辽宁省葫芦岛市普通高中高三下学期第二次模拟考试数学试卷

2024年葫芦岛市普通高中高三第二次模拟考试数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共4页.满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上.3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上.4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回.第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】直接根据交集的定义得到答案.【详解】根据集合交集的定义立得A∩B=x故选：A.2.设A，B是两个随机事件，且，，则下列正确的是（）A.若，则A与B相互独立 B.C. D.A与B有可能是对立事件【答案】A【解析】【分析】对A：借助相互独立事件定义计算即可得；对B：借助概率公式计算即可得；对C：借助条件概率公式计算即可得；对D：借助对立事件定义即可得.【详解】对A：由，故，则有，故与相互独立，故与相互独立，故A正确；对B：，故B错误；对C：，由未定，故C错误；对D：，故与不是对立事件，故D错误.故选：A.3.某校要派4名教师到甲、乙两个社区开展志愿者服务，若每个教师只去一个社区，且两个社区都有教师去，则不同的安排方法有（）A.20种 B.14种 C.10种 D.7种【答案】B【解析】【分析】按照分组，分配的方法，结合组合和排列数公式，即可求解.【详解】第一步：将4名教师分成两组，有两种情况：一种情况是1组1人、1组3人，一种情况是每组2人，共有种分法；第二步：将第一步得到的两个不同组分给两个不同社区，有种分法，则不同的安排方法有（种）.故选：B4.等差数列中，，，则使得前n项的和最大的n值为（）A.7 B.8 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】根据条件，可得数列为递减数列，且，，可判断得解.【详解】在等差数列中，，由，可得，，，且数列为递减数列，所以使得前n项的和最大的n值为8.故选：B.5.某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了40名初中生和20名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为8小时，方差为2，高中生每天的平均睡眠时间为7小时，方差为1.根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为（）A. B.1.5 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据给定条件，求出该地区中学生每天睡眠时间的平均数，再利用分层抽样方差的计算方法求得结果.【详解】该地区中学生每天睡眠时间的平均数为：（小时），该地区中学生每天睡眠时间的方差为：.故选：D.6.已知函数的部分图象如图所示，若，，则正整数的取值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】先求出函数的周期，再据此得到，最后比对选项即可.【详解】方法一：因为，所以，，所以，即，而，所以是非负整数，又由图象可得，所以，综上，只能，所以的最小正周期为，而由，可知，即正整数是的周期，所以，即，对比选项可知只有C选项符合题意.方法二：设函数的最小正周期为，由于，故据图象可知，从而.从而由表明，比对选项知C正确，A，B，D错误.故选：C.7.直线l与平面成角为，点P为平面外的一点，过点P与平面成角为，且与直线l所成角为的直线有（）A.0条 B.1条 C.2条 D.4条【答案】C【解析】【分析】过与平面成角的直线形成一个圆锥的侧面（即圆锥的母线与底面成角），然后考虑这些母线中与直线成角的直线有几条，通过圆锥的轴截面可得．【详解】如图所示，设直线与平面相交于，直线在平面的射影为直线.且直线与平面所成角为，即.设圆锥的顶点为点，圆锥的轴平面，即圆锥的任意一条母线与平面所成角都等于.当过点的母线为直线时，直线与平面所成角为，直线与直线所成角为，即,当过点的母线沿逆时针旋转到直线时，直线与直线所成角为，即，所以过点的直线从沿逆时针旋转到直线时，与直线所成角的范围为，故存在一条过点的直线与直线所成角为，同理可得，过点的直线从沿顺时针旋转到直线时，也存在一条过点的直线与直线所成角为，所以过点的直线与平面所成角为，与直线所成角为的直线有2条.故选：C.8.已知函数，，若关于x的方程有三个不同实数根，则实数t的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令，作出函数的图象，结合图象得出关于的方程根的情况，再根据一元二次方程根的分布情况分类讨论即可得解.【详解】如图，作出函数的图象，令，由图可知，当时，关于的方程有个不同的实数根，当或时，关于的方程只有个实数根，因为关于x的方程有三个不同实数根，所以关于的方程的一个根在0,1上，另一个根在上，或方程的两个根一个为，另一个在0,1上，若为方程的根时，则，当时，方程的另一个根为，不符题意，当时，方程的另一个根为，不符题意，若为方程的根时，则或，当时，方程的另一个根为，不符题意，当时，方程只有一个根为，不符题意，若关于的方程的一个根在0,1上，另一个在上时，令，则，即，解得，综上所述，实数t的取值范围是.