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文档简介
第六章数列(举一反三综合训练)
(全国通用)
(考试时间:120分钟;满分:150分)
注意事项:
1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写
在答题卡上。
2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用
橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷(选择题共58分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要
求的。
1.(5分)(2026·贵州六盘水·模拟预测)已知等差数列前三项的和为,则的公差为()
A.3B.2C.2��D.3−3, �4=5��
【答案】−D−
【解题思路】根据给定条件,利用等差数列性质求解.
【解答过程】由等差数列前三项的和为,得,解得,
�12322
又,所以的公差�.−3�+�+�=3�=−3�=−1
�4−�2
�4=5���=4−2=3
故选:D.
2.(5分)(2026·陕西榆林·二模)已知数列满足,则()
1
���1=2,��+1=1−���2026=
A.-1B.C.2D.3
1
2
【答案】C
【解题思路】利用递推公式先判断周期,利用周期数列即可求解.
【解答过程】解法1:由数列满足,
1
���1=2,��+1=1−��
可取,则;
11
�=1�2=1−�1=2
取,则;
1
�=2�3=1−�2=−1
取,则,
1
�=3�4=1−�3=2,�1=�4,⋯⋯
猜想数列是周期为3的周期数列,.
�20263×675+11
解法2:由�得,∴�=�=,�逐=项2代换可得,
111
��+1=1−����+2=1−��+1,��+3=1−��+2��+3=��
数列是周期为3的周期数列,.
故选:��C.�2026=�3×675+1=�1=2
3.(5分)(2026·四川遂宁·一模)记为等比数列的前项和,若,,则()
A.4B.��C.8���D�.8=17�4�4−�2=3�3=
【答案】B±2±8
【解题思路】把题干所给条件转化为的方程组,解方程组即可得出答案.
【解答过程】设等比数列的公比为,�当1,�时,,所以.
��=1�8≠17�4�≠1
由题意可得84,解得或,
�11−�17�11−�11
1−�1−�11
=1�=2�=−2
3�≠0
11�=2�=−2
当,��时,−��=3,
12
�1=2�=2�3=�1�=2
当,时,.
12
�1=−2�=−2�3=�1�=−2
故选:B.
4.(5分)(2026·山东枣庄·模拟预测)记等差数列的前n项和为,公差为d,若,
则()�����4=�8+7,�8+1=2�4
�A5.=15B.25C.35D.45
【答案】C
【解题思路】根据等差数列的前项求和公式,结合已知条件求出首项和公差的值,再代入等差数列的前
项求和公式得出.��1�
【�解答过程】因为�5,,
4884
所以�=�+7�+1,=2�
4×(4−1)
411
�=4�+2�=4�,+6�,
�将8上=述�1式+子(8代−入1已)�知=条�件1+得7:��4=�1+(4−1)�=�1+3�
,解得,
4�1+6�=�1+7�+7�1=3
11
所�以+7�+1=2(�+3�)�=2.
5×(5−1)5×4
�5=5�1+2�=5×3+2×2=35
故选:C.
5.(5分)(2025·江苏宿迁·模拟预测)《周髀算经》中有这样一个问题:从冬至日起,依次为小寒、大寒、
立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种,这十二个节气,其日影长依次成等差数列,
若小寒、雨水、清明日影长之和为36尺,前八个节气日影长之和为92尺,则谷雨日影长为()
A.15B.16C.17D.18
【答案】B
【解题思路】令所给等差数列为,由给定的两个和建立方程,结合等差数列性质求解.
【解答过程】令所给等差数列为{��},其前项和为,
∗
��
则,即{�},�∈N,,因�此≤12��,
5
2585
�+�+�=368(�31�+�8=)36�=12
84518
解得�=9,22=92�+�=�+�=23
�4=11
则数列�5=1的2公差,所以谷雨日影长.
故选:B{�.�}�=�5−�4=1�9=�5+4�=16
6.(5分)(2025·辽宁鞍山·模拟预测)已知正项数列为等比数列,且是与的等差中项,若,
�2432
则该数列的前5项和为()�5��3��=2
A.10B.15C.30D.31
【答案】D
【解题思路】由是与的等差中项可得,再利用等比数列的通项公式代入求出
和,最后利用等5�比2数�列4的3前�3项和公式求解即可2×.5�2=�4+3�3�1
【解�答过程】因为数列为正�项等比数列,设公比为,
又是与的等差��中项,所以��>0,即,
22
解得5�2�4或3�3(舍去),2×5�2=�4+3�3=�2�+3�2�2�+6�=20
所以由�=2�=解−得5,
211
所以该数�列=的�前�项�和=1,
555
�11−�1×1−2
51−�1−2
故选:D.�===31
7.(5分)(2025·福建漳州·模拟预测)设等差数列的前n项和为,若,,则数
��5223
列的前2025项和为()���=5��+�=5
1
����+1
A.B.C.D.
