2026年高考数学复习讲练测专题03 函数的性质及应用（易错专练）（全国）（原卷版）

专题03函数的性质及应用

目录

第一部分易错点剖析

易错典题避错攻略举一反三

易错点1复合函数定义域的理解不当致错

易错点2研究性质时忽略函数的定义域致错

易错点3使用换元法忽略新元的范围

易错点4忽略分段函数自变量的范围致错

易错点5混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错

易错点6忽略对参数取值范围讨论而致错

第二部分易错题闯关

易错点1复合函数定义域的理解不当致错

易错典题

【例1】（24-25高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数f2x3的定义域为2,3.记fx的定义域为

x

集合A,f21的定义域为集合B.则“xA”是“xB”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】f2x3的定义域为2,3.

当2x3时，12x33,（易错点）

定义域是x的取值范围

的定义域为1,3，即A1,3.

fx

令12x13，解得1x2,（易错点）

f2x1中的x与中的x的取值范围一致

21fx

的定义域为1,2，即B1,2.

f2x1

BA,“xA”是“xB”的必要不充分条件，

故选：B.

【错因分析】本题要注意定义域是指自变量x的取值范围，此外fgx与fhx中g(x)与h(x)的范围

一致.

知识混淆：误以为x范围一致.

fgx中的x与f(x)或f[h(x)]中的

概念模糊：对复合函数定义域的概念不清，导致思维存在漏洞.

望文生义：求复合函数的定义域就认为是求的范围，而实质是求自变量x的范围.

fgxg(x)

避错攻略

【方法总结】已知fx的定义域求解fgx的定义域，或已知fgx的定义域求fx的定义域，遵

循两点：①定义域是指自变量的取值范围；②在同一对应法则∫下，括号内式子的范围相同，另外对于实际

问题中函数的定义域，还需根据实际意义再限制，从而得到实际问题函数的定义域.

【知识链接】1复合函数的概念：

若函数y=f(t)的定义域为A，函数t=g(x)的定义域为D，值域为C，则当CA时，称函数y=f[g(x)]为

f(t)与g(x)在D上的复合函数，其中x称为自变量,t为中间变量，t=g(x)叫做内层函数，y=f(t)叫做外层函

数.

2抽象函数或复合函数的定义域：

（1）函数的定义域是自变量x的取值范围，比如：函数f(x)的定义域是指x的取值范围，函数y=f[g(x)]

的定义域也是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.

（2）f(t)，f(x)，f[φ(x)]，f[h(x)]四个函数中的t，x，φ(x)，h(x)在对应关系f下的范围相同，在同一

函数f作用下，括号内整体的取值范围相同.

（3）已知f(x)的定义域为A，求f[φ(x)]的定义域，其实质是已知φ(x)的取值范围(值域)为A，求x的

取值范围.

（4）已知f[φ(x)]的定义域为B，求f(x)的定义城，其实质是已知f[φ(x)]中x的取值范围为B，求φ(x)

的取值范围(值域)，这个范围就是f(x)的定义域.

举一反三

fx1

【变式1-1】（25-26高三上·江苏镇江·月考）已知函数yfx的定义域为1,4，则y的

x1

定义域为（）

A．2,3B．0,5C．2,11,3D．0,11,5

fx1

【变式1-2】（25-26高三上·全国·期末）函数fx1的定义域为2,2，函数gx，

2x1x2

则gx的定义域为（）

A．0,22,4B．1,22,3

11

C．,22,4D．,22,3

22

【变式1-3】（25-26高三上·山东菏泽·期中）已知函数yfx的定义域和值域分别为2,2和4,9，

则函数yfx1的定义域和值域分别为（）

A．3,1和3,8B．3,1和4,9

C．1,3和3,8D．1,3和4,9

易错点2研究性质时忽略函数定义域致错

易错典题

【例2】(2026四川广安期中)奇函数fx是定义域为3,3上的增函数.且f2a1fa20，则a的

取值范围是（）

11

A．,B．,1C．3,，D．3,1

33

【答案】B

【解析】f2a1fa20，f2a1fa2，

fx是奇函数，f2a1fa2，

fx是定义域为3,3上的增函数，

2a1a2

32a13（易错点），

3a23

注意定义域优先

1

a

3

1

2a1，解得a1，

3

1a5

1

a的取值范围是,1.

