2026年高考数学复习讲练测专题 04 导数及其应用（高频考点专练）（解析版）

专题04导数及其应用

目录

高频考情深度解读（高考命题规律透视+培优备考要求）

核心考点系统梳理（重难知识图谱+解题结论与高效技巧）

聚焦题型精准解密（8大题型精讲+变式拔高训练）

题型一求曲线上一点处的切线方程（）

题型二利用导数求函数的单调区间（含参与不含参）（）

题型三由函数在区间上的单调性求参数（）

题型四函数的极值（）

题型五函数的最值（）

题型六利用导数证明不等式（）

题型七利用导数研究不等式恒成立问题（）

题型八利用导数研究函数零点问题（）

实战演练高效提分（高考仿真模拟+限时训练提升）

有关导数的北京高考试题，导数小题一般以课程学习情境为主,突出基础性;大题一般以探索创新情境为

主,突出综合性,作为载体的指数函数、对数函数、三角函数应引起足够的重视.在备考时应注意以下两点:

(1)利用导数的几何意义解决与函数的切线有关的问题、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题

要侧重通性通法,含参的讨论要准确把握住分类标准,有条不紊地进行分类讨论;(2)不等式恒(能)成立问题、利

用导数证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题,要侧重函数与方程、数形结合、分类讨论的思想方

法的渗透,加强逻辑思维能力、运算求解能力、创新能力的训练,突出理性思维和数学探索的学科素养的培养

基础知识必备：熟练掌握导数的切线、极值、最值问题；掌握恒成立、单调性及证明不等式

2026高考预测：导数小题一般切线最值及极值,突出基础性，大题一般侧重单调性、恒成立问题、利用导数

证明不等式、利用导数研究零点或方程解的问题

重难知识汇总：

1.导数运算问题

①几个常用函数的导数

fxc(c为常数)fx0fxx2fx2x

111

fxfxfxxfx

xx22x

②基本初等函数的导数公式

fxxaaQfxaxa1fxsinxfxcosx

fxcosxfxsinxfxaxfxaxlnaa0,a1

1

fxexfxexfxlogxfxa0,a1

axlna

1

fxlnxfx

x

③简单函数导数的运算法则

[f(x)g(x)]f(x)g(x)

两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)

fxgxfxgxfxgx

两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数

f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

[]g(x)0

g(x)g(x)2

两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方

④复合函数的导数

定义：一般地，对于两个函数yfu和ugx，如果通过变量u,y可以表示成x的函数，那么称这个

函数为yfu和ugx的复合函数，记作yfgx

求导：复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对

yfgxyfuugxyxyuuxyx

的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积

简称：由外到内依次求导

2.函数的单调性

一般地，设函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，则在区间(a，b)内，

(1)若f′(x)＞0，则f(x)在这个区间内单调递增。

(2)若f′(x)＜0，则f(x)在这个区间内单调递减。

(3)若f′(x)＝0，则f(x)在这个区间内是常数函数。

3.函数的极值

函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，

f(x)x0x0f(x)f(x0)f(x0)

记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作

y极大值f(x0)x0f(x)f(x0)f(x0)

．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．

y极小值f(x0)x0

注：求可导函数f(x)极值的一般步骤

（1）先确定函数f(x)的定义域；（2）求导数f(x)；（3）求方程f(x)0的根；

（4）检验f(x)在方程f(x)0的根的左右两侧的符号，如果在根的左侧附近为正，在右侧附近为负，那

么函数yf(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在右侧附近为正，那么函数yf(x)在

这个根处取得极小值．

4.函数的最值

函数yf(x)最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数f(x)最小值为极小值与靠近极

大值的端点之间的最小者．

导函数为2

f(x)axbxca(xx1)(xx2)(mx1x2n)

（1）当a0时，最大值是f(x1)与f(n)中的最大者；最小值是f(x2)与f(m)中的最小者．

（2）当a0时，最大值是f(x2)与f(m)中的最大者；最小值是f(x1)与f(n)中的最小者．

一般地，设yf(x)是定义在[m，n]上的函数，yf(x)在(m，n)内有导数，求函数yf(x)在[m，n]上

的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求yf(x)在(m，n)内的极值（极大值或极小值）；

（2）将yf(x)的各极值与f(m)和f(n)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

常用技巧方法：

1.利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下三点：

（1）函数在切点处的导数值是切线的斜率，即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．

（2）切点既在曲线上，又在切线上，切线还有可能和曲线有其它的公共点．

（）曲线＝“在”点处的切线与“过”点的切线的区别：曲线＝在点

3yfxP(x0,y0)P(x0,y0)yfx

处的切线是指点为切点，若切线斜率存在，切线斜率为＝，是唯一的一条切线；曲线

P(x0,y0)Pkfx0

＝过点的切线，是指切线经过点，点可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可

yfxP(x0,y0)PP

能有多条．

①在点的切线方程

切线方程的计算：函数在点，处的切线方程为

yf(x0)f(x0)(xx0)yf(x)A(x0f(x0))

