2026年高考数学复习讲练测专题1 三角函数的图象与性质（复习讲义）（解析版）

专题01三角函数的图象与性质

目录

01析·考情精解..............................................................................................................1

02构·知能框架..............................................................................................................2

03破·题型攻坚..............................................................................................................2

考点一三角函数概念..................................................................................................3

真题动向

知识1终边相同的角

知识2弧度制

知识3弧长公式、扇形面积公式

必备知识知识4三角函数概念

知识5三角函数符号

知识6特殊角的三角函数值

知识7三角函数线

题型1角的概念的推广

命题预测

题型2三角函数概念

考点二三角恒等变换...............................................................................................10

真题动向

知识1同角关系

知识2诱导公式

知识3和差角公式

必备知识

知识4二倍角公式

知识5常用公式变形

知识6角的陪凑

题型1同角关系

命题预测题型2诱导公式

题型3三角恒等变换

考点三三角函数图象性质.......................................................................................18

真题动向

知识1函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

必备知识

知识2函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质

题型1三角函数的周期性、奇偶性与对称性

题型2三角函数的单调性与最值

命题预测

题型3三角函数的图象及变换

题型4三角函数的零点

命题从近三年高考试题来看，三角函数主要考基础考点，多以5分选择题或填空题形式呈

现。解答题中考三角函数运算与性质的很少且难度较低，但2025全国Ⅰ卷解答题压轴

轨迹题考查了三角函数与其它知识的交汇，难度大。

北京卷近5年三角函数均以基础为主。

透视

考点考点2025年2024年2023年

北京T13,5分

频次三角函数概念北京T12，5分

三角恒等变换北京T13，5分

总结三角函数图象北京T8，4分北京T6，4分北京T17，13分

2026预计在2026年北京卷高考中，三角函数仍会考三角恒等变换与图象性质，大概率以

4分单选题形式出现，侧重图象变换、周期、奇偶性、对称性、单调性、最值、零点。

命题难度简单与难题均可出现。

预测

考点一三角函数概念

1．(2024年北京高考数学真题T12填空题5分)在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们

的终边关于原点对称.若，则的最大值为．𝑥�����

ππ

【答案】/�∈6,3cos�

1

【难度】0−.825−0.5

【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、诱导公式二、三、四、求cosx(型)函数的值域

【分析】首先得出，结合三角函数单调性即可求解最值.

【详解】由题意�=�+π+2�π,�∈，Z从而，

因为，所�=以�+π的+取2�值π范,�围∈是Z，cos�=的c取os值�范+围π是+2�π=−c，os�

ππ1331

当且仅�∈当6,3，即cos�时2，,2c取os得�最大值，且最大−值2为,−2.

π4π1

故答案为：�=3.�=3+2�π,�∈Zcos�−2

1

2．(2023年北−京2高考数学真题T13填空题5分)已知命题若为第一象限角，且，则．能

说明p为假命题的一组的值为，�:�,�．�>�tan�>tan�

【答案】�,��=�=

9ππ

【难度】0.8543

【知识点】任意角的概念、比较正切值的大小

【分析】根据正切函数单调性以及任意角的定义分析求解.

【详解】因为在上单调递增，若，则，

ππ

取��=tan�0,2，0<�0<�0<2tan�0<tan�0

则�=2�1π+�0,�=2�2π+�0,�1,�2∈�，即，

令tan�=，ta则n2�1π+�0=tan�0,tan�=tan2�2π+�0=tan�0tan�，<tan�

因为�1>�2�−�=2�1π+�0−2�2，π则+�0=2�1−�2π+�0−�0，

π3π

即2�1，−则�2π≥2.π,−2<�0−�0<0�−�=2�1−�2π+�0−�0>2>0

不妨�1取>�2�>�，即满足题意.

ππ9ππ

1200

故答案为�：=1,�.=0,�=4,�=3�=4,�=3

9ππ

4;3

知识1终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．

知识2弧度制

1.弧度的角：在圆中，把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示.

2.正角、负角和零角的弧度数

一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.

3.角度制与弧度制的换算

(1)1°＝rad.(2)1rad＝.

�180°'

知识31弧80长，扇形面积公式(�)≈57.3°=57°18

如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝

�

相关公式：(1)扇形的弧长公式：l＝＝|α|r.(2)扇形的面积公式：S＝lr＝＝�|α|r2.

2

���1���1

180

知识6三角函数符号23602

一全二正三切四余

知识4三角函数概念

1.利用单位圆定义三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：

sinα＝y.cosα＝x.tanα＝(x≠0).

