2026年高考数学复习讲练测专题04 函数的性质综合（单调性、奇偶性、对称性、周期性）（北京专用）（原卷版）

专题04函数的性质综合（单调性、奇偶性、对称性、周期性）

目录

第一部分题型破译微观解剖，精细教学

典例引领方法透视变式演练

【选填题破译】

题型01函数的单调性

题型02函数的最值

题型03根据单调性或最值求参

题型04判断函数的奇偶性

题型05判断函数奇偶性单调性

题型06根据奇偶性单调性比较函数值

题型07根据奇偶性单调性求不等式

题型08函数的周期性

题型09函数的对称性

题型10函数的综合性质

【解答题破译】

题型01函数的基本性质应用于恒成立

题型02函数的基本性质求不等式

第二部分综合巩固整合应用，模拟实战

题型01函数的单调性

x2

【例1-1】（25-26高一上·北京·月考）若函数fx与gx76互为反函数，则f4x的单调增

区间是（）

A．0,2B．2,0C．0,D．,0

1

【例1-2】（25-26高一上·北京·期中）给定函数①yx22x；②y；③yx1；④y1x中，

x1

其中在区间1,上单调递增的函数序号是（）

A．①B．②C．③D．④

判断函数单调性或单调区间的方法：

1、根据常见的几个函数判断单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数对数幂函数，这些常见的

初等函数的单调性可以直接判断处理。

2、根据基本初等函数的一些变换，如平移、翻折（取绝对值的）、对称的函数的单调性可以根据图像的性

质来判断单调性

3、根据单调性的定义来判断：一般地，设函数的定义域为：

①如果对于定义域内某个区间上的任意两个自�变�量的值、�，当时都有．那么就

说在这个区间上�是增函数．�在单调区间上，增函数的图�1像是�2上升的�1；<�2��1<��2

②如果对于定义�域�内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时都有．那么就

说在这个区间上�是减函数．�在单调区间上，减函数的图�1像是�2下降的�1．<�2��1>��2

注意：函数单调性��定义中的、有三个特征，一是任意性，二是有大小，三是同属于一个单调区间．

4、单调性定义的等价形式�1�2

①设，那么在是增函数；在是减函数；

��1−��2��1−��2

②�1,�2∈�,��1−�2>0⇔在��是减�,函�数.�1−�2<0⇔���,�在是增函

数.�1−�2��1−��2<0⇔�(�)�,��1−�2��1−��2>0⇔�(�)�,�

5、复合函数的单调性

判断复合函数单调性的步骤：

①确定函数定义�=域�；��

②将复合函数分解成；

③分别确定这两个函数�=的�单�调,性�；=��

④若这两个函数在对应区间上同增或同减，则为增函数；若这两个函数为一增一减，则

为减函数．�=����=

���

【变式1-1】（25-26高二上·北京·期中）下列函数中，在其定义域内是减函数的是（）

1

A．f(x)2xB．f(x)ln

x

1

C．f(x)log3xD．f(x)

