<2�2�−�2�<0

【解题思路】利用代入法求出前几项的关系即可判断出与的取值范围,再分别求出数列与的前

项和的表达式即可判断大小关系.�1�1{��}{��}2�

【解答过程】由是递增数列,得;又,所以,

12

�123��+1�+�=2

{�}�<�<��+�=2�23

所以,所以,故A正确;�+�=4

�1+�2>2�1

0<�1<1

�2+�3>2�2=4−2�1,故B不正确;

2

∴由�2�=是(递�1增+数�2列)+,(得�3+�4)+⋯+,(又�2�−1+�2�)=,2+6+10+⋯+2(2�−1)=2�

�

{��}�1<�2<�3����+1=2

由可得,即2,解得,故C正确;

1

1221�1>�

��=2�>�21

23321<�<2

��=4�>�1�1

由,可得2�>,则,

��+1��+2

��+1�+1�+2��

即数�列�=2和均�为公�比为=2的等比数列,=2

所以{�2�−1}{�2�}2

2�132�−1242�

�=(�+�+⋯+�)+(�,+�+⋯+�)

��

�1(1−2)�2(1−2)�

12

所=以1−2+1−2=(�+�)(2−1),又,所以,

���

而�2�≥2�1�2(2−1)=22(2−1)�1≠�2,�2�>22(2−1)

�2�2

当�2�−�时2�,>22(2−1)−2�=2(;2⋅2−�−2)

�2

当�≥52时(,2可⋅2验−证�−2)>0,

�2

所以�=对1于,2任,3,意4的,都2(有2⋅2−�−,2即)>0,故D正确.

∗

故选:ACD.�∈N�2�−�2�>0�2�−�2�<0

第II卷(非选择题共92分)

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。

12.(5分)(2026·吉林·模拟预测)已知数列的前项和为,若,则.

【答案】�������=2��−3��=

�−1

【解题思路3×】2利用数列的前项和与的关系,通过和两种情况分别求出和的表达式,再

验证是否满足时�的表�达�式�,�进而求出数列�=1的通�项≥公2式.�1��

【解答�过=程1】由�≥2,当时,��,所以.

当时,��=2��−3�=1�1=2�1−3=�1,�1=3

所以�≥2��,=所��以−数��列−1=2是��首−项3为−2��−1,−公3比=2��−的2等�比�−1数列,

所以��=2��−1.���1=3�=2

�−1

当��=时3,×2,上式也成立.

1−1

综上�=,1�1=3×.2=3

�−1

故答案为��:=3×2.

�−1

13.(5分)3(×22026·山东泰安·一模)按如图所示的规则练习数数,数到2026时是第次数到食指.

【答案】507

【解题思路】由图中数字可知,中指对应的数的通项公式,代入2027求解次数,即可求出2026对应的食指

次数.

【解答过程】由图中数字可知,中指对应的数分别为3,7,11,15,19……

∴中指对应的数构成以3为首项,4为公差的等差数列,

其通项公式为:;

因为3+4(�−,1所)=以4数�到−12027时,对应的指头是第507次数到中指.

所以数20到272=02560时7,×对4−应1的指头是第507次数到食指.

故答案为:507.

14.(5分)(2025·河北沧州·模拟预测)已知为数列的前项和,且,

*

若,则.�����∀�∈�,4��+��+2=4��+1

【答�案1=】1,�2=5��=

�−1

3�−4⋅2+2

【解题思路】由题意以及等比数列的定义,可得数列的通项,根据等差数列的定义,可得

的通项,利用错位相减法,可得答案.��+1−2����

【解答过程】因为,即,

所以数列4��是+以��+2=4��+1为�首�+项2,−2�为�+公1比=的2等��比+1数−列2�,�

�+1�21

所以�−2��,所−以2�有=3,

��+1��3

�−1�+1�

��+1−2��=3×22−2=4

所以数列是以为首项,为公差的等差数列,

��13

�

224

所以,所以,

��1331�−2

��

2=2+�−1×4=4�−4�=3�−1⋅2,

−10�−3�−2

��=2×2+5×2+8×2+⋯+3�−4⋅2+3�−1⋅2,

02�−2�−1

2则��=2×2+5×2+8×2+⋯+3�−4⋅2+3�−1⋅2

−10�−3�−2�−1

−��=2×2+3×2+2+⋯+2+2−3�−,1⋅2

�−1�−1�−1

=所以1+3⋅2−1−3�−.1⋅2=4−3�⋅2−2

�−1

故答案��为=:3�−4⋅2+2.

�−1

四、解答题:3�本−题4共⋅52小题+,2共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。

15.(13分)(2026·安徽淮北·一模)已知数列满足.

(1)设,求证:数列为等比数列�;��1=1,�2=4,��+2−4��+1+3��=0

(2)求��=的�通�+项1−公�式�.��

【答案】��(1)证明见解析

(2)�

3−1

�2

【解�题=思路】(1)利用等比数列的定义证明.

(2)利用等比数列的通项公式和累加法求解.