�

2.利用终边上的点定义三角函数：设α�是一个任意角，它的终边过点P(x，y)，那么：

sinα＝.cosα＝.tanα＝(x≠0).��=�

���

知识5�特殊角的三角�函数值�

角度0153045607590120135150180270360

弧度0523532

126431223462

sin0621236213210-10

42224222

6232162123

cos10-101

42224222

33

tan0231323不存在310不存在0

33

知识7三角函数线

三角函数线：用单位圆中的有向线段的数量表示三角函数值.

其中：，，；

当角α的si终nα边=与MxP轴重cos合α时=，OM正弦t线an、α=正切AT线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0;

当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0,正切值不存在.

【易错提醒】

①一定要清楚角的正负；

②一定要清楚是角度还是弧度表示的角.

题型1角的概念的推广

1．(25-26高三上·北京·阶段练习)一个扇形的弧长与面积都等于6，这个扇形中心角的弧度数为()

A．1B．2C．3D．4

【答案】C【难度】0.85

【知识点】弧长的有关计算、扇形面积的有关计算

【分析】首先根据扇形的面积求出半径，再由弧长公式得出结果.

【详解】设扇形的弧长为，半径为，中心角为，面积为，

根据扇形的面积公式�可得：��，解得�，

11

再根据弧长公式�=可2得��：6=2×，6解×得��.=2

故选：C.�=|�|�6=�×2|�|=3

2.(25-26高三上·北京房山·月考)扇子具有悠久的历史，蕴含着丰富的数学元素，小明制作了一把扇子，其半

径为，圆心角为，则这把扇子的弧长为．

3π

【答案16】cm【难度4】0.94

【知识点】12弧πc长m的有关计算

【分析】由弧长公式求解即可.

【详解】由弧长公式可得，

3π

故答案为：�=�⋅�=16×4=12π

题型2三角12函πc数m概念

1．(25-26高三上·北京朝阳·期中)已知角的终边经过点，则()

11

22

A．B．�C．,−cDo．s�=

1122

【答2案】C【难度】0.94−22−2

【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值

【分析】根据余弦函数的定义，代入计算，即可得答案.

【详解】因为角的终边经过点，所以1.

1122

22

22112

�,−cos�=+−=

故选：C22

2．(25-26高三上·北京顺义·月考)已知为角终边上一点，“”是“”的()

313

A．充分不必要条件B．必要不充�分(�条,件2)�C．充要条件�=D．2既不sin充�分=也2不必要条件

【答案】A【难度】0.85

【知识点】判断命题的充分不必要条件、由终边或终边上的点求三角函数值、由三角函数值求终边上的点

或参数

【分析】根据三角函数及充分、必要性的定义判断条件间的推出关系，即可得.

【详解】当时，，则3，充分性成立，

11323

�=2�(2,2)sin�=1232=2

(2)+(2)

当时，则3，可得，必要性不成立，

3231

sin�=2232=2�=±2

�+(2)

所以“”是“”的充分不必要条件.

13

故选：�A=2sin�=2

3．(25-26高三上·北京海淀·月考)在平面直角坐标系中，角均以为始边，它们的终边关于直线

对称且，若角的终边与单位圆交�于�点��,，�且��，则为()�=�

1

A．sin�+cos�=−B5．�C．��,��D<．0�

4433

【答5案】C【难度】0.65−55−5

【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知正(余)弦求余(正)弦

【分析】先根据对称求出角的终边与单位圆交于点，然后得到，再根据单位圆得到

′12

，进而求得.���,��+�=−5�+

2

�【详=解1】若角的终�边与角的终边关于直线对称，则角的终边与单位圆交于点，

′

则��；�=����,�

1

因为sin点�+cos�在=单�位+圆�上=，−5所以；

22

��,��+�=1

由，代入解得3或4(舍)；因此.

1�=5�=−53

�=−5−�43�=5

故选：C.�=−5�=5

4．(25-26高三上·北京·期中)在平面直角坐标系中，角以为始边，其终边经过点，则()

A．B．C�．�����D．�1,2tan2�=

441

【答−案3】A【难度】0.85322

【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正切公式

【分析】根据三角函数的定义及二倍角公式即得.