y0f(x0)

yf(x)f(x)(xx)，抓住关键．

000

kf(x0)

②过点的切线方程

设切点为，，则斜率，过切点的切线方程为：，

P(x0y0)kf(x0)yy0f(x0)(xx0)

又因为切线方程过点，，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线）

A(mn)ny0f(x0)(mx0)x0x0

2.有关可导函数单调性问题

①．求可导函数单调区间的一般步骤

（1）确定函数f(x)的定义域；

（2）求f(x)，令f(x)0，解此方程，求出它在定义域内的一切实数；

（3）把函数f(x)的间断点（即f(x)的无定义点）的横坐标和f(x)0的各实根按由小到大的顺序

排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；

（4）确定f(x)在各小区间内的符号，根据f(x)的符号判断函数f(x)在每个相应小区间内的增减性.

注①使f(x)0的离散点不影响函数的单调性，即当f(x)在某个区间内离散点处为零，在其余点处

均为正（或负）时，f(x)在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在(,)上，f(x)x3，

当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)0，而显然f(x)x3在(,)上是单调递增函数.

②若函数yf(x)在区间(a,b)上单调递增，则f(x)0（f(x)不恒为0），反之不成立.因为

f(x)0，即f(x)0或f(x)0，当f(x)0时，函数yf(x)在区间(a,b)上单调递增.当f(x)0

时，f(x)在这个区间为常值函数；同理，若函数yf(x)在区间(a,b)上单调递减，则f(x)0（f(x)

不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这个函数在该区间上单调递增的充分

不必要条件.于是有如下结论：

f(x)0f(x)单调递增；f(x)单调递增f(x)0；f(x)0f(x)单调递减；f(x)单调递减

f(x)0.