3

【错因分析】求解本题时要保证2a+1和-a+2均在定义域(-3,3)内,不要忘记这个条件.

知识混淆：研究函数性质时，忽略了“定义域优先”这一原则.

概念模糊：解不等式时逻辑推导不清晰，未考虑2a+1,-a+2在定义域，导致思维存在漏洞.

望文生义：看到解不等式直接利用函数单调性脱去“f”，而忽视了考虑在函数定义域范围内解不等式.

避错攻略

【方法总结】建立“定义域优先”的解题原则.

【知识链接】1.函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时，函数值随着增减的情况，所以讨论函

数单调性必须在给定的定义域区间上进行。

（1）单调区间区间I是定义域的子集，即应在函数的定义域内研究单调性．

（2）如果函数y＝f(x)存在多个单调区间，应当用“，”或“和”连接．

（3）单调性是函数的局部性质，增(减)函数是函数的整体性质．

（4）复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层

函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函

数是减函数.

2.函数奇偶性与定义域

偶函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝F(x)成立，则称F(x)为

偶函数．

奇函数的定义：如果对一切使F(x)有定义的x，F(－x)也有定义，并且F(－x)＝－F(x)成立，则称F(x)

为奇函数．

(1)奇偶函数定义的等价形式．

奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0，偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0．

(2)函数具有奇偶性的前提是定义域关于原点对称．

一个函数不论是奇函数还是偶函数，定义域必须关于原点对称，否则这个函数就不满足是奇函数或是偶函

数的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．例如y＝x，定义域为[0，＋∞)，不具有奇偶性．

举一反三

【变式1-1】2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知定义在13m,4m2上的偶函数fx，且当

x0,3m1时，fx单调递增，则关于x的不等式fx1f2x3m的解集是（）

475252

A．,2B．,C．,D．,2

384333

【变式1-2】（2025高三·全国·专题练习）定义在[2,2]上的函数f(x)2x2lg(|x|1)，则满足

f(x)f(2x1)的x的取值范围是（）

11

A．2,B．,1

33

3111

C．1,,D．,(1,)

2233

【变式1-3】（25-26高三上·河北邢台·期中）已知fx是定义在(m5,4m)上的偶函数，对任意的

22

x21fx1x11fx2

x1,x20,4m，当x1x2时，0恒成立，若f14，则关于x的不等式

x1x2

fxm2x24x4的解集为（）

A．0,2B．4,02,4

C．3,02,5D．,02,

易错点3使用换元法忽略新元的范围

易错典题

【例3】（24-25高三上·吉林·阶段练习）已知fx1x2x，则f(x)的解析式为（）

A．f(x)x21B．f(x)x21(x1)

C．f(x)x21(x1)D．f(x)x21

【答案】C

【解析】令tx1,t1（易错点），

注意新元t的取值范围

2

由fx1x2xx11，

则f(t)t21,t1，即f(x)x21(x1).

故选：C.

【错因分析】本题求解时设tx1，换元后要注意t1这一范围，如果忽略新元的范围，容易错选A.

知识混淆：将新元与旧元的取值范围混淆，从而导致错解.

概念模糊：利用换元法求得解析式后，考虑问题不周全，不求新元的取值范围，从而导致未考虑定义域的

错误.

望文生义：换元法求函数解析式时，想当然认为新元范围与旧元范围一致.

避错攻略

【方法总结】换元要注意新旧变元的取值范围的变化.要避免代换的新变量的取值范围被缩小;若新变量的

取值范围被扩大了,则在求解之后要加以检验.

【知识链接】1.换元法

换元就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母的表达式用另一个(些)字母的表达式来代换,这种解

题方法,叫做换元法,又称变量代换法.

换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对

象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化.例如通过换元来降次,或化分式、根

式为整式等,换元的关键是选择适当的式子进行代换.