x

，

【变式1-2】（25-26高三上·北京·月考）对于函数fx定义域中任意的x1x2x1x2，给出如下四个结论：

①fx1x2fx1fx2；

②fx1x2fx1fx2；

fxfx

③120；

x1x2

xxfx1fx2

④f12．

22

满足其中三个结论的函数是（）

A．fxlgxB．fx2xC．fxxD．fxx3

题型02函数的最值

xx

【例2-1】（25-26高一上·北京顺义·期中）函数fx24（）

A．有最大值，也有最小值

B．没有最大值，有最小值

C．有最大值，没有最小值

D．没有最大值，也没有最小值

1

【例2-2】（25-26高三上·北京·月考）已知对数函数fx过点，2，则fx的解析式为，

4

1

fx在，32的最大值是．

2

1、判断函数的定义域，在定义域内判断函数的单调性

2、确定特殊点、端点、极值点、极限的函数值

3、根据整个函数图像最后确定函数的最值

2x3，x2

【变式2-1】（24-25高一下·北京·期中）已知aR，函数fx，则下列各项中，不可能的

asinx，x2

是（）

A．fx既有最大值，又有最小值B．fx有最大值，且无最小值

C．fx有最小值，且无最大值D．fx既无最大值，也无最小值

【变式2-2】（25-26高三上·北京海淀·期中）函数fx4x2x（）

A．有最大值，也有最小值B．没有最大值，有最小值

C．有最大值，没有最小值D．没有最大值，也没有最小值

题型03根据单调性或最值求参

xk21,x0

【例】（高一上北京期中）已知函数，若函数存在最小值，则实

3-125-26··fx2fx

x2xk,x0

数k的取值范围为（）

A．2,1B．2,1

C．,21,D．,21,

x33x,xa

【例3-2】（25-26高三上·北京·月考）已知函数fx，若函数fx的最大值是2，则a的

xa,xa

取值范围是．

根据函数的单调性或最值来求参的方法：

1、根据函数单调性的定义来求参数

2、根据导数的性质来决定单调性，然后可以求出参数

3、根据最值来求出，可以用分离参数或者分类讨论来确定最值是否复合要求。

【变式3-1】（25-26高三上·北京房山·月考）设函数f(x)ln(1x)aln(x1)（a为常数），若f(x)为奇

函数，则a；若f(x)是定义域上的减函数，则a的取值范围是.

(32a)x3,x0,

【变式3-2】（25-26高三上·开学考试）已知函数f(x)22若xR，f(x)f(0)，则

x2axa1,x0,

实数a的取值范围为（）

3

A．(,2]B．0,C．0,D．[0,2]

2

题型04判断函数的奇偶性

【例4-1】（2025·北京西城·一模）下列函数中，图像关于y轴对称的是（）

2

A．yx1B．y2x

C．yx4x2D．ylnx

【例4-2】（2025·北京东城·模拟预测）下列函数是奇函数，且函数值恒小于1的是（）．

x11

211x

．．fxln．fxsinx．33

AfxxBCDfxxx

211x

1、根据函数奇偶性的概念来判断函数的奇偶性：

偶函数：若对于定义域内的任意一个，都有，那么称为偶函数．

奇函数：若对于定义域内的任意一个�，都有�−�=��，那么��称为奇函数．

注意：奇偶函数的定义域关于原点对称�，在判�断−奇�偶=性−问�题�的时候，�定�义域也是考察的一个关键点。

2、复合函数的奇偶性

，在它们的公共定义域上有下面的结论:

�(�)�(�)

�(�)�(�)

�(�)�(�)�(�)�(�)�(�(�))