②利用函数的单调性求参数的取值范围的解题思路

①由函数在区间[a,b]上单调递增(减)可知fx0(fx0)在区间[a,b]上恒成立列出不等式；

②利用分离参数法或函数的性质求解恒成立问题；

③对等号单独检验，检验参数的取值能否使fx在整个区间恒等于0，若fx恒等于0，则参数的这

个值应舍去；若只有在个别点处有fx=0，则参数可取这个值．

3讨论单调区间问题

类型一：不含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；

（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒

负，无需单独讨论的部分)；

（3）求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数

正负区间段已知，可直接得出结论)；

（4）未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；

（5）正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；

（6）一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；

求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导．

（7）借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)；

类型二：含参数单调性讨论

（1）求导化简定义域(化简应先通分，然后能因式分解要进行因式分解，定义域需要注意是否是一个连

续的区间)；

（2）变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒

负，无需单独讨论的部分)；

（3）恒正恒负先讨论(变号部分因为参数的取值恒正恒负)；然后再求有效根；

（4）根的分布来定参(此处需要从两方面考虑：根是否在定义域内和多根之间的大小关系)；

（5）导数图像定区间；

4.函数恒成立问题

恒成立问题

（1）若函数在区间D上存在最小值和最大值，则

fxfxminfxmax

不等式在区间D上恒成立；

fxafxmina

不等式在区间D上恒成立；

fxafxmina

不等式在区间D上恒成立；

fxbfxmaxb

不等式在区间D上恒成立；

fxbfxmaxb

（2）若函数fx在区间D上不存在最大（小）值，且值域为m,n，则

不等式fxa或fxa在区间D上恒成立ma．

不等式fxb或fxb在区间D上恒成立mb．

（3）若函数在区间Ｄ上存在最小值和最大值，即，则对不等式

fxfxminfxmaxfxm,n

有解问题有以下结论：

不等式在区间D上有解；

afxafxmax

不等式在区间D上有解；

afxafxmax

不等式在区间D上有解；

afxafxmin

不等式在区间D上有解；

afxafxmin

（4）若函数fx在区间D上不存在最大（小）值，如值域为m,n，则对不等式有解问题有以下

结论：

不等式afx或afx在区间D上有解an

不等式bfx或bfx在区间D上有解bm

（5）对于任意的，总存在，使得；

x1a,bx2m,nfx1gx2fx1maxgx2max

（6）对于任意的，总存在，使得；

x1a,bx2m,nfx1gx2fx1mingx2min

（7）若存在，对于任意的，使得；

x1a,bx2m,nfx1gx2fx1mingx2min

（8）若存在，对于任意的，使得；

x1a,bx2m,nfx1gx2fx1maxgx2max

（9）对于任意的，使得；

x1a,bx2m,nfx1gx2fx1maxgx2min

（10）对于任意的，使得；

x1a,bx2m,nfx1gx2fx1mingx2max

（11）若存在，总存在，使得

x1a,bx2m,nfx1gx2fx1mingx2max

（12）若存在，总存在，使得．

x1a,bx2m,nfx1gx2fx1maxgx2min

5.函数零点问题

函数零点问题的常见题型：判断函数是否存在零点或者求零点的个数；根据含参函数零点情况，求参

数的值或取值范围．

求解步骤：

第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图像与x轴（或直线yk）在某区间上的

交点问题；

第二步：利用导数研究该函数在此区间上的单调性、极值、端点值等性质，进而画出其图像；

第三步：结合图像判断零点或根据零点分析参数．

6.导数证明不等式问题

利用导数证明不等式问题，方法如下：

（1）直接构造函数法：证明不等式fxgx（或fxgx）转化为证明fxgx0（或

fxgx0），进而构造辅助函数hxfxgx；

（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；

（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数．

（4）对数单身狗，指数找基友

易错避坑提效：

1.对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚

解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数的极值点关系——极值点的导数值为0；②导函数值的符

号与原函数单调性的关系——原函数看增减，导函数看正负。

2.对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻

一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0，且导

函数在此区间的任意子区间上都不恒为0。切记导函数在某区间上恒大（小）于0仅为该函数在此区间上单

调增（减）的充分条件。

3.误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系

在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函

数的符号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极

值关系不清。可导函数在一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是

且在两侧异号。

f(x0)0f(x)x0

题型一求曲线上一点处的切线方程

【例1】（2023·北京东城·一模）过坐标原点作曲线yex21的切线，则切线方程为（）

1

A．yxB．y2xC．yxD．yex

e2

【答案】A

【分析】设切点坐标为(t,et21)，求得切线方程为y(et21)et2(xt)，把原点(0,0)代入方程，得到

(t1)et21，解得t2，即可求得切线方程.

【详解】由函数yex21，可得yex2，

设切点坐标为(t,et21)，可得切线方程为y(et21)et2(xt)，

把原点(0,0)代入方程，可得0(et21)et2(0t)，即(t1)et21，

解得t2，所以切线方程为y(e01)e0(x2)，即yx.

故选：A.

x3,x0

【变式1-1】（2024·北京海淀·一模）已知fx，函数f(x)的零点个数为m，过点(0,2)与

lgx1,x0

曲线yf(x)相切的直线的条数为n，则m,n的值分别为（）

A．1,1B．1,2C．2,1D．2,2

【答案】B

【分析】借助分段函数性质计算可得m，借助导数的几何意义及零点的存在性定理可得n.

【详解】令fx0，即x0时，x30，解得x0，

x0时，lgx10，无解，故m1，

设过点(0,2)与曲线yf(x)相切的直线的切点为x0,y0，

232

当x0时，fx3x，则有yx03x0xx0，

323

有2x03x0x0，整理可得x01，即x01，

即当x00时，有一条切线，

lgelge

当x0时，fx，则有ylgx01xx0，

x1x01

lge

有2lgx01x0，整理可得2lgex02x01lgx010，

x01

令gx2lgex2x1lgx1x0，

则gx2lgx1，

令gx0，可得x99，

故当x0,99时，gx0，即gx在0,99上单调递增，

当x99,时，gx0，即gx在99,上单调递减，

由g992lge99220099lge0，

g02020，故gx在x0,99上没有零点，

又g9992lge999210003999lge10000，

故gx在99,999上必有唯一零点，

即当x00时，亦可有一条切线符合要求，

故n2.

故选：B.

1

【变式1-2】（2024·北京朝阳·一模）已知函数fxsin2x.若曲线yfx在点Ax,fx处的切线与

211

其在点Bx2,fx2处的切线相互垂直，则x1x2的一个取值为.