2.常见的换元方法

（1）根式代换：一般是指将根式部分通过换元，使原函数表达式转化为我们所熟悉的一元二次方程形式；

（2）整体代换：将所求表达式整体换元；

（3）三角代换：三角代换分为两种情况：①用三角函数的性质将代数或几何问题转化成三角问题，转化的

过程要注意定义域的取值问题；②逆向三角代换：是指将三角问题，通过换元法转化成我们所熟悉的一元

二次方程的问题。

举一反三

【变式3-1】（25-26高三上·云南·期末）已知函数fx1x，则函数fx的解析式为（）

22

A．fxx1x0B．fxx1x0

22

C．fxx1x1D．fxx1x1

1x2

【变式3-2】（25-26高三上·全国·期末）已知函数f1xx0，则fx（）

x2

11

A．21x0B．21x1

x1x1

44

C．21x0D．21x1

x1x1

【变式3-3】（25-26高三上·陕西榆林·月考）已知函数fx2x4x5，则fx的解析式

为.

易错点4忽略分段函数自变量的范围致错

易错典题

∈

【例】(2025湖南长沙期中)已知函数f(x)=则f(f(10))的值为;f(x)的最大

42∈

-�3+2420x-64,x[3,12),

�

值为.-�-+76,x[12,40],

【答案】31;40

【解析】∵f(10)=-102+20×10-64=36,∴f(f(10))=f(36)=-36-+76=31.

324

36

当x∈[3,12)时,f(x)=-x2+20x-64=-(x-10)2+36,

故当x=10时,f(x)取得最大值,为f(10)=36(易错点).

注意求的是x∈[3,12)时f(x)的最大值

当x∈[12,40]时,f(x)=-x-+76=-+76≤-2·+76=40,当且仅当x=,即x=18时,等号成立,

324324324324

��+����

则f(x)的最大值为f(18)=40.

而36<40,所以f(x)的最大值为40.

【错因分析】本题是分段函数的求值问题,多重函数求值时要注意由内算到外,同时要注意找准自变量取值

所对应的解析式;第二个空是求分段函数的最值,要考虑其在每一段定义域内的最值,最后进行比较.

知识混淆：将分段函数的最值与某一段的最值混为一谈.

概念模糊：对分段函数的概念理解不够透彻，从而导致思维存在漏洞.

望文生义：受思维定势的影响，对于分段函数的求值问题只考虑第一段解析式，而忽略了其他段解析式.

避错攻略

【方法总结】分段函数分段处理！

【知识链接】1．分段函数的定义

在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式．像这样的函数，通常叫做分段函数．

【理解】(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数．

(2)处理分段函数问题时，要首先确定自变量的取值属于哪一个范围，然后选取相应的对应关系．要注

意写解析式时各区间端点的开闭，做到不重复、不遗漏．

(3)分段函数的定义域是各段定义域的并集，分段函数的值域是分别求出各段上的值域后取并集．

2．分段函数的题型

（1）分段函数图象的画法

①作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图

象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏.

②对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分

段函数，然后分段作出函数图象.

（2）分段函数的求值

①确定要求值的自变量属于哪一段区间．

②代入该段的解析式求值，直到求出值为止．

（3）求某条件下自变量的值(或范围)

先对x的取值范围分类讨论，然后代入不同的解析式，解方程(不等式)求解，注意需检验所求的值是否

在所讨论的区间内．若题目是含有多层“f”的问题，要按照“由里到外”的顺序，层层处理．

（4）根据分段函数的解析式解不等式

①对变量分类讨论代入相应的解析式求解．

②画出分段函数的图像判断单调性，利用单调性求解．

（5）求分段函数的最值

分别求出每一段的最值或值域进行比较求出最值

（6）根据单调性求参数

从两方面入手，一是分析各段的单调性，二是比较分段点的大小关系.

举一反三

2x1,x1,

【变式4-1】（2024·吉林·模拟预测）已知fxx若fa1，则实数a的值为（）

,x1.

2

A．1B．4C．1或4D．2

ex,x0

（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数a的取值范

【变式4-2】fx3R

x3xa,x0

围为（）

A．1,B．3,

C．,1D．,3

ex,x0

（2024·浙江温州·一模）已知函数的值域为，则实数a的取值范

【变式4-3】fx3R

x3xa,x0

围为（）

A．1,B．3,

C．,1D．,3

易错点5混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错

易错典题

【例5】（25-26高三上·河北·期中）已知函数f(x)=|2x+a|.

(1)若f(x)的单调递增区间为[3,+∞),求实数a的值;

(2)若f(x)在区间[3,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围.