偶函数偶函数+偶�函(数�)−偶�函(数�)偶函数偶函数

偶函数奇函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数偶函数不能确定不能确定奇函数偶函数

奇函数奇函数奇函数奇函数偶函数奇函数

【变式4-1】（25-26高三上·北京顺义·期中）下列函数中满足定义域为R且为偶函数的是（）

A．ysinxcosxB．yxtanx

C．yx2sinxD．yexex

3x,x0,

x

【变式4-2】（2024·北京海淀·二模）函数fx1是（）

,x0

3

A．偶函数，且没有极值点B．偶函数，且有一个极值点

C．奇函数，且没有极值点D．奇函数，且有一个极值点

题型05判断函数奇偶性单调性

【例5-1】（2025·北京·三模）下列函数中，既是奇函数，又在区间0,上单调递增的是（）

3

A．fxlnxB．fx3x

x

1

3

C．fxx3D．fxx3x

【例5-2】（2025·北京·模拟预测）下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是（）

2

x

A．y2B．ylnxC．yx3D．ysinx

函数的奇偶性跟单调性经常会在一起考察

1、确定函数的定义域。

2、判断函数第一象限的单调性。

3、根据函数的奇偶性确定其他象限的图像的性质。

【变式5-1】（2025·北京门头沟·一模）下列函数中，既是奇函数又在0,上单调递增的是（）

1

13

A．yxB．yxxC．2D．ytanx

xyx

【变式5-2】（25-26高三上·北京·月考）下列函数中，是偶函数且在区间0,上有最小值的是（）

xxxx

x2eeee

A．yeB．yex2xC．yD．y

22

题型06根据奇偶性单调性比较函数值

【例6-1】（25-26高一上·北京·期中）定义在R上的偶函数fx满足：对任意的x1，x20,（x1x2），

fxfx

有120，则（）

x1x2

A．f3f2f1B．f1f2f3

C．f2f1f3D．f3f1f2

【例6-2】（25-26高一上·北京·期中）已知fx是定义域为R的偶函数，且在区间,0上单调递减，则

fa22a4与f3的大小关系为（）

A．fa22a4f3B．fa22a4f3

C．fa22a4f3D．fa22a4f3

根据函数的单调性、奇偶性来确定函数的图像，然后根据函数值的分布来比较函数值

1、将不同单调区间的数值根据奇偶性移到同一个单调区间中

2、再根据同一个单调区间的单调性来比较函数值的大小

π

【变式6-1】（25-26高一上·北京·期中）若偶函数fx在(0,)上单调递减，则af2，bf，

2

2

cf的大小关系是（）

3

A．bacB．bca

C．acbD．cab

【变式6-2】（25-26高一上·北京·期中）若函数yfx,x4,4是偶函数，且f1f3，则必有（）

A．f3f1B．f4f4C．f3f1D．f3f1

题型07根据奇偶性单调性求不等式

【例7-1】（25-26高三上·北京东城·月考）已知定义在实数集上的偶函数fx，在0,上单调递增，

f00，f11，则不等式fx2x的解集为（）

A．,11,B．1,1

C．1,D．1,

【例7-2】（25-26高一上·北京·开学考试）定义在R上的偶函数f(x)，对任意的x1，x2(,0)，都有

x1x2fx1fx20，f(1)0，则不等式xf(x)0的解集是（）

A．1,1B．,11,

C．1,01,D．,10,1

利用函数的对称性（奇偶性）和变化趋势（单调性），将一个抽象的不等式（如），转

化为关于自变量更简单、可直接求解的不等式（如或）。�(关�(键�)在)>于�“(脱ℎ(去�)”)函数符

号f，使问题从函数值的关系回归到自变量本身的关系�(。�)>ℎ(�)�(�)<ℎ(�)

必须确认函数的：

1、函数的定义域

2、函数的奇偶性（关于原点或y轴对称）。

3、函数在相关区间上的单调性（单调递增或递减）。

【变式7-1】（25-26高一上·北京·月考）已知奇函数fx的定义域为R且在0,上单调递减，f30，

则满足x1fx0的x的取值范围是（）

A．3,11,3B．,33,

C．3,01,3D．3,01,3

【变式7-2】（25-26高一上·北京·期中）已知定义在R上的函数fx满足下列条件：①f20，

fx2fx1fx

②fxfx0，③对x1，x20,，当x1x2时，都有0，则不等式0的解

x2x1x

集为（）

A．,22,B．2,2

C．2,02,D．,20,2

题型08函数的周期性

0x2,fxlogx

【例8-1】（25-26高三上·北京顺义·月考）若函数fx满足fx1fx.且当1，

2

则f4（）

A．2B．2C．1D．1

【例8-2】（25-26高三上·北京·月考）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x2)f(x)，且f(1)8，则f(7)

（）

A．2B．8C．8D．2

1、函数的周期性常用结论，设函数，，.

①若，则函数的周�=期�为�；�∈��>0

②若�(�+�)=�(�−，�)则函数的周期为2；�

③若�(�+�)=−��，则函数的周期为2�

1

2、根�据�函+�数周=±期�性�求解析式、函数值2�

求啥设啥，在要求的范围内求解析式时，设x在改区域内，然后根据周期性的定义将要求的

定义域跟已知定义域的函数值联系起来，由此求函数解析式，然后求函数值。�(�)=�(�+�)

【变式8-1】（2025·全国一卷·高考真题）已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2x3时，