π

【答案】(答案不唯一)

2

【分析】利用导数的几何意义，结合条件可知，cos2x1cos2x21，再根据函数的取值，即可求解.

【详解】fxcos2x，由题意可知，fx1fx21，

cos2x11π

即cos2x1cos2x21，所以，得x1k1π，x2k2π，k1,k2Z，

cos2x212

cos2x11π

或，得x1k3π，x2k4π，k3,k4Z，

cos2x212

ππ

所以xxkkπ，xxkkπ，k1,k2,k3,k4Z,

1221212234

π

所以xx的一个取值为.

122

π

故答案为：(答案不唯一)

2

1x

【变式1-3】（2025·北京西城·模拟预测）已知函数f(x)ae，aR．

x

(1)当a0时，求曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程；

(2)当a1时，求函数f(x)的单调递减区间；

(3)若函数fx在区间0,1上只有一个极值点，求a的取值范围．

【答案】(1)ye0

1515

(2)0,，,0

22

(3)0,

【分析】（1）当a0时，求出f(1),f(1)的值，利用导数的几何意义可求得所求切线的方程；

（2）当a1时，求出f(x)，利用函数的单调性与导数的关系可求得函数f(x)的单调递增区间；

（3）令g(x)ax2x1，分析可知，函数g(x)在0,1上有且只有一个异号零点，对实数a的取值进行分

类讨论，结合题意可得出关于实数a的不等式，综合可得出实数a的取值范围.

exexx1

【详解】（1）当a0时，f(x)，则f(x)，

xx2

所以f(1)e,f(1)0，

曲线yf(x)在点(1,f(1))处的切线方程为ye0，

x

1xex1

（2）当a1时，f(x)1e，

xx

所以该函数的定义域为x|x0，

x2xexexx1exx2x1

f(x)，

x2x2

21515

由f(x)0xx10，解得x0或0x，

22

1515

所以当a1时，求函数f(x)的单调递减区间为0,，,0

22

1x

（3）因为f(x)ae，

x

x2

11xeaxx1

则f(x)ae，

xx2x2

令g(x)ax2x1，因为函数fx在区间0,1上只有一个极值点，

则函数g(x)在0,1上有一个零点，

当a0时，对任意的x0,1，g(x)x10，不合乎题意；

当a0时，函数g(x)在0,1上单调递增，

因为g(0)10，只需g(1)=a>0，合乎题意；

1

当a0时，函数g(x)的图象开口向下，对称轴为直线x0，

2a

因为g(0)10，只需g(1)=a>0，不合乎题意，舍去.

综上所述，实数a的取值范围是0,.

题型二利用导数求函数的单调区间（含参与不含参）

【例2】（2025·北京海淀·三模）已知函数fx2exalnx12．

(1)求曲线yfx在点0,f0处的切线；

(2)当a2时，讨论函数fx的单调性；

(3)当a0时，若对任意的x0,π，fxsinx恒成立，求a的取值范围．

【答案】(1)y2ax

(2)fx的减区间为1,0,增区间为0,

(3)1,0

【分析】（1）根据导数的几何意义即可求解；

（2）根据导数即可判断单调区间；

（3）构造函数hx2exalnx12sinx0对任意x0,π恒成立，据此根据导数求解即可.

a

【详解】（1）由fx2exalnx12，得fx2ex，

x1

则f02a，又f00，

所以曲线yfx在点0,f0处的切线为y2ax；

（2）当a2时，fx2ex2lnx12,x1,，

x2x1

所以fx2e2e，

x1x1

1x1

令gxex，则gxe0，

x1(x1)2

所以gx在1,单调递增，且g00，

所以当x1,0时，gx0，则fx0，函数fx单调递减，

当x0,时，gx0，则fx0，函数fx单调递增，

所以函数fx的减区间为1,0，增区间为0,；

（3）设hxfxsinx2exalnx12sinx,x0,π，

a

则hx2excosx，

x1

a

因为a0时，所以y为增函数，

x1

又y2ex,ycosx在0,π上都是增函数，

所以函数yhx在0,π上单调递增，且h02a11a，

当1a0即a1时，h00，

所以函数yhx在0,π上单调递增，所以hxh00，

所以1a0时，符合题意；

a

②当1a0即a1时，h00，又hπ2eπ1，

π1

当hπ0即aπ12eπ1时，hx0恒成立，

所以函数yhx在0,π上单调递减，所以hxh00，

此时不符合题意；

当hπ0即π12eπ1a1时，

存在x00,π，使得hx00，

且当x0,x0时，hx00，当xx0,π时，hx00，

即函数yhx在0,x0上单调递减，此时hxh00，不符合题意；

综上所述，a的取值范围是1,0.