【解析】(1)由题意知f(x)=�

-2�-�,�<−2,

�

2

∴函数f(x)的单调递增区间为2�+�∞,�≥,−,

�

-2,+

∴3=-,(易错点)

�

-为增2区间和减区间的分界点

�

解2得a=-6.

(2)由(1)可知,f(x)的单调递增区间为∞,

�

2

∵f(x)在[3,+∞)上单调递增,-,+

∴-≤3,(易错点)

�

[3,2+∞)为单调增区间的子区间

即a≥-6.

∴实数a的取值范围为[-6,+∞).

【错因分析】将单调区间为I与在区间I上单调视为同一个概念，从而造成错解.

知识混淆：混淆“单调区间”与“在区间上单调”，导致思维混乱.

概念模糊：未正确理解函数单调性的概念，从而导致思维受阻.

望文生义：遇到在区间I上单调就想当然认为I是单调区间，从而造成逻辑错误.

避错攻略

【方法总结】单调区间是指一个函数的定义域中所有具有递增或递减性质的区间;在区间上单调是指函数在

某一个区间上单调,二者有本质区别,若函数在区间[a,b]上单调,则该函数在此区间的任意子区间上具有相同

的单调性.

【知识链接】

1.函数的单调性

(1)单调函数的定义

增函数减函数

设函数y＝f(x)的定义域为D，如果x1，x2∈D

当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么∀就称函数y当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就称函数y

定义

＝f(x)是增函数；当I是定义域D上的一个区间＝f(x)是减函数；当I是定义域D上的一个区间

时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递增时，也称函数y＝f(x)在区间I上单调递减

图象

描述

自左向右看图象是下降的

自左向右看图象是上升的

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫做

函数y＝f(x)的单调区间.

[微提醒](1)求函数单调区间或讨论函数单调性必须先求函数的定义域.(2)一个函数的同一种单调区间用

“和”或“，”连接，不能用“∪”连接.(3)函数在某个区间上是单调函数，但在整个定义域上不一定是单

调函数.

2.函数单调性的相关结论

(1)函数单调性的两个等价结论

①，∈且≠，有(()＞或－－＞在区间上单调递增.

x1x2Ix1x2－0(x1x2)[f(x1)f(x2)]0f(x)I

��1)−��2

12

②∀，∈且≠，有(��()＜或－－＜⇔在区间上单调递减.

x1x2Ix1x2－0(x1x2)[f(x1)f(x2)]0f(x)I

��1)−��2

(2)∀在公共定义域内，增函数＋�1增�2函数＝增函数；减函数＋减函数⇔＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减

函数－增函数＝减函数.

(3)函数y＝f(x)(f(x)＞0或f(x)＜0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反.

()

1

(4)复合函数y＝f(g(x))的单调性的判断方法：同增异减.��

举一反三

【变式5-1】（25-26,重庆文理学院附属中学校高三上期末）函数fxax2a1x2在区间,2上

是增函数，则实数a的取值范围是（）

1111

A．,0B．,C．,D．,0

3333

2m2

【变式5-2】（多选）（25-26高三上·重庆璧山·期中）已知幂函数fxm5m5x是R上的偶

函数，且函数gxfx2a6x在区间1,3上单调递减，则实数a的取值范围是（）

A．,4B．,46,C．6,D．4,6

【变式5-3】（25-26高三上·浙江宁波·期中）已知函数f(x)mx2mx3，则下列选项正确的是（）

A．若f(x)的定义域为R，则m[0,12

1

B．若f(x)的定义域为2,3，则m

2

C．若f(x)的值域为[0,)，则m(12,)

1

D．若f(x)在(,)上单调递增，则m(0,)

2

易错点6忽略对参数取值范围讨论而致错

易错典题

(a2)x1,x1,

【例6】（2026安徽天一大联考）若函数f(x)2在R上单调递减，则实数a的取值范

x(a2)xa,x1

围是（）

A．[2,0]B．(2,0]C．[1,0]D．{0}

【答案】D

【解析】当(a2)0时，y(a2)x1为增函数，不合题意；

当(a2)0时，y(a2)x11为常数函数，不合题意；

所以(a2)0，即a2；

a2,

a2

于是得1,（易错点），

2

2

1(a2)1a(a2)11,

注意考虑每一段函数的单调性

解得a0.

