全品高考备战2027年数学一轮学生用书08第55讲抛物线【正文】听课手册

第55讲抛物线【课标要求】1.了解抛物线的实际背景,感受抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.

2.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,以及它的简单几何性质.

3.通过抛物线与方程的学习,进一步体会数形结合的思想.

4.了解抛物线的简单应用.1.抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离的点的轨迹叫作抛物线.点F叫作抛物线的,直线l叫作抛物线的.

2.抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离图形(续表)标准方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的几何意义:焦点F到准线l的距离性质顶点O(0,0)对称轴直线y=0直线x=0焦点F

F

F

F

离心率e=

准线方程

范围x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0,y0))|PF|=

|PF|=

|PF|=

|PF|=

通径长2p3.直线和抛物线的位置关系(1)将直线的方程y=kx+m与抛物线的方程y2=2px(p>0)联立成方程组,消元转化为关于x(或y)的一元二次方程k2x2+2(km-p)x+m2=0(或ky2-2py+2pm=0),其判别式为Δ.当k=0时,直线与抛物线的对称轴平行或重合,直线与抛物线相交于一点.当k≠0时,①Δ>0⇔直线和抛物线相交,有两个公共点;②Δ=0⇔直线和抛物线相切,有一个公共点;③Δ<0⇔直线和抛物线相离,无公共点.(2)直线与抛物线的相交弦设直线y=kx+m交抛物线y2=2px(p>0)于P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点,则|P1P2|=(x(x1-x2)21+y1-y2x1-x22=1+k2|x这里|x1-x2|,|y1-y2|的求法通常使用根与系数的关系,需进行如下变形:|x1-x2|=(x|y1-y2|=(y常用结论抛物线的几个常用结论:(1)若AB为抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦,A在第一象限内,F为抛物线的焦点,AB的倾斜角为α,A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则:①x1x2=p24;②y1y2=-p③|AF|=p1-cosα,|BF|=p1+cosα,④弦长|AB|=x1+x2+p=2p⑤S△OAB=p22sinα⑥以AB为直径的圆与准线相切,以AF或BF为直径的圆与y轴相切;⑦过抛物线焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上.(2)过抛物线y2=2px(p>0)的顶点O(0,0)作互相垂直的两条射线且都与抛物线相交,交点分别为A,B(如图),则直线AB过定点M(2p,0);反之,若过点M(2p,0)的直线l与抛物线y2=2px(p>0)交于两点A,B,则必有OA⊥OB.题组一常识题1.[教材改编]抛物线y2=16x的焦点坐标为.

2.[教材改编]如图所示,某桥是抛物线形拱桥,此时水面宽为4m,经过一次暴雨后,水位上升了1m,水面宽为3m,则暴雨后的水面离桥拱顶的距离为m.

3.[教材改编]已知F是抛物线y=4x2的焦点,点P(x0,y0)在抛物线上,且|PF|=2,则y0=.

题组二常错题◆索引:忽视抛物线的焦点位置致误;忽视直线与抛物线位置关系中的特殊情形致误.4.已知抛物线的顶点是坐标原点,对称轴为坐标轴,并且经过点P(2,4),则该抛物线的方程为.

5.若过点P(0,2)的直线l与抛物线C:y2=2x有且只有一个公共点,则这样的直线l共有条.

抛物线的定义及应用例1(1)设圆C与圆x2+(y-3)2=1外切,且与直线y=-2相切,则圆C的圆心的轨迹为 ()A.抛物线 B.双曲线C.椭圆 D.圆(2)[2023·北京卷]已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上.若M到直线x=-3的距离为5,则|MF|= ()A.7 B.6C.5 D.4总结反思1.抛物线上的点到焦点的距离等于其到准线的距离,注意转化思想的运用.2.利用抛物线定义进行距离转化的同时,要注意平面几何知识在其中的应用.变式题(1)[2026·广东部分中学质检]若抛物线C的焦点为F,准线方程为3x+4y=5,且C经过点O(0,0),则|OF|= ()A.5 B.5C.1 D.5(2)设抛物线x2=12y的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A,B两点,若点P恰为线段AB的中点,则|AF|+|BF|=.

抛物线的标准方程例2已知抛物线的顶点为坐标原点O,根据下列条件,求抛物线的标准方程:(1)准线方程为y=-32(2)对称轴是x轴,顶点到焦点的距离等于2;(3)对称轴是y轴,经过点(1,-2);(4)点A,B均在抛物线y2=2px(p>0)上,正三角形OAB的面积为43.

