正方形（第2课时）课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

正方形（第2课时）数学人教版八年级下册学校在元宵节要制作一批不同大小的正方体形状灯笼，需要在卡纸上画出正方形的面．小明负责裁剪，他画了一个四边形，却无法确定它是否为正方形．若测量四条边均相等，也可能是菱形；若测量四个角都是直角，也可能是矩形．他陷入了困惑：究竟需要满足哪些条件，才能准确判定一个四边形是正方形呢？请结合所学知识，帮小明总结正方形的判定方法．

问题问题1分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，思考：需要添加什么条件，才能使这四种图形转化为正方形？与同学交流你的结论．

矩形证明图形是菱形正方形对角线垂直或有一组邻边相等分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，思考：需要添加什么条件，才能使这四种图形转化为正方形？与同学交流你的结论．

问题1证明图形是矩形正方形菱形有一个角是直角或对角线相等问题1平行四边形正方形证明图形既是矩形又是菱形分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，思考：需要添加什么条件，才能使这四种图形转化为正方形？与同学交流你的结论．

分别从矩形、菱形、平行四边形、四边形出发，思考：需要添加什么条件，才能使这四种图形转化为正方形？与同学交流你的结论．

问题1正方形四边形平行四边形

无论从哪个图形出发，最终都要证明这个四边形既是矩形也是菱形．证明图形既是矩形又是菱形证明图形既是矩形又是菱形问题2结合刚才对正方形判定的探究，思考：矩形、菱形、正方形在概念，边，角，对角线，对称性，判定这几个方面，有哪些相同点和不同点？它们之间存在怎样的关系？矩形菱形正方形概念边角对角线轴对称性判定有一个角是直角的平行四边形有一组邻边相等的平行四边形有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形对边平行且相等对边平行且四边相等对边平行且四边相等四个角都是直角对角相等四个角都是直角互相平分且相等互相平分、垂直且平分一组对角互相平分、垂直、相等且平分一组对角2条对称轴2条对称轴4条对称轴1.定义法2.对角线相等的平行四边形3.三个角是直角的四边形1.定义法2.对角线互相垂直的平行四边形3.四条边相等的四边形证明既是矩形又是菱形问题2回顾学习这三种图形的全过程，我们是按照怎样的路径来研究这些特殊的平行四边形的？概念性质判定应用

从“平行四边形—特殊的平行四边形（矩形、菱形）—正方形”的特殊化路径，从一般到特殊的几何研究思路．例1

满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？

（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；

（2）对角线互相垂直的矩形；

（3）对角线相等的菱形；

（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形．分析：不论从哪个图形出发，最终要明确这个四边形既是矩形又是菱形，这是判定正方形的核心本质．解：（1）是，满足条件的平行四边形既是菱形也是矩形；

菱形矩形例1

满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？

（1）对角线互相垂直且相等的平行四边形；

（2）对角线互相垂直的矩形；

（3）对角线相等的菱形；

（4）对角线互相垂直平分且相等的四边形．解：（2）是，满足条件的矩形也是菱形；

菱形矩形菱形矩形（3）是，满足条件的菱形也是矩形；

（4）是，满足条件的四边形是平行四边形，同时既是菱形也是矩形．菱形矩形归纳（1）一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形；（2）对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形；（3）有一组邻边相等的矩形是正方形；（4）对角线互相垂直的矩形是正方形；（5）有一个角是直角的菱形是正方形；（6）对角线相等的菱形是正方形．正方形判定的几种方法例2

如图，E，F，G，H分别是正方形

ABCD四条边上的点，且

AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形

EFGH是正方形．分析：要证明

EFGH是正方形证明它既是菱形也是矩形先证四条边相等再证一个角是直角先证三个角是直角再证一组邻边相等证明△AEH，△BFE，△CGF，△DHG全等证明：∵

四边形

ABCD是正方形，

∴

AB＝BC＝CD＝DA．

又

AE＝BF＝CG＝DH，

∴EB＝FC＝GD＝HA．

∵

∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．∴

HE＝EF＝FG＝GH．例2

如图，E，F，G，H分别是正方形

ABCD四条边上的点，且

AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形

EFGH是正方形．∴

四边形

EFGH是菱形．

∵

△AEH≌△BFE，

∴

∠2＝∠3．又

∠1＋∠2＝90°，

∴

∠1＋∠3＝90°．∴

∠HEF＝180°－(∠1＋∠3)＝90°．∴

四边形

EFGH是正方形．例2

如图，E，F，G，H分别是正方形

ABCD四条边上的点，且

AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形

EFGH是正方形．有一个角是直角的菱形是正方形．还有其他证明方法吗？证明：∵

四边形

ABCD是正方形，

∴

AB＝BC＝CD＝DA．

又

AE＝BF＝CG＝DH，

∴EB＝FC＝GD＝HA．

∵

∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG．∴∠2＝∠3．例2

如图，E，F，G，H分别是正方形

ABCD四条边上的点，且

AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形

EFGH是正方形．又

∠1＋∠2＝90°，

∴

∠1＋∠3＝90°．∴

∠HEF＝180°－(∠1＋∠3)＝90°．

同理

∠EFG＝∠HGF＝90°．∴四边形

EFGH是矩形．∵

△AEH≌△BFE，

∴

HE＝EF．∴

矩形

EFGH是正方形．例2

如图，E，F，G，H分别是正方形

ABCD四条边上的点，且

AE＝BF＝CG＝DH．求证：四边形

EFGH是正方形．有一组邻边相等的矩形是正方形．归纳正方形的性质和判定的综合应用问题，往往先由正方形的性质得到相等的线段、相等的角等条件，再将这些条件通过全等三角形等几何知识进行转化，进而得到判定正方形的条件．

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为

E，F．求证：四边形

CEDF是正方形．分析：矩形

CEDF角平分线的性质DE＝DF

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为

E，F．求证：四边形

CEDF是正方形．证明：∵

DE⊥BC，DF⊥AC，∴∠DEC＝∠DFC＝90°．又

∠ACB＝90°，∴

四边形

CEDF是矩形．∵

CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，∴

DF＝DE．∴

矩形

CEDF是正方形．角平分线的性质有一组邻边相等的矩形是正方形．2．王芳在商场看中一条丝巾，她不确定其是不是正方形样式，于是售货员拿起丝巾拉起一组对角把丝巾对折（如图所示），让王芳看丝巾是否完全重合；见她还有些犹豫，售货员又拉起另一组对角把丝巾对折，让她看丝巾是否也完全重合．王芳发现这两次都重合，就买下了这条丝巾．你认为王芳买的这条丝巾是正方形样