1120242025
2026202520252026
【答案】D
【解题思路】根据等差数列通项公式可得,再利用裂项求和即可求得结果.
【解答过程】设等差数列的公差为,��=�
�
依题意可得�,�解得;
5�1+10�=52�1+�
�1=�=1
所以可得�1+�+�1+2�,=因5此,
11
��=1+�−1=�����+1=��+1
所以
111111
�1�2+�2�3+⋅⋅⋅+�2025�2026=1×2+2×3+⋅⋅⋅+2025×2026
.
1111112025
=1−2+2−3+⋅⋅⋅+2025−2026=1−2026=2026
故选:D.
8.(5分)(2025·海南·模拟预测)数列满足,对于任意的
51∗
�1�+1���
恒成立,则实数的取值范围是()��=2, �=2�−2�∈N, �2�−1<2�−
2A.�B.C.D.
33
−∞, 4−∞, 14, +∞1, +∞
【答案】A
【解题思路】构造等比数列得,由题意对于任意的恒成立,故只需求
�+1
12−11
�∗�+1�+1
��=2+2�∈N, �<2=1−2
出即可.
1
�+1
1−2min
【解答过程】由题意令,所以,对比,可得,
11
��+1−�=2��−���+1=2��−� ��+1=2��−2�=2
所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,
11
��−2�1−2=2
所以,
11�−1�
��−2=�1−22=2
所以,
1�
�
对于任�意=的2+2恒成立,即对于任意的恒成立,
∗∗�+1�+1
��
即对于任意的�∈N, �2�−1<2�−2恒成立,�∈N, �⋅2<2−1
�+1
2−11
∗�+1�+1
�∈N, �<2=1−2
显然当增大时,减小,此时增大,
11
�+1�+1
�21−2
所以.
13
1+1
�<1−2=4
故选:A.
二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目的
要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分。
9.(6分)(2026·陕西西安·模拟预测)已知正项等比数列的前项和为,且,,则
()������4=15�8=255
A.数列是单调递减数列B.
4
C.��D.�=16
2024
【答案】�B10C=D1023�2025=2
【解题思路】根据等比数列的性质结合已知条件求出通项公式,结合指数函数单调性判断选项A;利用公
比判断选项B;利用前项和公式计算判断选项C;代��入通项公式计算判断选项D.
【解答过程】设等比数列�公比为,则,即,解得,
444
数列是正项等比数列,�,�8故=�4+,��4255=15+15��=16
�
∵�,则∴�,>解0得�=2,
44
�11−��11−2
41
∵�=1−�15,=1−2�=1
�−1�−1
∴��=�1�,数列=单2调递增,故A错误;
�−1
��=2,,故B正确;
4
∵�=2∴�=16,故正确;
10C
1−210
10
�=1−2=2−1=,10故23D正确.
2025−12024
�故20选25:=B2CD.=2
10.(6分)(2025·陕西汉中·一模)记数列的前项和为,若,且,则()
2
A.��B.�是等差�数�列���+1=��+�+��1=2
2�
C.�=4D.�
2111�
��=�+2�−1�1+�2+⋯+��=�+1
【答案】ABD
【解题思路】利用与的关系式,运用迭代相减法,得到,即可判断其为等差数列,写出数
列的通项与前项�和�,�即�可依次判断A,B,C项;再利用裂项�相�+消1法−�求�和=即2可判断D项.
【解答过程】对�于A,在中,取时,,故A正确;
2
�+1�21
对于B,当时,由��=�+�+�①,得�=1�=�+1+1=4②,
22
则①②得�≥2���+1=��+�,+即��−1��= �,�−所1+以�−1+�−1.
又−���,+1所−以�−1是�以�=2为��首+项2�,2为�公�差�+的1−等�差�−数2列,=故0B正确�;�+1−��=2(�≥2)
�2−�1=2��
对于C,由B项,可得,故C错误;
��−12
��=2�+2×2=�+�
对于D,因,
1111
��=��+1=�−�+1
故,故D正确.
1111111111�
�1+�2+⋯+�� =1−2+2−3+⋯+�−�+1=1−�+1=�+1
故选:ABD.
11.(6分)(2026·广东·模拟预测)已知数列均为递增数列,它们的前项和分别为,且满
足,,则下列结论正��确,的��有()���,��
�
��A+.��+1=2���⋅B�.�+1=2C.D.