【详解】由三角函数的定义可知，

所以.tan�=2

2tan�44

2

故选：taAn2.�=1−tan�=1−4=−3

5.(25-26高三上·北京·月考)角的终边过点，则()

π

A．B．��2C,4．tan�+4=D．3

11

【答−案3】B【难度】0.85−33

【知识点】用和、差角的正切公式化简、求值、由终边或终边上的点求三角函数值

【分析】根据三角函数的定义先计算，再利用两角和的正切公式即可求解.

tan�

【详解】由题意有：，所以π，

4πtan�+tan4tan�+12+1

π

故选：B.tan�=2=2tan�+4=1−tan�tan4=1−tan�=1−2=−3

6．(25-26高三上·北京海淀·期中)已知角，是象限角，则“存在，使得”是“”

的()���∈��+�=�πtan�+tan�=0

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】C【难度】0.65

【知识点】充要条件的证明、由正切函数的周期求值

【分析】根据正切函数的性质及充分必要条件的定义可得.

【详解】因角，是象限角，且，正切函数的最小正周期为，且为奇函数.

所以���，+即�=�π.所以充分性成立π.

反过来ta，n�当=tan(�π−�)=−，ta即n�tan�+tan�=0，

根据正切函数ta的n�性+质ta可n�得=，0存在tan�，=使−得tan�=tan(−�)，即.

所以必要性成立.所以“存在�，∈使Z得�=�π”是+“(−�)�+�”=的�充π要条件.

故选：C.�∈��+�=�πtan�+tan�=0

7.(25-26高三上·北京顺义·月考)已知角、为第一象限角，“”是“”的()

A．充分而不必要条件B．必要而不�充�分条件C．充分�必>要�条件tan�>D．ta既n�不充分也不必要条件

【答案】D【难度】0.65

【知识点】既不充分也不必要条件、比较正切值的大小

【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断即可得出结论.

【详解】因为角、为第一象限角，

取，�，则�，但，

7ππ7ππ

即“�=3”�“=3�>�”；tan�=tan3=tan3=tan�

取�>，�⇒tan，�>则tan�，，

π9ππ9ππ

�=3�=4tan�=tan3=3tan�=tan4=tan4=1

则，但，即“”“”.

因此ta，n�“>tan�”是“�<�”�的>既�不⇐充分ta也n�不>必ta要n�条件.

故选：D�.>�tan�>tan�

8.(25-26高三上·北京·月考)已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，

则()��tan�,3

A．sin�=B．C．D．

1133

【答2案】C【难度】0.85−22−2

【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值

【分析】根据条件，利用三角函数的定义，即可求解.

【详解】因为终边上一点，

所以由三角函数点定义得�tan�,3，即，

32

所以tan�，=tan�tan�=3

333

2

故选：sinC�.=tan�+9=23=2

9.(25-26高三上·北京海淀·月考)在平面直角坐标系中，已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的

正半轴上，终边经过点，则�.����

【答案】【难度】0.85�2,1cos2�=

1

【知识点】3由终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的余弦公式

【分析】先由角的终边过点，根据任意角的三角函数的定义求出，再由二倍角公式，即可得出

结果.�2,1cos�

【详解】因为角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边经过点，

所以�；所以�.�2,1

2

26261

2

23cos2�=2cos�−1=2×3−1=3

cos�=2+1=

故答案为：.

1

10.(25-26高3三上·北京·期中)如图，单位圆与轴的正半轴交于点，以轴的非负半轴为始边作锐角、

，终边分别与单位圆相交于点、�，角的终边与�单1,位0圆交于�点．�

(�1)�若>�，，则扇形的面�积1为�1；�−��

5ππ

11

(2)若�=12，点�=的4纵坐标为�时�，�则点的纵坐标为．

π3

�=3�5�1

【答案】/；【难度】0.65

π143−3

【知识点】12扇12形π面积10计算、利用定义求某角的三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的正弦

【分析】(1)求出，利用扇形的面积公式可求得结果；

(2)求出∠�，1�结�合1两角差的正弦公式可求得点的纵坐标的值.

【详解】co(1s)由�−题�意可知�1，此时扇形sin�的面积为；

5πππ1π2π

(2)因为，∠�1��，1则=�−�=12−4，=所6以��1�1，2×6×1=12

πππππ

因为0<，�所<以20<�<，2故−2<−�<，0−2<�−�<2

π

�>��−�>00<�−�<2

由题意可知，点的纵坐标为，则，

2

3234

�sin�−�=5cos�−�=1−sin�−�=1−5=5

故点的纵坐标为.

341343−3

1

故答案�为：(1)；(2si)n�=.sin�−�−�=sin�cos�−�−cos�sin�−�=2×5−2×5=10

π43−3

11.(25-26高三上12·北京·期10中)若点在角的终边上，则.

5π5π

【答案】【难度】0.85�cos6,sin6�tan2�=

【知识点】−由3终边或终边上的点求三角函数值、二倍角的正切公式

【分析】利用三角函数的定义，可求得，再用二倍角正切公式即可求值.