3

f(x)52x，则f（）

4

1111

A．B．C．D．

2442

【变式8-2】（25-26高三上·北京西城·月考）设f(x)是定义在R上的偶函数，且f1xf1x，当2x3

1

时，f(x)52x，则f．

2

题型09函数的对称性

【例9-1】（25-26高一上·北京·期中）若函数fx在R上满足：f2xf2x.当x2时，fx2fx1，

且当x1,0时，fxx1x.对xR，都有fxm，则m的最大值为（）

11

A．2B．1C．D．

24

x

【例9-2】（25-26高三上·北京·月考）已知fxln，则其定义域是，曲线yfx的对称中

2x

心是．

1、轴对称性的常用结论如下：

（1）若函数满足,则的一条对称轴为

（2）若函数��满足��+�=��−,则��的�一条对称轴为�=�

（3）若函数��满足�2�−�=��,则��的一条对称轴为�=�

a＋b

（4）���2�+�=的�图−�象关�于�直线x=对称；�=�

2

�(�−�)=�(�+�)⇔�(�)

2、中心对称结论如下：

（1）若函数满足，则的一个对称中心为

（2）若函数��满足��+�+��−�=，2�则�的�一个对称中心为�,�

（3）若函数��满足�2�−�+��=2�，则��的一个对称中心为�,�.

���2�+�+�−�=2����,�

1

【变式9-1】（25-26高三上·北京·月考）设函数fxaln1x1aR，

x

①当a1时，fx没有零点；

②当a0时，fx在区间0,上不存在极值；

1

③存在实数a，使得曲线yf为轴对称图形；

x

1

④存在实数a，使得曲线yf为中心对称图形

x

其中所有正确结论的序号是.

21

【变式9-2】（24-25高三上·北京·月考）已知定义在R上的函数f(x)满足下列条件：①f；

32

106

②f(2x)f(2x)0；③图象关于点(4,0)对称，则f．

3

题型10函数的综合性质

【例10-1】（25-26高三上·北京·月考）已知函数fxsinxcosx，给出下列四个统论：

①fx是奇函数：

②fx是周期函数：

π

③当x0,时，fx0：

2

,

④a0,x1x2Rx1x2，使得fx1fx21且x1x2a．

其中所有正确结论的序号是．

【例10-2】（25-26高三上·北京·月考）已知函数fx的定义域为R，给出下列四个结论：

①存在周期函数fx，使得函数gxfxfx不是周期函数；

②对任意a0，函数fx与函数hxfxa不可能都是奇函数；

③若fxyfxfy恒成立且函数fx不是常值函数，则fx的图象过定点1,1；

④存在无穷多个周期函数fx，使得fxfxsinx恒成立．

其中所有正确结论的序号是．

函数的的对称性与周期性的关系

（1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且；

（2）若函数�=�(�)的图象有两个对�称=中�心�=�(�<�)，则�函(�数)是周期�函=数2，(且�−�)；

（3）若函数�=�(�)有一条对称轴和一(�个,�对),(称�,中�)心(�<�)，�则=函�(数�)是周期�函=数2，(�且−�)

.�=�(�)�=�(�,0)(�<�)�=�(�)�=

4(�−�)

【变式10-1】（25-26高一上·北京大兴·期中）定义域为R的函数f(x)，对任意

x，yR，f(xy)f(xy)2f(x)f(y)，且f(x)不恒为0，给出下列四个结论：

①f(0)0；

②f(x)为偶函数；

③若f(1)0，则f(x)的图象关于点1,0中心对称；

④若f(1)0，则[f(x)]2[f(1x)]21.

其中所有正确结论的序号是.

【变式10-2】（25-26高三上·全国·月考）已知函数fx的定义域为R，且

fxyfxyfxfy0，f11，则下列说法错误的是（）

A．fx为周期函数B．fx为偶函数

32026

C．f0D．fi1

2i1

题型01函数的基本性质应用于恒成立

m

【例1-1】（25-26高一上·北京·月考）设m为实数，已知函数fx1xR是奇函数.

5x1

(1)求m的值；

(2)求证：fx是R上的增函数；

(3)若对任意的x3,，不等式fkx2x2fx24x30恒成立，求实数k的取值范围.