2
【答案】A0C<D�1<1�2�=�+3�+21<�1<2�2�−�2�<0
【解题思路】利用代入法求出前几项的关系即可判断出与的取值范围,再分别求出数列与的前
项和的表达式即可判断大小关系.�1�1{��}{��}2�
【解答过程】由是递增数列,得;又,所以,
12
�123��+1�+�=2
{�}�<�<��+�=2�23
所以,所以,故A正确;�+�=4
�1+�2>2�1
0<�1<1
�2+�3>2�2=4−2�1,故B不正确;
2
∴由�2�=是(递�1增+数�2列)+,(得�3+�4)+⋯+,(又�2�−1+�2�)=,2+6+10+⋯+2(2�−1)=2�
�
{��}�1<�2<�3����+1=2
由可得,即2,解得,故C正确;
1
1221�1>�
��=2�>�21
23321<�<2
��=4�>�1�1
由,可得2�>,则,
��+1��+2
��+1�+1�+2��
即数�列�=2和均�为公�比为=2的等比数列,=2
所以{�2�−1}{�2�}2
2�132�−1242�
�=(�+�+⋯+�)+(�,+�+⋯+�)
��
�1(1−2)�2(1−2)�
12
所=以1−2+1−2=(�+�)(2−1),又,所以,
���
而�2�≥2�1�2(2−1)=22(2−1)�1≠�2,�2�>22(2−1)
�2�2
当�2�−�时2�,>22(2−1)−2�=2(;2⋅2−�−2)
�2
当�≥52时(,2可⋅2验−证�−2)>0,
�2
所以�=对1于,2任,3,意4的,都2(有2⋅2−�−,2即)>0,故D正确.
∗
故选:ACD.�∈N�2�−�2�>0�2�−�2�<0
第II卷(非选择题共92分)
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.(5分)(2026·吉林·模拟预测)已知数列的前项和为,若,则.
【答案】�������=2��−3��=
�−1
【解题思路3×】2利用数列的前项和与的关系,通过和两种情况分别求出和的表达式,再
验证是否满足时�的表�达�式�,�进而求出数列�=1的通�项≥公2式.�1��
【解答�过=程1】由�≥2,当时,��,所以.
当时,��=2��−3�=1�1=2�1−3=�1,�1=3
所以�≥2��,=所��以−数��列−1=2是��首−项3为−2��−1,−公3比=2��−的2等�比�−1数列,
所以��=2��−1.���1=3�=2
�−1
当��=时3,×2,上式也成立.
1−1
综上�=,1�1=3×.2=3
�−1
故答案为��:=3×2.
�−1
13.(5分)3(×22026·山东泰安·一模)按如图所示的规则练习数数,数到2026时是第次数到食指.
【答案】507
【解题思路】由图中数字可知,中指对应的数的通项公式,代入2027求解次数,即可求出2026对应的食指
次数.
【解答过程】由图中数字可知,中指对应的数分别为3,7,11,15,19……
∴中指对应的数构成以3为首项,4为公差的等差数列,
其通项公式为:;
因为3+4(�−,1所)=以4数�到−12027时,对应的指头是第507次数到中指.
所以数20到272=02560时7,×对4−应1的指头是第507次数到食指.
故答案为:507.
14.(5分)(2025·河北沧州·模拟预测)已知为数列的前项和,且,
*
若,则.�����∀�∈�,4��+��+2=4��+1
【答�案1=】1,�2=5��=
�−1
3�−4⋅2+2
【解题思路】由题意以及等比数列的定义,可得数列的通项,根据等差数列的定义,可得
的通项,利用错位相减法,可得答案.��+1−2����
【解答过程】因为,即,
所以数列4��是+以��+2=4��+1为�首�+项2,−2�为�+公1比=的2等��比+1数−列2�,�
�+1�21
所以�−2��,所−以2�有=3,
��+1��3
�−1�+1�
��+1−2��=3×22−2=4
所以数列是以为首项,为公差的等差数列,
��13
�
224
所以,所以,
��1331�−2
��
2=2+�−1×4=4�−4�=3�−1⋅2,
−10�−3�−2
��=2×2+5×2+8×2+⋯+3�−4⋅2+3�−1⋅2,
02�−2�−1
2则��=2×2+5×2+8×2+⋯+3�−4⋅2+3�−1⋅2
−10�−3�−2�−1
−��=2×2+3×2+2+⋯+2+2−3�−,1⋅2
�−1�−1�−1
=所以1+3⋅2−1−3�−.1⋅2=4−3�⋅2−2
�−1
故答案��为=:3�−4⋅2+2.
�−1
四、解答题:3�本−题4共⋅52小题+,2共77分,解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
15.(13分)(2026·安徽淮北·一模)已知数列满足.
(1)设,求证:数列为等比数列�;��1=1,�2=4,��+2−4��+1+3��=0
(2)求��=的�通�+项1−公�式�.��
【答案】��(1)证明见解析
(2)�
3−1
�2
【解�题=思路】(1)利用等比数列的定义证明.
(2)利用等比数列的通项公式和累加法求解.
