全品高考备战2027年数学一轮学生用书08第66讲离散型随机变量的分布列、数字特征【正文】听课手册

第66讲离散型随机变量的分布列、数字特征【课标要求】1.通过具体实例,了解离散型随机变量的概念.

2.理解离散型随机变量的分布列及其数字特征(均值、方差).1.离散型随机变量一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.

2.离散型随机变量的分布列(1)定义:设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.(2)表示Xx1x2…xnPp1p2…pn(3)性质:①pi≥0,i=1,2,…,n;②p1+p2+…+pn=1.3.离散型随机变量的均值与方差类别定义及公式独立性质共同性质作用均值(期望)E(X)==∑i=1nxipiE(aX+b)=(a,b为常数)

D(X)=E(X2)-[E(X)]2反映了随机变量取值的,用于预测和决策

反映了随机变量取值的,用于评估风险或稳定性

方差(标准差)D(X)==∑i=1n[xi-E(X)]2pi为随机变量X的方差,DD(aX+b)=(a,b为常数)

4.两点分布(1)定义:对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,A表示“失败”,定义X=1,A发生,0,A发生.如果P(A)=p,则PX01P1-pp我们称X服从两点分布或0-1分布.(2)均值与方差若随机变量X服从参数为p的两点分布,则E(X)=p,D(X)=p(1-p).题组一常识题1.[教材改编]已知随机变量X的分布列如下表,且m+2n=1.2,则m-n2=X0123P0.1mn0.12.[教材改编]已知随机变量X服从两点分布,且P(X=0)=2a,P(X=1)=a,那么a=.

3.[教材改编]已知随机变量X的分布列为X12345P0.10.30.40.10.1则E(3X+2)=.

题组二常错题◆索引:随机变量X的所有可能取值情况考虑不周致误;忽视分布列中概率之和为1、概率非负致误;期望与方差的公式用错致误;随机变量取特定值时的概率计算不准确致误.4.袋中有除颜色外完全相同的6个黑球,5个白球,从袋中每次任意取出1个球且不放回,直到取出的球是白球停止操作,记取球的次数为随机变量X,则X的可能取值为.

5.设随机变量X的分布列为P(X=i)=k2i(i=1,2,3),则P(X≥2)=6.已知随机变量X的分布列为X012P2c21212则实数c的值为,随机变量X的方差为.

7.一位射手向靶射击,直到命中或打完所有子弹为止,每次命中的概率均为0.6,现有4发子弹,设射击结束后剩余子弹的数目为X,则P(X=0)=,P(X=1)=.

分布列及其性质例1(1)[2026·辽宁七校协作体联考]已知离散型随机变量X的分布列如下表,若离散型随机变量Y=2X+1,则P(Y≥5)=.

X0123Pa15a1(2)已知p>0,q>0,随机变量X的分布列如下:XpqPqp若E(X)=59,则p2+q2=总结反思离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用“所有概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值;(2)可以求某些特定事件的概率;(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.变式题(1)已知随机变量X的分布列如下表:X-101Pabc若a,b,c成等差数列,则P(|X|=1)的值与公差d的取值范围分别是 ()A.23,-13,13 C.23,-13,23 (2)已知随机变量X的分布列为P(X=n)=an(n+1)(n=1,2,3,4),其中a为常数,则离散型随机变量的均值与方差例2(1)已知离散型随机变量X的分布列如下,若E(12X+2)=9,则D(2X+3)= ()X-10a2P1b11A.49144 B.155144 C.15572 (2)已知随机变量Xi满足P(Xi=1)=pi,P(Xi=0)=1-pi,i=1,2.若0<p1<p2<12,则 (A.E(X1)<E(X2),D(X1)<D(X2)B.E(X1)<E(X2),D(X1)>D(X2)C.E(X1)>E(X2),D(X1)<D(X2)D.E(X1)>E(X2),D(X1)>D(X2)总结反思离散型随机变量的均值与方差的计算主要考查两个方面:(1)根据分布列中概率之和为1以及均值、方差公式求值;(2)当随机变量的参数变化时,结合函数性质考查均值与方差的变化情况.变式题(1)[2025·重庆八中12月月考]设1<a<2,随机变量X的分布列如下表,若a在(1,2)内增大,则 ()X1a2P111A.D(X)增大B.D(X)减小C.D(X)先增大后减小D.D(X)先减小后增大(2)离散型随机变量X的所有可能取值为0,1,2,若P(X=0)=0.2,P(X=1)=a,P(X=2)=b,E(X)=1,则D(2X-1)=.

例3[2025·北京卷]有一道选择题考查了一个知识点,甲、乙两校各随机抽取100人,甲校有80人答对,乙校有75人答对,用频率估计概率.(1)从甲校随机抽取1人,求这个人做对该题目的概率.(2)从甲、乙两校各随机抽取1人,设X为做对的人数,求恰有1人做对的概率以及X的数学期望.(3)若甲校同学掌握这个知识点,则有100%的概率做对该题目,乙校同学掌握这个知识点,则有85%的概率做对该题目,未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个,设甲校学生掌握该知识点的概率为p1,乙校学生掌握该知识点的概率为p2,试比较p1与p2的大小(结论不要求证明).

总结反思求离散型随机变量的均值与方差的方法:(1)理解随机变量X的意义,求出X的分布列;(2)由均值与方差的定义求出E(X)与D(X).注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用.变式题[2025·广东部分学校质检]某公司拟通过摸球中奖的方式对员工发放节日红包.在一个不透明的袋子中装有n个形状、大小相同的标有面值的球,每位员工从袋中一次性随机摸取m个球(m≤n),摸完后全部放回袋中,球上所标的面值之和为该员工所获得的红包数额.(1)若n=4,m=2,当袋中的球中有2个所标面值为40元,1个为50元,1个为60元时,在员工所获得的红包数额不低于90元的条件下,求取到面值为60元的球的概率;(2)若n=5,m=4,当袋中的球中有1个所标面值为10元,2个为20元,1个为30元,1个为40元时,求员工所获得红包数额的数学期望与方差.

均值与方差中的决策问题例4[2024·新课标Ⅱ卷]某投篮比赛分为两个阶段,每个参赛队由两名队员组成,比赛具体规则如下:第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次,若3次都未投中,则该队被淘汰,比赛成绩为0分;若至少投中一次,则该队进入第二阶段,第二阶段由该队的另一名队员投篮3次,每次投篮投中得5分,未投中得0分,该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和.某参赛队由甲、乙两名队员组成,设甲每次投中的概率为p,乙每次投中的概率为q,各次投中与否相互独立.(1)若p=0.4,q=0.5,甲参加第一阶段比赛,求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率.(2)假设0<p<q<1.(i)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大,应该由谁参加第一阶段比赛?(ii)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大,应该由谁参加第一阶段比赛?

总结反思(1)E(X)反映了随机变量取值的平均水平,D(X)反映了随机变量偏离均值的程度.它们从整体和全局上刻画了随机变量,是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值,若均值相同,再用方差来决定.(2)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度,D(X)越大表明平均偏离程度越大,说明X的取值越分散;反之,D(X)越小说明X的取值越集中在E(X)附近.变式题[2025·莆田二检]在某人工智能的语音识别系统开发中,每次测试语音识别成功的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影响.(1)已知在安静环境下,语音识别成功的概率为0.9;在嘈杂环境下,语音识别成功的概率为0.6.某天进行测试,已知当天处于安静环境的概率为0.3,处于嘈