【例1-2】（25-26高一上·北京·月考）已知函数fx的定义域为R，对任意的a,bR，都有

fafbfab．当0x1时，fx0．

(1)求f1的值，并证明：当x1时，fx0；

(2)判断fx的单调性，并证明你的结论；

(3)对于任意的x2,3，不等式f4x5fm2x恒成立，试求常数m的取值范围．

函数的性质大题中常考的几点：

1、根据函数奇偶性求参数，根据奇偶性的定义来求参数，由或

2、根据函数单调性的定义来证明函数的单调性，由定义域中任意由或

�(�)=�(−�)�(�)=−�(�)

来证明。

�1<�2���<������>���

3、函数恒成立或存在性问题，最终常转化为函数最值（或值域）问题来处理，但转化方向完全相反，恒成

立问题为大于最大值或小于最小值，存在性问题为大于最小值或小于最大值。

x

【变式1-1】（25-26高一上·北京·期中）已知函数fx3x．

x1

(1)判断函数的奇偶性并证明；

(2)用定义证明：函数fx在0,上是增函数；

(3)若关于x的不等式fax23axf1ax0对于任意实数x恒成立，求实数a的取值范围．

axb1

【变式1-2】（25-26高一上·北京西城·期中）已知函数fx是R上的奇函数．且f1

x212

(1)求fx的解析式；

(2)用定义证明：fx在区间1,1上是增函数；并求fx在区间1,1上的最大值；

1

(3)若fxm22tm对所有的x1,1，t1,1恒成立，求实数m的取值范围．

2

题型02函数的基本性质求不等式

且

【例2-1】（25-26高一上·北京海淀·月考）已知函数fxloga1xloga1xa0a1.

(1)求函数fx的定义域；

(2)判断函数fx的奇偶性，并给予证明；

(3)求不等式fx0的解集.

x

【例2-2】（2024·北京海淀·二模）已知函数f(x)2cos23sinx(0)，从条件①､条件②､条件③这

2

三个条件中选择一个作为已知，使函数f(x)存在且唯一确定.

(1)求的值；

(2)若不等式f(x)<2在区间0,m内有解，求m的取值范围.

π

条件①：f()2；

3

条件②：yf(x)的图象可由y2cos2x的图象平移得到；

ππππ

条件③：f(x)在区间(,)内无极值点，且f()2f()2.

3663

注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

利用函数性质求不等式问题与小题中的方法一致。利用函数的对称性（奇偶性）和变化趋势（单调性），

将一个抽象的不等式（如），转化为关于自变量更简单、可直接求解的不等式（如

或）。关�键(�在(�于))>“脱�去(ℎ(”�函))数符号f，使问题从函数值的关系回归到自变量本身的关系�(。�)>

ℎ(�)�(�)<ℎ(�)

ax1

【变式2-1】（25-26高一上·北京顺义·期中）已知函数fx（a为常数，a0，且a1）

ax1

(1)判断fx的奇偶性，并用定义证明：

(2)当a3时，证明：函数fx在定义域内单调递增；

3

(3)求使不等式fx成立的x的取值集合．

4

axb12

【变式2-2】（25-26高三上·北京西城·月考）已知函数f(x)是定义域为(1,1)的奇函数，满足f．

x2125

(1)求实数a,b的值；

(2)求关于t的不等式f(2t1)f(t)0的解集．

1．（25-26高三上·北京房山·月考）已知f(x)是定义在0,2上的函数，则“对x0,2，f(x)f(0)都成

立”是fx在0,2上是增函数”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

2．（25-26高一上·北京房山·期中）已知函数f(x)xxa,aR，给出下列四个结论：

①当a0时，f(x)在定义域上是增函数；

a

②当a0时，f(x)的单调递减区间为a,；

2

③存在实数a，使得函数f(x)是偶函数；

④若方程f(x)1有三个不等的实根，则a2．

其中正确结论的序号为．

3．（25-26高一上·北京通州·期中）已知函数fx是R上的偶函数，且在0,上单调递减，则下列各式

成立的是（）

A．f0f1f2B．f2f0f1

C．f2f1f0D．f1f2f0