【变式2-1】（2025·北京·三模）设函数fxx2kxln2x，且在1,f1处的切线方程为y2ln2.

(1)求k的值；

(2)求（fx）的单调区间；

(3)设yg（x）为（fx）在点t,ft切线方程，是否存在t使得函数hxfxgx单调？若存在，求出

所有t的值；如不存在，说明理由.

【答案】(1)k3

11

(2)单调递增区间为0,和1,，单调递减区间为,1

22

2

(3)t

2

f13k0

【分析】（1）根据导数的几何意义可得，可得解；

f11kln22ln2

（2）利用导数求函数单调性；

（3）求出切线方程，设hxfxgx，转化为hx0在0,恒成立，再由二次函数性质可解.

11

【详解】（1）fx2xk22xk，

2xx

f13k0

则，

f11kln22ln2

解得k3；

12x1x1

（2）fx2x3,x0,，

xx

1

令fx0，得x或x1，

2

11

当x0,1,时，fx0，所以函数（fx）在0,和1,上单调递增，

22

11

当x,1时，fx0，所以函数（fx）在,1上单调递减，

22

11

所以函数（fx）单调递增区间为0,和1,，单调递减区间为,1；

22

11

（3）因为fx2x3，所以ft2t3，ftt23tln2t，

xt

21

所以xt处切线方程为yt3tln2t2t3xtt0，

t

12

整理得：gx2t3xln2tt1，

t

设hxfxgx，

212

则hxfxgxx3xln2x2t3xln2tt1

t

21x2

x2txlnt1，

tt

1

2xxt

所以11t，

hx2x2t

xtx

若hx在0,单调，则h（x）0恒成立，

2

2

1

所以只有即2或2（舍）时，2x恒成立，

ttt2

2t22hx0

x

2

即（hx）在0,单调递增，所以t.

2

e2x

【变式2-2】（2025·北京延庆·一模）已知函数f(x)(1a)exax.

2

(1)若a1，求f(x)在(1,f(1))处的切线方程；

(2)若a1，求f(x)的单调区间；

(3)若a1，且f(m)f(n)0(mn)，证明：f(m)f(n)3.

1

【答案】(1)y1e2xe2

2

(2)单调递增区间为(0,ln(a))，单调递减区间为(,0)，(ln(a),)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线斜率即可得解；

（2）求出导数，再根据f(x)0得出方程的根，列表即可求出函数单调区间；

（3）求出fmfn，构造函数，利用导数判断函数单调性，由单调性求出函数最小值即可得证.

e2x

【详解】（1）由a1，所以fxx,fx1e2x.

2

所以kf11e2，

e2

又f11，

2

2

e2

所以曲线yf(x)在(1,f(1))处的切线方程为y11ex1，

2

1

即y1e2xe2.

2

e2x

（2）由fxax1aex，定义域为R，

2

fxa1aexe2xexa1ex.

令f(x)0得x10或x2lnaa1.

因为a1，所以a1.

所以x2lnaln10，

列表：

x(,0)0(0,ln(a))ln(a)(ln(a),)

f(x)00

f(x)递减递增递减

所以f(x)的单调递增区间为(0,ln(a))，单调递减区间为(,0)，(ln(a),)

（3）因为fxexa1ex，

又a1，f(m)f(n)0(mn)，

所以em,en是方程x21axa0的两个根.

emen1a

依题意，有，

mn

eea

所以emna，即mnln(a)，

e2me2n

所以fmfnam1aeman1aen

22

e2me2n

amn1aemen

2

mn2mn

2ee2ee

alna1a

2

22

21a1a

alna1aaalnaa，

22

12

令gaalna1aa，则g(a)ln(a)a1，

2

1

令h(a)g(a)ln(a)a1，则ha1.

a

1a1

因为a1，所以ha10，

aa

所以g(a)ln(a)a1在(,1)上是增函数，

所以gag120，所以g(a)在(,1)为减函数，

所以g(a)g(1)3，即f(m)f(n)3.

【点睛】关键点点睛：根据题意计算出fmfn是解题的第一个关键，再由二次求导判断出函数单调性，

利用单调性求最值是解决问题的第二个关键所在.

