2025-2026学年北京市东城区景山学校高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年北京市东城区景山学校高一（下）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。1.设z=1+i,则z2-i=（）A.i B.-i C.1 D.-12.已知向量，满足+=（2，3），-=（-2，1），则||2-||2=（）A.-2 B.-1 C.0 D.13.在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点P到x轴的距离为，则cos2α的值为（）A. B. C. D.4.复数z满足（1+i）z=-i,则=（）A. B. C. D.5.已知平面α，β和直线m，且m⊂α，则“α∥β”是“m∥β”的（）A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件6.向量，在正方形网格中的位置如图所示，则＜，＞=(

)

​​​​​​​A.45° B.60° C.120° D.135°7.如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是（）A. B.

C. D.8.在三角形ABC中，a=2，，，则A=（）A. B. C.或 D.或9.已知，且，，则cos（α+β）=（）A. B. C. D.10.在△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°．P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1，则•的取值范围是（）A.[-5，3] B.[-3，5] C.[-6，4] D.[-4，6]二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知向量，，，则y=

；=

.12.求值：sin65°cos20°+cos115°sin20°=

.13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是A1B1的中点，平面ACE将正方体分成体积分别为V1，V2（V1≤V2）的两部分，则=

.

14.已知函数，若ω=1，则=

；若f（x）在区间上至少有3个零点，则ω的一个取值可以为

.15.已知△ABC中，，bcosC+ccosB=2，若点P是边BC上一点，Q是AC的中点，给出下列四个结论：

①若，则；

②若在方向上的投影向量为，则的最小值为；

③若，则的最大值为；

④若，则为定值18.

其中所有正确结论的序号是

.三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知函数.

（1）求f（x）的最小正周期和单调递增区间；

（2）当时，求f（x）的最大值和最小值.17.(本小题14分)

如图，已知△ABC中，AB=3，AC=3，∠ACB=，点D是边BC上一点，且∠CAD=.

（1）求AD的长；

（2）求△ABD的面积.18.(本小题14分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F.

（1）求证：PA∥平面BDE；

（2）求证：F为PD的中点；19.(本小题14分)

在△ABC中，2bsinC=，cosB=-，∠A的平分线与BC交于点D.

（Ⅰ）求c的值；

（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使△ABC存在且唯一确定.求AD的长.

条件①：BC边上的高为；

条件②：△ABC的面积为；

条件③：△ABC的周长为.

注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.20.(本小题14分)

如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点G，E，F，P分别为棱AB，D1C1，B1C1，AA1的中点，点M是棱A1D1上的一点，且

（1）求证：D，B，F，E四点共面；

（2）求证：D1G∥平面DBFE；

（3）棱A1B1上是否存在一点N使平面PMN∥平面DBFE？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.21.(本小题15分)

已知函数f（x）的定义域为R，若存在常数T≠0，使得f（x+T）=Tf（x）对任意的x∈R成立，则称函数f（x）具有性质P.

（1）判断函数f（x）=x,g（x）=sinπx是否具有性质P；

（2）若函数f（x）具有性质P，且f（x）是偶函数，求证：f（x）是周期函数；

（3）若函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0）具有性质P，且T＞0，求ω的最小值.

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】D

8.【答案】A

9.【答案】D

10.【答案】D

11.【答案】6．

12.【答案】．

13.【答案】

14.【答案】26（答案不唯一）

15.【答案】①③④

16.【答案】最小正周期π，单调递增区间为

最大值为2，最小值为

17.【答案】6；

．

18.【答案】证明：（1）如图所示：

连接AC交BD于点G，连接GE，

因为ABCD为平行四边形，

所以G为AC的中点，

又E为PC的中点，

所以GE∥PA，

又PA⊄平面BDE，GE⊂平面BDE，

所以PA∥平面BDE；

（2）因为底面ABCD为平行四边形，

所以AB∥CD，

又AB⊂平面ABEF，CD⊄平面ABEF，

所以CD∥平面ABEF，

又平面ABEF∩平面PDC=EF，，

所以CD∥EF，

又因为E为PC的中点，

所以F为PD的中点．

19.【答案】

选条件①时无解；选条件②和条件③时

20.【答案】证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接D1B1，因为点E，F分别为棱D1C1，B1C1的中点，所以EF∥D1B1，

又在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DD1∥BB1，且DD1=BB1，

所以四边形DBB1D1为平行四边形，

所以DB∥B1D1，

所以EF∥BD，

所以D，B，F，E四点共面

证明：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接D1C、GC分别交DE、DB于点H、O，连接HO，

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，D1E∥DC且，

所以△HED1∽△HDC，则，

同理可得，

所以，所以HO∥D1G，

又HO⊂平面DBFE，D1G⊄平面DBFE，

所以D1G∥平面DBFE

存在，

21.【答案】函数f（x）=x不具有性质P，g（x）=sinπx具有性质P

证明：因为函数f（x）具有性质P，

所以存在常数T≠0，使得f（x+T）=Tf（x）对任意的x∈R成立，

所以f（-x+T）=Tf（-x）