故选：B.【点睛】方法点睛：本题考查利用二次函数的零点分布求参数，一般要分析以下几个要素：（1）二次项系数的符号；（2）判别式；（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号.结合图象得出关于参数的不等式组求解.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.）9.已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（）A.若，，则B.已知向量，，则C.若，则和在上的投影向量相等D.已知，，，则点A，B，D一定共线【答案】CD【解析】【分析】根据向量的线性运算、投影向量的意义和向量共线定理即可判断出正确答案.【详解】对于A，若，，则与可能平行，故A错误；对于B，设，则，解得，所以，故B错误；对于C，若，则，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正确；对于D，因为，，所以,所以点A，B，D一定共线，故D正确.故选：CD.10.集合的整数元素的个数为，数列的前n项和为，满足，，且，都有成立，下列选项正确的是（）A.数列的通项公式为B.C.实数的取值范围是D.时，数列中的每一项都不能够被5整除【答案】D【解析】【分析】利用题意，可计算，判断B是错误的；再利用的关系，可求得，但要注意此时，再检验首项，可判断A是错误的；对于不等式，可利用化简变形，再分类讨论来分离参变量，最后求出范围，同样要注意首项另外计算，可判断C也是错误的；对于被5整除，只需要化简原式就可以判断，同时也要注意首项的判断，才能决定选项D是正确的.【详解】解，所以，即B错误；所以，则，两式相减得：，当时，，所以，不满足上式，所以A错误；由上，当时，由恒成立，则，等价变形得：，化简得：，当为偶数得：，则，所以，当为奇数得：，由，所以，但是当时，，而，由得：，解得，综上可得：，所以C错误；当时，，因为和都能被5整除，而一定不能被5整除，此时一定不能被5整除，而当时，，显然不能被5整除，所以D正确；故选：D．11.已知椭圆：与双曲线：有公共焦点，，它们的离心率分别为，，P是它们在第一象限的交点，的内切圆圆心为Q，，O为坐标原点，则下列结论正确的是（）A.若，则B.若，则的最小值为C.过作直线的垂线，垂足为H，点H的轨迹是双曲线D.两个曲线在P点处的切线互相垂直【答案】ABD【解析】【分析】A选项，根据得到⊥，由椭圆定义和双曲线定义得到，由勾股定理得到方程，求出，故A正确；B选项，由余弦定理得到方程，求出，即，由基本不等式求出的最小值；C选项，作出辅助线，得到，得到H的轨迹是以为圆心，为半径的圆，C错误；D选项，先得到椭圆和双曲线在P点处的切线的斜率，得到椭圆在Px0,y0点处的切线斜率为，双曲线在Px0,y0点处的切线斜率为，又，化简得，从而得到斜率乘积为1，得到D正确.【详解】A选项，因为，所以，又，故，则⊥，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得，由勾股定理得，即，化简得，即，又，所以，A正确；B选项，若，由余弦定理得，即，由（1）得，代入上式得，即，即，因为又，所以，由基本不等式得，即，解得，当且仅当时，等号成立，则的最小值为，B正确；C选项，过作直线的垂线，垂足为H，延长交于点，因为平分，由三线合一得，为的中点，则，连接，由中位线性质得，故点H轨迹是以为圆心，为半径的圆，C错误；D选项，下面证明椭圆在Px0,y当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，代入椭圆方程得：，由，化简得：，所以，把代入，得：，于是，则椭圆的切线斜率为，切线方程为，整理得到，其中，故，即，当时，此时或，当时，切线方程为，满足，当时，切线方程为，满足，综上：椭圆在Px0,y下面证明：上一点的切线方程为，理由如下：设过点的切线方程为，与联立得，，由化简得，因为，代入上式得，整理得，同除以得，，即，因为，，所以，联立，两式相乘得，，从而，故，即，令，则，即，解得，即，故椭圆：在Px0,y双曲线在Px0,y又，故，化简得，又，所以，故则斜率乘积为，故两曲线在点处的切线互相垂直，D正确.故选：ABD【点睛】过圆上一点的切线方程为：，过圆外一点的切点弦方程为：.过椭圆上一点Px0,y过双曲线上一点Px0,第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知复数z满足，则的值为______.【答案】【解析】【分析】由条件根据复数的运算求出的代数形式，再利用复数模的公式计算.【详解】由题意可得，则，所以.故答案为：.13.在中，，，M是的中点，，则______，______.【答案】①.②.【解析】【分析】作出图像，结合余弦定理即可求解.【详解】依题作出图像，如图：在中，，，，由余弦定理：，解得：，则，所以，解得：，故.故答案为：；14.已知实数，，则的最大值为______.【答案】2【解析】【分析】利用分离常数法，把分子降为一次式，再可以利用基本不等式结合条件即得.【详解】因为，又因为，，所以可由平方均值不等式得：，取等号条件是，即，所以上式可变为：，取等号条件是：，即，结合，可得取到最大值的条件是：.