【解答过程】(1)由得:,

即,故�为�+2等−比4数��列+1;+3��=0��+2−��+1=3��+1−��

(2�)�+1=3����,由(1)得.即,

�−1��

于是�1=�2−�1=3��=3⋅3=3��+1−��=3

���−1�−1�−2211112�−1

�=�−�+�−�+.⋯+�−�+�=�+�+�+⋯+�

��

2�−11−33−1

1−32

1=6.1+(315+分3)+(⋯20+263·贵州=·模拟预=测)已知等差数列的公差为成等比数列.

���(�≠0),�3=7,�1,�2,�6

(1)求的通项公式;

�

(2)若�,求数列的前项和.

1

��=����+1�����

【答案】(1)

�

(2)�=3�−2

�

3�+1

【解题思路】(1)利用等差数列的性质和等比中项求出的通项公式;

(2)利用裂项相消法求出数列的前项和.��

【解答过程】(1)因为�成�等比数�列,�所�以,

2

所以�1,�2,,�6得�2=�1�6

22

因为�1+,�所=以�1�1+5.�3�1�=�.

又�≠03�1=�,解得,

所以�3=�1+2�=.�1+2×3�1=7�1=7�1=1,�=3

�

(2)由�(=13)�知−2

11111

���+1

所以�=��=(3�−2)(3�+1)=33�−2−3�+1,

��=�1+�2+�3+⋯+��

11111111

=1−+−+−+⋯+−

3447.7103�−23�+1

11�

=31−3�+1=3�+1

17.(15分)(2026·重庆九龙坡·一模)设等比数列的前项和为,已知,.

(1)求和;������2=99�1+�3=54

��

(2)设��,证明:.

111

��=log9���1�2+�2�3+⋅⋅⋅+����+1<4

【答案】,

(1)�+1

�3−3

��

(2)证明见解�析=3�=2

【解题思路】(1)利用等比数列的通项公式和前项和公式列式求解;

(2)利用裂项相消法求前项和即可证明.�

【解答过程】(1)由为�等比数列,,可得,

9�2

��9�1+�3=54�+�2�=54

即,,解得,

812

�+9�=54�−6�+9=0�=3

所以,,

��+1.

�2�−1�31−33−3

�1=�=3��=3×3=3��=1−3=2

(2),,

�11411

2���+1

�9�3��+1

�=log�=log3=2��=2×2=��+1=4�−�+1

,

111111111

�1�2+�2�3+⋅⋅⋅+����+1=41−2+2−3+⋅⋅⋅+�−�+1=41−�+1<4

因为,所以,从而.

11111

�+1>01−�+1<1�1�2+�2�3+⋅⋅⋅+����+1<4

18.(17分)(2025·天津·二模)已知等差数列和等比数列满足:,,,

∗

.�����1=�1=1��∈��2+�8=18

(�12)�求4数=列81和的通项公式;

��

求数列�的�前项和;

(2)2n

�

����+1��

(3)已知数列的前n项和,若对任意正整数n,不等式恒成立,求实数的取值范围.

���

�

��=3������1−��<2�

【答案】(1),;

�−1

��

(2)�=2�−1�=3

��+1

��=22�+1

(3)

4

3,+∞

【解题思路】(1)根据等差数列和等比数列的知识求得公差和公比,从而求得通项公式.

(2)利用裂项相消法求得.

(3)利用错位相减法求得��,利用差比较法求得的取值范围.

【解答过程】(1)设等差数��列的公差为d,已�知,

,则.���1=1

�则2+�8=2�5=18�5=,9

解得�5=�1,+所4�以=1+4�=9

设等比�=数2列的�公�=比1为+q2,�−1,=2�−1,又,所以.

2∗

因为��,�1=1�2�4=�3=81��∈N�3=9

22

解得�3=�(1�=�舍=去9,因为),所以.

∗�−1

(2)由�=(31)�知=−3,��∈N,��=3

��+1

则�=2�−1�=2�+1.

222

���111111

22

����+1=2�−12�+1=4�−1=4+44�−1=4+82�−1−2�+1

��

2

�1111�111111

��==+−=+1−+−+⋅⋅⋅+−

����+1482�−12�+1483352�−12�+1

�=1�=1.

2

�11���2�+1+�2�+2���+1

=4+81−2�+1=4+42�+1=42�+1=42�+1=22�+1

(3)由(1)知,,则.

��2�−1

�−1�

��=2�−1��=3��=3��=3

①,

1352�−1

23�

��=�1+�2+⋅⋅⋅+��=3+3+3+⋅⋅⋅+3

②,

1132�−32�−1

23��+1

3��=3+3+⋅⋅⋅+3+3

①-②得:,所以,则.

212222�−1�+1�+1�

23��+1���

3��=3+3+3+⋅⋅⋅+3−3��=1−33<2

因为对任意正整数n,不等式恒成立,

�

��

即恒成立,等价于1−恒�成<立2.

�+1��+1

��3�

3<2�>2

设,则

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