全品高考备战2027年数学一轮学生用书09第47讲空间距离及立体几何中的探索性问题【正文】听课手册

第47讲空间距离及立体几何中的探索性问题【课标要求】能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.

1.点到直线的距离如图,已知直线l的单位方向向量为u,A是直线l上的定点,P是直线l外一点,设AP=a,则向量AP在直线l上的投影向量AQ=(a·u)u,在Rt△APQ中,由勾股定理,得PQ==.

2.点到平面的距离如图,已知平面α的法向量为n,A是平面α内的定点,P是平面α外一点.过点P作平面α的垂线l,交平面α于点Q,则n是直线l的方向向量,且点P到平面α的距离就是AP在直线l上的投影向量QP的长度.因此PQ=AP·n|n|题组一常识题1.[教材改编]在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=A1A=4,M为BC1的中点,N为A1B1的中点,则MN=.

2.[教材改编]已知正方形ABCD的边长为4,CG⊥平面ABCD,CG=2,E,F分别是AB,AD的中点,则点C到平面GEF的距离为.

3.[教材改编]在空间直角坐标系中,A(0,0,0),B(1,1,1),C(1,0,0),D(-1,2,1),其中A∈α,B∈α,C∈β,D∈β,已知平面α∥平面β,则α与β间的距离为.

题组二常错题◆索引:点到直线的距离公式记错致误;点到平面的距离公式忽略绝对值致误.4.直线l的一个方向向量为n=(1,0,1),且l过点M(1,-1,-1),则点N(1,1,1)到l的距离为.

5.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(x,3,0)在平面α内,点P(-2,1,4)到平面α的距离为103,则x=空间距离例1(多选题)[2025·湖南邵阳一中、岳阳一中联考]在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,F为棱BB1的中点,则 ()A.点A1到直线B1E的距离是5B.直线FC1与直线AD间的距离是1C.点A1到平面AB1E的距离是3D.直线FC1到平面AB1E的距离是1例2[2025·吉林四模]如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是矩形,PA⊥PB,平面PAB⊥平面ABCD,BC=2,平面PAB与平面PAC的夹角为π4,求点B到平面PAC的距离

总结反思1.求点到直线的距离常用以下两种方法:(1)几何法:求点A到直线l的距离,就是求从点A向直线l所作的垂线段的长度,往往在直角三角形中利用勾股定理求解.(2)向量法:点A到直线l的距离d=|PA|2-|PA·n|2,其中A为直线l外一点,2.点到平面的距离的求法:(1)几何法:①作出点到平面的垂线段,在直角三角形中,求这条垂线段的长度.②把待求的点到平面的距离看作三棱锥的高,利用三棱锥的等体积转换法求解.(2)向量法:点A到平面α的距离d=|BA·n||n|,其中A是平面α外一点,B是平面3.两平行线间的距离问题经常转化为点线距离问题,两平行平面间的距离问题转化为点面距离问题.4.异面直线间的距离的求法:异面直线a,b间的距离为d=AB·n|n|=|AB·n||n|(如图,设点A,B分别是异面直线a,b上任意一点,向量a,b分别是直线变式题(1)[2026·福建漳州三中质检]已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=2,AB=4,BC=3,∠ABC=90°,则点B到直线A1C1的距离为.

(2)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,平面A1BD与平面B1D1C之间的距离为.

立体几何中的探索性问题角度1平行垂直中的探索性问题例3如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧棱DD1=6,点E,F分别在侧棱AA1,CC1上,且A1E=CF=2.(1)求平面BEF与平面ABCD夹角的余弦值.(2)已知O为底面A1B1C1D1的中心,在BB1上是否存在点G,使得OG∥平面BEF?若存在,求出BGBB

总结反思平行垂直中的探索性问题的解题策略:对于线面位置关系的存在性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足则肯定假设,若得出矛盾的结论,则否定假设.变式题[2025·湖北鄂东南联盟5月联考]如图所示,四棱锥P-ABCD的底面四边形ABCD为直角梯形,DC∥AB,∠ADC=∠PBA=90°,PB⊥AD,PB=AB=AD=12DC=1,平面PAD与平面PBC的交线为l,l∩平面ABCD=(1)求线段PM的长度;(2)在棱BC上是否存在点E,使得平面PAD⊥平面PDE?若存在,求直线PE与平面PCD所成角的正弦值;若不存在,请说明理由.

角度2与角有关的探索性问题例4如图,在三棱台ABC-A1B1C1中,上、下底面分别是边长为2和4的等边三角形,AA1⊥平面ABC,AA1=2,M为AB的中点,N为棱BB1上一点.(1)若N为BB1的中点,证明:BB1⊥平面MCN.(2)是否存在点N,使得直线AB1与平面MCN所成角的正弦值为1010?若存在,确定点N的位置;若不存在,请说明理由

总结反思与角有关的探索性问题的解题策略:对于与角有关的探索性问题,首先假设存在,然后在该假设条件下,引入参数,利用空间角的结论,寻找关于参数的方程,若方程有解则肯定假设,若方程无解,则否定假设.变式题如图,四边形ABCD是正方形,平面PABE⊥平面ABCD,PA⊥AB,EB∥PA,AB=PA=4,E