【变式2-3】（2022·北京顺义·二模）若函数fxx1ex.

(1)判断方程fx1解的个数，并说明理由；

1

(2)当a0，设gxfxax2，求gx的单调区间.

2

【答案】(1)仅有一个，理由见解析；

(2)答案见解析.

【分析】（1）由题可得fxxex，进而可得函数fx的极大值为1，即得；

（2）由题可得gxxaex，分0a1，a1，a1讨论即得.

【详解】（1）方程fx1仅有一个解，

因为fxx1ex，

所以fxx1exx1exxex，

令fx0可解得x0，

所以fx单调性如下表：

x,000,

fx0

fx单调递增极大值单调递减

又f01，即fx的极大值为1，

所以方程fx1仅有一个解；

1

（2）因为gxx1exax2，

2

所以gxxaex，

令gx0可得x0或xlna

分类讨论如下：（i）当0a1时，lna0

所以gx的单调性如下

x,000,lnalnalna,

gx00

gx单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以gx的单调增区间为,0，lna,，单调减区间为0,lna；

（ii）当a1时，lna0，此时gx0恒成立

所以gx的单调增区间为R，无单调减区间

（iii）当a1，lna0，

所以gx的单调性如下

x,lnalnalna,000,

gx00

gx单调递增极大值单调递减极小值单调递增

所以gx的单调增区间为,lna，0,，单调减区间为lna,0.

题型三由函数在区间上的单调性求参数

π

【例3】（2024·北京朝阳·模拟预测）已知函数fxsin2xasinx在0,上是增函数，则实数a的最小值

3

为（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

π1

【分析】由题意可知，对任意的x0,，fx0，令tcosx，则t,1，可得出4t2at20，

32

利用参变量分离法可求出a的最小值.

【详解】因为fxsin2xasinx，则fx2cos2xacosx4cos2xacosx2，

π1

因为x0,，令tcosx，则t,1，

32

ππ

因为函数fx在0,上是增函数，则对任意的x0,，fx0恒成立，

33

12

即对任意的t,1，4t2at20，可得a4t，

2t

21

因为函数y、y4t在区间,1上为减函数，

t2

211

所以，函数在,1上为减函数，则agtg422，

gt4tmax

t22

因此，实数a的最小值为2.

故选：B.

x33ax,x1

【变式】（北京石景山一模）设函数，

3-12024··fx2

3xa,x1

①若fx有两个零点，则实数a的一个取值可以是；

②若fx是R上的增函数，则实数a的取值范围是．

1

【答案】1（a内的值都可以）0a1或a2

3

【分析】①分析函数的性质，确定零点所在的区间，通过解方程的方法，即可求解；

②根据分段函数的形式，确定两段函数都是单调递增，并根据分界点处函数值的关系不等式，即可求解.

【详解】①函数fx3xa2在1,上单调递增，f13a20，

所以函数fx在区间1,上无零点，

则函数fxx33ax在,1上有2个零点，

2

即x33ax0，xx3a0，则x0，或x3a或x3a，a0，

1

则3a1，解得：a，

3

所以a的一个值是1；

②函数fx3xa2在1,上单调递增，

3

则在,1上，fxx3ax也单调递增，且133a31a2，

若函数在fxx33ax在区间,1单调递增，

2

则fx3x3a0，即ax2在区间,1上恒成立，

即ax2，即，

maxa0

不等式133a31a2，解得：a2或a1，

综上可知，0a1或a2.

1

故答案为：1（a内的值都可以）；0a1或a2

3

alnx1

【变式3-2】（2025·北京朝阳·二模）已知函数fx(a0)．

ex1

(1)若a0，求函数fx在区间1,上的最大值；

(2)若fx在区间0,1上存在单调递减区间，求a的取值范围；

(3)若fx存在极值点x0，且fx01，求a的值．

【答案】(1)1

(2)0,1

(3)a1

【分析】（1）求导，利用导函数的符号判断fx在1,的单调性进而求最大值即可；

（2）求导，结合导数的几何意义按a的不同取值范围分类讨论求解即可；

fx00

（3）由极值点的概念可得，消去a得ex011xlnx10（*），令hxex11xlnx1，

00

fx01

利用导数可得hx0，当且仅当x1时取等号，又（*）等价于hx00，解得x01，代入求出a的值即

可.

11

【详解】（1）若a0，则fxx0，fx，

ex1ex1

当x1时，f