离散数学 课件 4.1 函数的概念

第四章函数4.1函数的概念目录CONTENTS01核心定义函数的定义、判定条件、定义域与值域，构建坚实的概念基础。02关系对比深入剖析函数与一般二元关系的本质区别与联系，厘清边界。03特殊函数介绍恒等函数、常值函数、特征函数等基础且重要的特殊类型。04例题解析精选典型例题，从概念辨析到实际计算，全方位巩固理解。定义4.1：函数(Function)▍定义内容设X和Y是任意两个集合，而f是X到Y的一个关系。如果对于每一个x∈X，都有唯一的y∈

Y，使得<x,y>∈

f，则称关系f是X到Y的一个函数，或X到Y的映射（Mapping）、变换（Transform）。记法f:X→Y函数表达式y=f(x)自变量(原象)x函数值(象)y函数的判定条件存在性条件X的每个元素都必须有象。函数的定义域必须是整个集合X，不能仅定义在X的某个真子集上，即不能“遗漏”任何一个输入值。唯一性条件X的每个元素都只能对应唯一的一个象。数学表达：若f(x)=y且f(x)=z，则必然有y=z。即同一个输入，不能映射出两个或更多不同的输出。判定反例若出现以下任一情况，则不是函数：•存在元素x∈X在集合Y中没有对应的象。

•存在元素x∈X在集合Y中有两个或两个以上不同的象。图示：函数与非函数的直观对比函数示例(图4.2)图中的关系f和g都是函数。原因：定义域X中的每一个元素都有对应的Y值，并且每个X元素都只有唯一的一个Y元素与之对应，同时满足了映射的“存在性”与“唯一性”。非函数示例(图4.3)图中的关系h和k都不是函数，它们分别违反了函数定义的核心条件：•关系h：元素x₂在Y中没有对应的象，不满足“存在性”条件。•关系k：元素x₃在Y中有两个不同的象，不满足“唯一性”条件。定义4.2：定义域、值域与共域定义域Domain函数y=f(x)的定义域是关系f的前域，是所有可能的输入值的集合。domf=X值域Range也称为函数的“象集合”。是所有函数值的集合。它是共域的子集。Y⊇ranf共域Codomain集合Y被称为函数f的共域，它是我们预先指定的所有可能输出值的集合。Codomain=Y核心关系•输入:集合X(定义域)•目标:集合Y(共域)•实际:ranf(值域)“值域”是“共域”的一部分定义4.3：函数的相等对于函数f:X→Y和g:C→D，若满足以下两个条件，则称函数f和g相等，记为f=g：01.定义域相同X=C02.对应关系相同对所有x∈X(即x∈C)，均有f(x)=g(x)💡核心理解两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应法则完全相同。函数与关系的核心区别01个数差别关系(Relation):

从集合X到集合Y的不同关系数量极大，计算公式为：

2^(|X|×|Y|)函数(Function):

从集合X到集合Y的不同函数数量相对较少，计算公式为：

|Y|^|X|02序偶首元约束关系(Relation):

序偶的第一个元素可以重复，也可以不包含定义域X中的全部元素，没有强制性要求。函数(Function):

序偶的第一个元素必须互不相同，且必须完整包含定义域X中的所有元素。03集合基数特征关系(Relation):

作为序偶的集合，其基数变化范围非常大，可以从0个元素一直到|X|×|Y|个元素。函数(Function):

每个函数的集合基数都是固定不变的，其元素个数严格等于定义域X的元素个数，即|X|个。例题4.1：判断关系是否为函数题目条件设集合：A={1,2,3,4}，B={a,b,c,d}请判断下列关系是否构成函数：f1={<1,a>,<2,a>,<3,d>,<4,c>}f2={<1,a>,<2,a>,<2,d>,<4,c>}f3={<1,a>,<2,b>,<3,d>,<4,c>}f4={<2,b>,<3,d>,<4,c>}解答分析✅结论：f1