【错因分析】本题考查由分段函数单调性求参数的取值范围，其中第一段需对x的系数分类讨论，第二段

需考虑对称轴与区间(,1)的关系，此外本题还需注意端点1处函数值的大小关系，即由第一段解析式计

算出的1处函数值必须不小于由第二段解析式计算出的1处的函数值.

知识混淆：混淆在定义域内单调与在某一段单调.

概念模糊：未正确理解函数单调性的概念，从而在研究分段函数的单调性时考虑不全面.

望文生义：对参数讨论想当然只讨论各段解析式的单调性，未从整体角度考虑各段之间端点处函数值的限

制条件，从而导致错解.

避错攻略

【方法总结】对于含参的函数问题，要注意恰当讨论，对于含参的分段函数问题，除了要注意研究各段解

析式的性质，还要从整体上把握分段函数的性质.

【知识链接】

1.求某条件下自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后相应求出自变量的值，切

记代入检验．

2.已知分段函数的单调性求参数，切记不要漏掉分段点处函数值大小的比较，常见的类型及应满足的条件如

下：

f1(x),xa

类型1：函数f(x)，在R上单调増递，则f(x)满足两个条件：

f2(x),xa

(1)f1(x)在(,a]上单调増递增；

(2)f2(x)在(a,)上单调増递增；

(3)f1(a)f2(a).

f1(x),xa

类型2：函数f(x)，在R上单调増递减，则f(x)满足两性个条件：

f2(x),xa

(1)f1(x)在(,a]上单调増递减；

(2)f2(x)在(a,)上单调増递减；

(3)f1(a)f2(a).

举一反三

(a1)x5,x(,2)

【变式6-1】（2026·山东·一模）已知a0且a1，若函数f(x)x在(,)上

a,x[2,)

具有单调性，则实数a的取值范围是．

(xa)2,x1,

（24-25高三上·山东聊城·期中）设，若为的最小值，

【变式6-2】f(x)xf(1)f(x)

exa,x1.

则实数a的取值范围是（）

A．0,1B．0,2C．0,3D．[1,0]

1

【变式6-3】（2026江西智慧上进期中）已知函数fxx2x．

4

1

(1)用定义证明fx在区间,上单调递增；

8

55

(2)若fx在区间a,bab上的值域为a,b，求a、b的值．

44

一、单选题

x

1．（2025高三上·四川眉山·专题练习）函数yf(2)的定义域为[1,2]，则函数yf(log2x)的定义域为

（）

A．[0,1]B．[1,2]C．[2,4]D．[4,16]

2．（24-25高三下·福建泉州·开学考试）已知fx的定义域为0,1，则fcosx的定义域为（）

ππ

A．x2kπx2kπ+,kZ

22

B．x2kπx2kππ,kZ

C．x2kππx2kπ,kZ

π

D．x2kπx2kπ,kZ

2

3．（25-26高三上·全国·期末）函数y2x1x的值域为（）．

A．,2B．[2,）C．（0,2]D．0,2

ax22xa,x1

4．（25-26高三上·陕西咸阳·期末）已知函数f(x)在R上单调递增，则实数a的取

3x2lnx,x1

值范围是（）

A．0,1B．0,1C．0,1D．0,1

5．（25-26高三上·宁夏吴忠·期中）已知定义在区间[2,2]上的偶函数f(x)，当x[0,2]时，满足对任

f(x1)f(x2)

意的x1x2，都有0成立，若f2mf2m，则实数m的取值范围为（）

x1x2

222

A．1,B．1,C．(1,1)D．,

333

21

6．（25-26高三·浙江杭州·期末）已知函数f(x)logaxax(a0且a1)，对任意的x1,x2[1,)，

2

fx2fx1

且x1x2时，满足0，则实数a的取值范围是（）

x2x1

33

A．1,B．,C．1,2D．2,

22

ax3,x0

7．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若函数fx存在最大值，则实数a的取

log1x1a,x0

2

值范围是（）

A．0,4B．0,4C．0,3D．0,3

8．（25-26高一上·江西赣州·期末）已知函数fx定义域为m,m(mR且m0)，其图象是一条连续

fx2fx1

不断的曲线，且满足f1xfx10，若x1,x20,m，当x1