2025-2026学年下学期浙江省七校高三数学5月高考模拟试卷（含答案）

数学试卷考生须知:1.本卷满分150分,考试时间120分钟:2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、试场号、座位号；3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4.考试结束后，只需上交答题卷。一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x∈ℤx∣<2}A.⌀B.{-2}C.{2}D.{−2.复数z=1−A.13B.−13c.3.对四组数据进行统计，获得以下散点图(如图)，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是()相关系数为r相关系数为r相关系数为r3相关系数为A.r2<C.r4<4.已知向量a=1,−2,b=0,A.1B.-1C.16D.-165.已知函数fx=sinA.fx的最大值为3B.fx的最小正周期为C.fx在0,π2上单调递增D.f6.已知一个圆台的上下底面半径分别为3和6,球O与该圆台的上下底面和侧面都相切,则球O的表面积为()A.36πB.72πC.108πD.144π7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2A.4−22B.5−8.若曲线C:y=−x2+2x+3上存在至少两点到直线A.−22c.−∞,−26二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.某城市连续6天的最低温度(单位:°C)为0、2、5、5、6、6，则这组数据的()A.极差为6B.40%分位数为3.5C.平均数为4D.方差为510.已知函数fx=xA.函数fx的定义域为{x∣x<0或x>1C.函数fx的图象为轴对称图形D.函数fx11.已知数列an的通项公式为an=12n+1+13A.Sn<C.1−S三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.二项式x2−13.已知函数fx=ln2x−1+ax的图象在x=14.设矩形ABCDAB>AD的周长为24,把△ABC沿AC向ADC折叠,AB折过去后交DC于点P。则四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知公差不为零的等差数列an中，a3=7，且(1)求数列an(2)若数列bn满足bn=1anan+1，求数列16.如图,四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的菱形,∠ABC=π3,∠APD(1)证明:PA⊥CM(2)求直线AB和平面PCM所成角的正弦值.17.已知函数fx(1)设f′x是fx的导函数，求(2)设x0是fx的极小值点，求证:−(3)若fx≤a⋅x218.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1a>(1)求C的方程；(2)过C的右焦点F作直线l与椭圆交于A,B两点，以OA,OB为邻边作平行四边形OAQB，(i)求点(ii)过F的任意一条直线l2与椭圆C交于P1,P2两点,与Q的轨迹交于P3,P4两点,其中P1,P319.某景点周边文创店推出了一款单价10元的"幸运文创刮刮卡"，每购买一张即可参与抽奖，奖项设置如下(未中奖则无奖金):①一等奖:奖金40元，中奖概率5%；②二等奖:奖金20元，中奖概率10%；③三等奖:奖金10元，中奖概率30%；(1)小明初始有20元零花钱.(i)若他购买1张刮刮卡，求抽奖后剩余金额的数学期望；(ii)小明想要购买一款定价40元的航模配件,他打算通过反复购买刮刮卡的方式凑齐钱款,求他最终能够凑齐钱款的概率.(2)若小明初始有n元(n为正整数且n≥10)，他采取的购买策略是:一旦当前总金额超过初始的n元就立刻停止购买.设他最终能够成功挣到钱的概率为p,求证:2026年全国高考数学模拟卷命题:杭州第二中学一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A={x∈Zx∣<2}A.⌀B.{-2}C.{2}D.{−答案:D2.复数z=1−A.13B.−13c.答案:B3.对四组数据进行统计，获得以下散点图(如图)，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的是()相关系数为r相关系数为r相关系数为r相关系数为rA.r2<C.r4<答案:A4.已知向量a=1,−2,b=0,A.1B.-1C.16D.-16答案:A5.已知函数fx=sinA.fx的最大值为3B.fx的最小正周期为C.fx在0,π6上单调递增D.f答案:C6.已知一个圆台的上下底面半径分别为3和6，球O与该圆台的上下底面和侧面都相切，则球O的表面积为()A.36πB.72πC.108πD.144π答案:B7.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2A.4−22B.5−答案:B8.若曲线C:y=−x2+2x+3上存在至少两点到直线A.−22C.