故答案为：2四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设函数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在区间内单调递增，求k的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）只需分别求出，即可得解；（2）由题意在内恒成立，从而当且仅当，其中，解不等式组即可得解.【小问1详解】当，，，，又.所以，整理得：.【小问2详解】由题意，在内导数非负，即在上恒成立，令，从而需满足：且，所以且，经检验符合题意，所以k的取值范围是.16.某商场为调查手机卖场各品牌手机在晚上19：30到21：00时段的销售情况，随机抽取了某一周该时段的销售数据，并要求每个品牌只抽取一个款式的手机，且不考虑价格波动.手机品牌三星华为苹果vivo销售总额（万元）1.921.84.84.82.52销售量431067销售利润率0.10.070.060.050.08销售利润率是指：一部手机销售价格减去出厂价格得到的利润与该手机销售价格的比值.（1）从该公司本周该时段卖出的手机中随机选一部，求这部手机利润率高于0.07的概率；（2）从该公司本周该时段卖出的销售单价为4800元的手机中随机选取2部，求这两部手机的利润率不同的概率；（3）销售一部手机获利元，销售一部三星手机获利元，…，销售一部vivo手机获利元，依据上表统计数据，随机销售一部手机获利的期望为，设，试判断与的大小.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由古典概率结合题意计算即可；（2）先计算出单价为4800的手机型号，再结合题意由古典概率结合组合数计算即可；（3）先由题意计算出，，，，，再算出其相应的概率，然后由期望公式求出期望，最后与平均数比较大小即可；【小问1详解】由题意知，本周该时段共卖出30部手机，利润率高于0.07的是4部和vivo7部，共有11部.设“这部手机利润率高于0.07”为事件A，则.【小问2详解】用销售总额除以销售量得到手机的销售单价，可知手机和华为手机销售单价为4800元，有手机4部，华为手机10部，共有14部，随机选取2部有种不同方法，由于两部手机的利润率不同，则每类各取一部有种不同方法，设两部手机的利润率不同为事件B，则.【小问3详解】由题意可知利润等于价格乘以利润率，于是，，，，所以，x可能取的值为288，400，420，480.，，，因此，又所以.17.如图，在五面体中，底面菱形，，.（1）求证：；（2），M是的中点，O为的中点，且，.①求证：平面；②求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）①证明见解析；②【解析】【分析】（1）先由线面平行的判定定理证明面，结合线面平行的性质即可得证；（2）①只需分别证明，，然后结合线面垂直的判定定理即可得证；②建立适当的空间直角坐标系，求出直线的方向向量与平面的法向量，由向量的夹角公式即可得解.【小问1详解】因为底面是菱形，所以.又面，面.面，又因为面，面面，所以.【小问2详解】①证明：取的中点G连结，.由已知，所以有.又因为O为中点，所以，又，，所以.又，面.且，所以面，又因为面，所以，又，且，相交.又因为，面，所以面；②以O为原点.以所在直线为z轴.以所确线为y轴.过O作平行线为x轴，建立空间直角坐标系.如图，，，，，，，，设面的法向量n=x,y,z，，，设所求线面角为，.18.已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，，A，B，C为上不同的三点.（1）求的标准方程；（2）若直线过点，且斜率，求面积的最小值；（3）若直线，与相切，求证：直线也与相切.【答案】（1）（2）（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据列式运算求得，得解；（2）设直线为与抛物线联立，利用弦长公式求得，再利用点到直线距离公式求得边上高，表示出，设，利用导数判断单调性求得的最小值；（3）设直线的方程为，与抛物线联立，由得，同理可得，可得Bx2,y2，满足方程与联立验证即可.【小问1详解】根据题意得，，，，解得，所以F21,0，抛物线的标准方程为.【小问2详解】设直线为代入得，，设Ax1,y1，Bx2点到直线的距离为，，，设，则，所以函数在上单调递增，所以，所以的最小值为.【小问3详解】直线的方程为，，，，即，代入到得：，，即，①同理直线的方程为即，代入到得：，，即，②由①②，显然Bx2,y2再将直线代入到得：，，所以直线也与相切.【点睛】关键点睛：本题第三问解题的关键是得到点的坐标均满足，即直线的方程为，与联立验证.19.设数阵，其中.设，其中，且.定义变换为“对于数阵的每一列，若其中有t或，则将这一列中所有数均保持不变；若其中没有t且没有，则这一列中每个数都乘以”（），表示“将经过变换得到，再将经过变换得到，…，以此类推，最后将经过变换得到.记数阵中四个数的和为.（1）若，，写出经过变换后得到的数阵，并求的值；（2）若，，求的所有可能取值的和；（3）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不大于.【答案】（1），0（2）40（3）证明见解析【解析】【分析】（1）直接由变换以及的定义即可求解；（2）对集合分类讨论，进而得出的所有情况即可求解；（3）分是否相等进行讨论