3

tan�=−3

【详解】由点在角的终边上，可得5π，

5π5πsin65π3

5π

�cos6,sin6�tan�=cos6=tan6=−3

则323.

2tan�2×−3−3

222

1−tan�3

tan2�==1−−=3=−3

故答案为：3

12.(25-26高−三上3·北京朝阳·期中)函数的定义域是.

【答案】【难度】�0�.94=�+tan�

π

【知识点】�|具�体≠函2+数�的π,定�义∈Z域、求正切(型)函数的定义域

【分析】定义域是两个函数定义域的交集.

【详解】因��为函数的定义域为，的定义域为，

π

所以函数的定义�=域�为R�=ta，n��|�≠2+�π,�∈Z

π

故答案为：���|�≠.2+�π,�∈Z

π

13.(25-26高三�|上�≠·北2京+·�月π考,�)∈已Z知角的终边经过点，则的值是.

【答案】【难度】0.85�−1,1sinπ+�

2

【知识点】−诱2导公式二、三、四、由终边或终边上的点求三角函数值

【分析】由三角函数的定义及诱导公式即可求解.

【详解】由题意可得，，则，所以，

22�12

所以�=−1,，�=1�=(−1)+1=2sin �=�=2=2

2

故答案sin为π：+�.=−sin�=−2

2

2

−考点二三角恒等变换

1．(2025年高考北京卷数学真题T13填空题5分)已知，且，

.写出满足条件的一组的值�，,�∈[0,2π]si．n(�+�)=sin(�−�)cos(�+�)≠

c【os答(�案−】�)(答案不唯一)；(答案�,不�唯一�)=�=

ππ

【难度】02.656

【知识点】找出终边相同的角、诱导公式二、三、四

【分析】根据角的三角函数的关系可得角的等量关系，从而可得满足条件的一组解.

【详解】因为，，

所以sin的�终+边�关=于si轴n�对−称�，且c不os与�+轴�重合≠，cos�−�

故�+�,�−��且�，

π

即�+�+�−�=π，+故2取�π,�∈Z�+可�满≠足2题+设�π要,�求∈；Z

πππ

故答�=案2为+：�π；,�(∈答Z案不唯�一=)2,�=6

ππ

26

知识1同角关系

1.平方关系：sin2α＋cos2α＝1．

2.商数关系：＝tanα．

𝑠���

3.变形：(1)(s�i�n��α±cosα)(2�＝≠1±�2�si+nα2c,o�s∈α�)，

(2)sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)=；1±𝑠�2�

(3)cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；

(4)sinα＝tanαcosα．

�

知识2诱导公式(�≠��+2,�∈�)

正弦、余弦的诱导公式：奇变偶不变，符号看象限。

公式一二三四五六

角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α

��

22

正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα

余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα

正切tanαtanα－tanα－tanα

口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限

1.诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限．

“奇”“偶”指的是“k·＋α(k∈Z)”中的k是奇数还是偶数．

�

“变”与“不变”是指函2数的名称的变化，若k是奇数，则正、余弦互变；若k为偶数，则函数名称不变．

ππ

“符号看象限”指的是在“k·＋α(k∈Z)”中，将α看成锐角时，“k·＋α(k∈Z)”的终边所在的象限．

22

为偶数为偶数

通用公式：n；n

2.22

nπ为奇数nπ为奇数

(−1n)−1sinα,(n)(−1)n+c1osα,(n)

sin(2+α)=2cos(2+α)=2

知识3和差角公式(−1)cosα,(n)(−1)sinα,(n)

cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))；

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ(C(α＋β))

sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ(S(α－β))；

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ(S(α＋β))

(T(α－β))

tanα−tanβπ

tan(α−β)=1+tanαtanβ(α,β,α−β≠2+kπ,k∈Z)

(T(α＋β))

tanα+tanβπ

1−tanαtanβ2

知tan识(α4+二β)倍=角公式(α,β,α+β≠+kπ,k∈Z)

sin2α＝2sinαcosα；

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

且．

2tanαπkππ

2

tan2α=1−tanα(α≠kπ+2,α≠2+4,k∈Z)

拓展：万能公式：，，知识

25

2tanα1−tanα

22

知识5常用公式变sin形2α=1+tanαcos2α=1+tanα

(1)降幂公式：；．

21−𝑐�2�21+𝑐�2�𝑠�2�

(2)升幂公式：1𝑠＋�c�os=α＝22;；𝑐�1－�c=osα＝22𝑠；��𝑐��=2

2�2�

1＋sinα＝；𝑐1�－2sinα＝𝑠�2．

��2��2

(3)正切和差(�角��公2+式�变��形2：)tanα±tanβ＝(t�a�n�(α2±−β)�(1��2ta)nαtanβ)．

(4)辅助角公式：asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)其∓中．

ba

2222

特别的：sinα±cosα＝2sin；sinα±3co(sα＝s2isniφn=a+b；,co3sφin=α±caos+bα＝)2sin．

πππ

知识6角的配凑(α±4)(α±3)(α±6)