−∞,−26答案:D二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.某城市连续6天的最低温度(单位:℃)为0.2，5，5，6，6则这组数据的(★)A.极差为6B.40%分位数为3.5C.平均数为4D.方差为5答案:ACD10.已知函数fx=xA.函数fx的定义域为{x∣x<0或x>1C.函数fx的图象为轴对称图形D.函数fx答案:ABC11.已知数列an的通项公式为an=12n+1+13A.Sn<C.1−S答案:AD三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.二项式x2−答案:1513.已知函数fx=ln2x−1+ax的图象在x=114.设矩形ABCDAB>AD的周长为24,把△ABC沿AC向△ADC折叠，AB折过去后交DC于点P答案:108四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知公差不为零的等差数列an中,a3=7,且(1)求数列an(2)若数列bn满足bn=1anan+1，求数列解:(1)∵a3=7,∴a∴a42=a因为d≠0，所以6a1由①②可得，a1=3，所以数列的通项公式是an=(2)由(1)得bn=∴=16.如图,四棱锥P−ABCD的底面是边长为2的菱形,∠ABC=π3,∠(1)证明:PA⊥CM(2)求直线AB和平面PCM所成角的正弦值.解(1)连接AC，由题意△ACD是等边三角形，M是AD所以CM⊥AD因为AD=2，所以CM=3，又因为所以PM=12AD=1.又PC所以CM⊥PM，且AD∩PM=M,AD所以CM⊥平面PAD,而PA⊂平面PAD所以PA⊥CM(2)以M为原点，MA为x轴，MC为y轴，过M作垂直于底面的直线为z轴，建立空间直角坐标系，由(1)可知平面PAD⊥平面ABCD于是M0,于是MC=0,3,0法向量为n=xn⋅MC=3y=0n⋅MP=1于是可得一个法向量n=3又AB=1,3,0,设直线AB和平面PCMsin所以直线AB和平面PCM所成角的正弦值为34.15分说明:或转化为直线CD和平面PCM17.已知函数fx(1)设f′x是fx的导函数，求(2)设x0是fx的极小值点，求证:−(3)若fx≤a⋅x2解:(1)函数fx的定义域为0f′易得f′x在0,1单调递增,在1(2)由(1)f′且当x→0+时,f′x→−∞,当所以存在x0∈0,1,使得fx在0f其中x0满足f′x0=0fx因为0<x0<1(3)由题意，fx≤a⋅x2因为x>0,所以设gx=2lnx于是gx在0,e单调递增,在所以gx所以实数a的取值范围为a≥218.已知椭圆C:x2a2+y2b2(1)求C的方程；(2)过C的右焦点F作直线l与椭圆交于A,B两点，以OA,OB为邻边作平行四边形(i)求点Q的轨迹方程并说明其形状;(ii)过F的任意一条直线l与椭圆C交于P1,P2两点,与Q的轨迹交于P3,P4两点,其中P1,P3在解:(1)已知椭圆C:x2a2+y2又离心率e=ca=12，所以b2=所以椭圆方程为:x24(2)(i)椭圆右焦点F1,0，设直线由平行四边形性质OQ=OA+OB联立l与椭圆方程x=ky3由韦达定理:yx消去参数k得到Q点的轨迹方程为x−1其形状为焦点在x轴上，中心在1,0，长轴长2、短轴长3(ii)设直线方程为l′:x=my+3设P1xyl′:x=my+my2+4y23=1,即f设u=sinθ,θ∈fg于是gθ在0,π6单调递增,令θ=0方法四:Sm=6m2+S进一步判断可得函数Sm为偶函数，且在[0综上,所求面积和的范围为0,319.某景点周边文创店推出了一款单价10元的“幸运文创刮刮卡”，每购买一张即可参与抽奖，奖项设置如下(未中奖则无奖金):①一等奖:奖金40元，中奖概率5%；②二等奖:奖金20元，中奖概率10%；③三等奖:奖金10元，中奖概率30%；(1)小明初始有20元零花钱.(i)若他购买1张刮刮卡，求抽奖后剩余金额的数学期望；(ii)小明想要购买一款定价40元的航模配件,他打算通过反复购买刮刮卡的方式凑齐钱款,求他最终能够凑齐钱款的概率.(2)若小明初始有n元(n为正整数且n≥10)，他采取的购买策略是:一旦当前总金额超过初始的n元就立刻停止购买.设他最终能够成功挣到钱的概率为p,求证:解:(1)(i)小明初始有20元,购买1张刮刮卡花费10元,因此抽奖前已支出10元,剩余10元,假设抽奖后剩余金额为X:中一等奖(40元):剩余金额X=20−10+中二等奖(20元):剩余金额X=20−10+20中三等奖(10元):剩余金额X=20−10+未中奖:剩余金额X=20−10=EX=所以购买后剩余金额的数学期望为17元.4分(ii)设Pn为当前持有n元时,最终能凑到40当n≥40时,已经凑够钱款,当n<10时,无法再购买刮刮卡,且金额不足40元,当持有10≤n≤30元时,购买1张刮刮卡花费10元,剩余中一等奖(概率0.05):总金额变为n−10中二等奖(概率0.1):总金额变为n−中三等奖(概率0.3):总金额变为n−未中奖(概率0.55):总金额变为n−于是Pn即14Pn=1+2Pn①当n=30时，P14P30=P②当n=20时，代入公式得到③当n=10时，P14P所以P将①和③的表达式代入②的表达式得到:14P于是196P20=14+所以P20即小明最终能够成功凑到40元的概率为31152(2)设Pk表示当前持有k元时最终能够成功挣到钱(即总金额超过初始n当