【解答过程】(1)由得:,
即,故�为�+2等−比4数��列+1;+3��=0��+2−��+1=3��+1−��
(2�)�+1=3����,由(1)得.即,
�−1��
于是�1=�2−�1=3��=3⋅3=3��+1−��=3
���−1�−1�−2211112�−1
�=�−�+�−�+.⋯+�−�+�=�+�+�+⋯+�
��
2�−11−33−1
1−32
1=6.1+(315+分3)+(⋯20+263·贵州=·模拟预=测)已知等差数列的公差为成等比数列.
���(�≠0),�3=7,�1,�2,�6
(1)求的通项公式;
�
(2)若�,求数列的前项和.
1
��=����+1�����
【答案】(1)
�
(2)�=3�−2
�
3�+1
【解题思路】(1)利用等差数列的性质和等比中项求出的通项公式;
(2)利用裂项相消法求出数列的前项和.��
【解答过程】(1)因为�成�等比数�列,�所�以,
2
所以�1,�2,,�6得�2=�1�6
22
因为�1+,�所=以�1�1+5.�3�1�=�.
又�≠03�1=�,解得,
所以�3=�1+2�=.�1+2×3�1=7�1=7�1=1,�=3
�
(2)由�(=13)�知−2
11111
���+1
所以�=��=(3�−2)(3�+1)=33�−2−3�+1,
��=�1+�2+�3+⋯+��
11111111
=1−+−+−+⋯+−
3447.7103�−23�+1
11�
=31−3�+1=3�+1
17.(15分)(2026·重庆九龙坡·一模)设等比数列的前项和为,已知,.
(1)求和;������2=99�1+�3=54
��
(2)设��,证明:.
111
��=log9���1�2+�2�3+⋅⋅⋅+����+1<4
【答案】,
(1)�+1
�3−3
��
(2)证明见解�析=3�=2
【解题思路】(1)利用等比数列的通项公式和前项和公式列式求解;
(2)利用裂项相消法求前项和即可证明.�
【解答过程】(1)由为�等比数列,,可得,
9�2
��9�1+�3=54�+�2�=54
即,,解得,
812
�+9�=54�−6�+9=0�=3
所以,,
��+1.
�2�−1�31−33−3
�1=�=3��=3×3=3��=1−3=2
(2),,
�11411
2���+1
�9�3��+1
�=log�=log3=2��=2×2=��+1=4�−�+1
,
111111111
�1�2+�2�3+⋅⋅⋅+����+1=41−2+2−3+⋅⋅⋅+�−�+1=41−�+1<4
因为,所以,从而.
11111
�+1>01−�+1<1�1�2+�2�3+⋅⋅⋅+����+1<4
18.(17分)(2025·天津·二模)已知等差数列和等比数列满足:,,,
∗
.�����1=�1=1��∈��2+�8=18
(�12)�求4数=列81和的通项公式;
��
求数列�的�前项和;
(2)2n
�
����+1��
(3)已知数列的前n项和,若对任意正整数n,不等式恒成立,求实数的取值范围.
���
�
��=3������1−��<2�
【答案】(1),;
�−1
��
(2)�=2�−1�=3
��+1
��=22�+1
(3)
4
3,+∞
【解题思路】(1)根据等差数列和等比数列的知识求得公差和公比,从而求得通项公式.
(2)利用裂项相消法求得.
(3)利用错位相减法求得��,利用差比较法求得的取值范围.
【解答过程】(1)设等差数��列的公差为d,已�知,
,则.���1=1
�则2+�8=2�5=18�5=,9
解得�5=�1,+所4�以=1+4�=9
设等比�=数2列的�公�=比1为+q2,�−1,=2�−1,又,所以.
2∗
因为��,�1=1�2�4=�3=81��∈N�3=9
22
解得�3=�(1�=�舍=去9,因为),所以.
∗�−1
(2)由�=(31)�知=−3,��∈N,��=3
��+1
则�=2�−1�=2�+1.
222
���111111
22
����+1=2�−12�+1=4�−1=4+44�−1=4+82�−1−2�+1
��
2
�1111�111111
��= = +−=+1−+−+⋅⋅⋅+−
����+1482�−12�+1483352�−12�+1
�=1�=1.
2
�11���2�+1+�2�+2���+1
=4+81−2�+1=4+42�+1=42�+1=42�+1=22�+1
(3)由(1)知,,则.
��2�−1
�−1�
��=2�−1��=3��=3��=3
①,
1352�−1
23�
��=�1+�2+⋅⋅⋅+��=3+3+3+⋅⋅⋅+3
②,
1132�−32�−1
23��+1
3��=3+3+⋅⋅⋅+3+3
①-②得:,所以,则.
212222�−1�+1�+1�
23��+1���
3��=3+3+3+⋅⋅⋅+3−3��=1−33<2
因为对任意正整数n,不等式恒成立,
�
��
即恒成立,等价于1−恒�成<立2.
�+1��+1
��3�
3<2�>2
设,则
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