①；

α

②α=2∙2；；

③α=(α+β)−βα=β−；(β−α)；

11

④α=2(α+β)+(α−；β)β=2(α+β.)−(α−β)

πππππ

【(易4错+提α)醒=】2−(4−α)α=4−(4−α)

①如果涉及到开平方，注意符号，

②对于交的陪凑，要理解清楚.

题型1同角关系

1.(25-26高一上·北京平谷·月考)如果，那么

【答案】/【难度】0.85tan�=3sin�⋅cos�=

3

【知识点】10已0.3知弦(切)求切(弦)、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系

【分析】利用平方关系和商数关系将化为，代入即可求解.

tan�

2

【详解】因为，所以sin�⋅cos�tan�+1ta.n�=3

sin�⋅cos�tan�3

222

故答案为：.tan�=3sin�⋅cos�=sin�+cos�=tan�+1=10

3

2.(25-26高三10上·北京·月考)已知，则.

12

【答案】【难度】0.85tan�=−3sin�cos�+cos�=

3

【知识点】5三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、正、余弦齐次式的计算

【分析】由即可求值

2

sin�cos�+cos�tan�+1

2222

sin�cos�+cos�=sin�+cos�=tan�+1

【详解】，1

2.

1sin�cos�+cos�tan�+1−3+13

22221

∵tan�=−3∴sin�cos�+cos�=sin�+cos�=tan�+1=9+1=5

故答案为：.

3

3.(25-26高三5上·北京密云·月考)若，是第二象限的角，则，．

4

【答案】/；/【难度】0si.n65�=5�cos�=tan2�=

3243

【知识点】−5二−倍0.角6的7正3切7公式、二倍角的余弦公式、已知弦(切)求切(弦)、已知正(余)弦求余(正)弦

【分析】根据的值以及角所在象限求出，再利用二倍角的正弦、余弦公式计算出与

即可得出si的n�值.�cos�sin2�cos2�

【详解】因ta为n2�，是第二象限的角，所以，

2

4243

51−sin�55

所以sin�=�，cos�=−=−1−=−，

2

4324237

sin2�=2sin�cos�=2×5×−5=−25cos2�=2cos�−1=2×−5−1=−25

所以24，

sin2�−2524

7

tan2�=cos2�=−25=7

故答案为：；.

324

4．(25-26高−三5上·7北京·开学考试)若，，则，．

π4

【答案】；【难度】0.85−2<�<0sinπ+�=5tan�=sinπ−2�=

424

【知识点−】3二倍−角25的正弦公式、诱导公式二、三、四、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、

已知弦(切)求切(弦)

【分析】第一空利用诱导公式求出，再利用同角三角函数基本关系求出；第二空先利用诱导公式

化简，再利用二倍角的正弦公式求解sin.�tan�

【详解】因为,,所以，，

�4423

故−2<；�因<为0sinπ+�=5sin�=−5cos�=1−sin�=5，

sin�44324

故答tan案�为=：cos�=；−3.sin�−2�=sin2�=2sin�cos�=2×−5×5=−25

424

−3−25

1.(河北省邯郸市等3地2025-2026学年高三上学期11月期中数学试题)已知角以为始边，它的终边与单

���

位圆相交于点，其中点在第一象限，且点的横坐标为，则3π的值是()

3cos�−2

A．��B．�C�．5cos−Dπ−．�

3344

【答−案5】C【难度】0.8553−3

【知识点】诱导公式二、三、四、诱导公式五、六、由终边或终边上的点求三角函数值

【分析】根据三角函数的定义得到，再利用诱导公式求解即可.

4

tan�=3

【详解】由三角函数定义可知，，，所以，3π．

344cos�−2−sin�4

故选:Ccos�=5sin�=5tan�=3cos−π−�=−cos�=tan�=3

2．(25-26高三上·北京·月考)“”是“”的()

π

A．充分不必要条件B．必∃要�∈不�充,分�条=件�+2C+．2�充π分必要条co件s�+siDn．�=既0不充分也不必要条件

【答案】C【难度】0.65

【知识点】充要条件的证明、三角函数的化简、求值——诱导公式

【分析】根据诱导公式和余弦函数定义，结合充分条件、必要条件的概念判断即可.

【详解】当，时，