总结反思求抛物线标准方程的方法:①直接法:直接利用题中已知条件确定参数p.②待定系数法:先设出抛物线的方程,再根据题中条件,确定参数p.当焦点位置不确定时,应分类讨论或设抛物线方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0).注意:参数p的几何意义是焦点到准线的距离,可以利用它的几何意义来解决问题.变式题(1)[2025·北京卷]抛物线y2=2px(p>0)的顶点到焦点的距离为3,则p=.

(2)(多选题)[2025·安徽蚌埠三模]设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过C上一点A作其准线的垂线,设垂足为B,若cos∠BAF=35,|AF|=10,则p= (A.2 B.3C.4 D.5抛物线的几何性质角度1焦半径和焦点弦例3(1)[2025·全国二卷]设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A在C上,过A作C的准线的垂线,垂足为B.若直线BF的方程为y=-2x+2,则|AF|= ()A.3 B.4C.5 D.6(2)(多选题)[2022·新高考全国Ⅱ卷]已知O为坐标原点,过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线与C交于A,B两点,点A在第一象限,点M(p,0),若|AF|=|AM|,则 ()A.直线AB的斜率为26 B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180°总结反思涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考,通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征,体现了数形结合思想.变式题(1)(多选题)[2025·江西新余模拟]已知抛物线E:y2=2px(p>0),准线为l,过焦点F的直线交抛物线E于A,B两点,过A,B分别作l的垂线,垂足分别为A',B',则 ()A.FA'⊥FB'B.若|AF|=3|BF|,则直线AB的斜率为3C.A,O,B'三点共线(其中O为坐标原点)D.|A'B'|2=4|AF||BF|(2)[2025·河南信阳模拟]已知F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点,△ABC的三个顶点都在抛物线上,若F恰好为△ABC的重心,且|FA|+|FB|+|FC|=6,则p=.

角度2与抛物线有关的最值问题例4(1)已知点P是抛物线y=14x2上的动点,定点A(1,0),则点P到点A的距离与点P到x轴的距离之和的最小值为 (A.2-1 B.1C.3-1 D.2(2)[2025·贵州黔南州三模]设抛物线C:y2=4x上一点P到直线l1:x=-1的距离为d1,到直线l2:3x+4y+7=0的距离为d2,则d1+d2的最小值为.

总结反思与抛物线有关的最值问题的解题技巧:(1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,构造出“两点之间线段最短”“三角形两边之和大于第三边”,使问题得以解决.(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,利用“直线外一点与直线上所有点的连线中垂线段最短”解决.变式题(多选题)已知F(1,0)为抛物线E:y2=2px(p>0)的焦点,A,B为E上的两个动点,则下列说法正确的是 ()A.若点D的坐标为(3,0),则|AD|的最小值为3B.若|AB|=6,则线段AB的中点到y轴的最小距离为2C.若线段AB的中点的横坐标为3,则|AB|的最大值为8D.若P(2,1),当△PAF的周长最小时,△PAF的面积为7直线与抛物线的位置关系例5(1)[2025·山东泰安模拟]已知抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F是圆C2:x2+y2-8x+12=0的圆心,过点F的直线l与C1,C2相交,交点自上而下分别为A,B,C,D,则|AB|+|CD|的取值范围为 ()A.[4,+∞) B.[8,+∞)C.[12,+∞) D.[16,+∞)(2)(多选题)[2026·山东潍坊模拟]已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),过F的一条直线l交C于A,B两点(A位于第一象限),过A,B作直线x=-1的垂线,垂足分别为A1,B1,则下列结论正确的是 ()A.p=2B.若|AF|=3,则A(2,22)C.若直线l的倾斜角为π4,则|AF|=4-2D.记△FAA1,△FA1B1,△FBB1的面积分别为S1,S2,S3,则S22=4S1总结反思(1)求解直线与抛物线问题,一般利用方程法,但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时,要注意“设而不求”“整体代入”“点差法”以及定义的灵活应用.(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点(设焦点在x轴的正半轴上),则可直接使用公式|AB|=x1+x2+p,若不过焦点,则可用弦长公式.变式题1(多选题)[2025·全国一卷]设抛物线C:y2=6x的焦点为F,过F的直线交C于A,B两点,过F且垂直于AB的直线交准线l:x=-32于E,过点A作准线l的垂线,垂足为D,则 (A.|AD|=|AF| B.|AE|=|AB|C