和f3是函数解释：集合A中的每一个元素，都在集合B中有且仅有一个元素与之对应，满足函数的存在性与唯一性。❌结论：f2不是函数解释：元素2对应了a和d两个像，违反了函数定义中的唯一性原则。❌结论：f4不是函数解释：集合A中的元素1没有对应的像，违反了函数定义中的存在性原则。例题4.2：函数与非函数的实例函数实例(Function)1.后继函数：设f:N→N

(N为自然数集)，定义映射规则为：f(x)=x+12.二次函数：设g:R→R(R为实数集)，定义映射规则为：g(x)=x2+2x+1=(x+1)2非函数实例(Non-Function)设二元关系h={<x1,x2>|x1,x2∈

N，并且x1+x2<8}。这个关系不满足函数的定义，具体原因如下：❌违反“唯一性”：对于x1=0，可以对应x2=1,2,…,7等多个不同的值。❌违反“存在性”：对于x1<8的自然数，在关系中找不到任何一个x2与之对应。例题4.3：列举所有可能的函数题目描述设集合X={a,b}，集合Y=\{1,2,3}，请写出从集合X到集合Y的所有可能的函数。根据映射与函数的定义，X中的每个元素都必须且只能对应Y中的一个元素。因此，函数的总个数计算公式为：

|Y||X|

=32=9个。第一组f1={<a,

1>,<b,

1>}f2={<a,

1>,<b,

2>}f3={<a,

1>,<b,

3>}第二组f4={<a,

2>,<b,

1>}f5={<a,

2>,<b,

2>}f6={<a,

2>,<b,

3>}第三组f7={<a,

3>,<b,

1>}f8={<a,

3>,<b,

2>}f9={<a,

3>,<b,

3>}常用函数：恒等函数(IdentityFunction)01/定义Definition适用条件Condition函数的定义域与值域为同一个集合，即A=B。映射规则Definition对任意元素x∈A，都有f(x)=x。即输入与输出完全一致。常用记法Notation通常记为Iₐ(读作"A上的恒等映射")，或简记为I。02/几何特征GeometricFeature恒等函数y=x的图像是一条经过平面直角坐标系原点(0,0)，且与x轴正方向夹角为45°的直线。其斜率k=1，代表了“不改变”原对象的恒等变换。常用函数：常值函数(ConstantFunction)定义Definition设函数f:A→B若存在一个固定的元素b∈B，使得对任意的自变量x∈A，都有f(x)=b无论输入值x取集合A中的任何元素，其对应的函数输出值始终保持不变。图像Graph在平面直角坐标系中，常值函数的图像表现为一条平行于x轴的水平直线。常用函数：特征函数(CharacteristicFunction)01/定义Definition设A是全集U的一个子集。子集A的特征函数fA是一个从U到{0,1}的函数：•当元素x属于集合A时，fA(x)=1•当元素x不属于集合A时，fA(x)=002/应用Application特征函数建立了集合与数值的对应关系。在计算机科学中，每一个子集都可以被唯一地表示为一串由0和1组成的二进制数字序列。这一特性为计算机处理复杂的集合运算提供了高效、简洁的数学模型。映射的直观意义左侧的表格展示了集合与二进制数的一一对应。例如，全集{a,b,c}的子集{a,c}对应二进制数101。这种数字化的表示方式，将抽象的集合概念转化为了机器可以直接计算的数据。常用函数：上取整与下取整函数上取整函数(CeilingFunction)定义：对有理数x，函数值为大于或等于x的最小整数。记法：f(x)=⎾x⏋|示例：⎾2.3⏋=3，⎾-1.2⏋=-1下取整函数(FloorFunction)定义：对有理数x，函数值为小于或等于x的最大整数。记法：f(x)=⎿x⏌|示例：⎿2.7⏌=2，⎿-1.2⏌=-2应用与特性上取整与下取整函数均属于“阶梯函数”，其函数图像呈现不连续的阶梯状。它们在计算机编程中的整数运算、分页逻辑计算以及数学分析领域有着广泛且基础的应用。本节核心要点回顾函数定义满足存在性和唯一性的特殊二元关