《基础工程力学》-第六章刚体的运动分析

第一节刚体运动形式概述一、点的运动形式

点的运动学研究动点相对某参考系的几何位置随时间变化的规律，一般由点的位移、运动轨迹、运动方程、速度和加速度来描述。物体在空间改变自己的位置，即不同的时刻，物体占据空间不同的位置，运动形式复杂多样。认识物体的运动需从认识一个动点的运动开始，所谓动点，是忽略物体的几何形体大小，将物体视为一个运动的点。点的运动是指点在空间的位置随时间的变化。比如观看足球赛，如果视每位运动员为一个几何点，则可感受到动点运动有快有慢，有直线运动，有曲线运动，有加速和减速的差别。点的运动可归纳为如下几种形式:

点的简单运动按其运动状态分为:匀速运动、匀变速运动、变速运动;

按其运动轨迹分为:直线运动、圆周运动、平面曲线运动和空间曲线运动返回下一页第一节刚体运动形式概述二、刚体的运动形式所谓刚体的基本运动，是指刚体的平动和定轴转动。这两种运动形式是刚体运动形式中最简单也是最基本的形式。本章以点的运动为基础来研究刚体的这两种运动形式。

1.平行移动直线轨道上行驶的高速列车的车身、现代城市楼宇中垂直升降的电梯，如图6-1所示、海军士兵训练用的浪木，如图6-2所示等的运动都是平行移动。所谓刚体平行移动是指刚体在运动过程中，它上面的任一直线始终保持和自身原始的位置平行。上一页返回下一页第一节刚体运动形式概述

刚体平动过程中，其上各点运动的轨迹形状相同且彼此平行;每一瞬时各点的速度相等，各点的加速度也相等。因此，刚体的平动可用其上任一点的运动来代替，即刚体平动可归结为点的运动来研究。

2.定轴转动如图6-3所示，钟表上的指针，电动机转子，影碟机上的光盘，如图6-4所示，自动生产线上的传输轮等的运动都是定轴转动。由此可见，刚体绕定轴转动的特征是:刚体运动时，体内或其扩展部分有两点保持不动，两点连线外的其他各点都绕此连线做圆周运动。刚体做定轴转动时;各点的运动状态不完全一样。因此，研究刚体定轴转动既要考虑刚体整体转动状态，如刚体转动快慢及转向、转动状态变化，又要分析刚体上各点的运动情况。刚体整体运动状态决定了刚体上各点的运动状态。上一页返回下一页第一节刚体运动形式概述

工程上，刚体除存在上述两种基本运动形式外，还有较复杂的平面运动。所谓刚体平面运动是指在运动时，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。或者说刚体做平面运动时，其上任一点的运动轨迹都是一平面曲线。如车轮沿路面或轨道的纯滚动，如图6-5所示，曲柄连杆机构中连杆AB的运动，如图6-6所示等都是平面运动。刚体的基本运动可组合或实现许多复杂的运动。例如工业机器人中腰回转、肩旋转、肘旋转、腕摆动、腕旋转、腕俯仰等的运动可组合起工业机器人的各种灵活动作，不仅可以进行二维平面动作，而且可实现随意的位姿，如图6-7所示。上一页返回第二节点的平面运动一、确定点在空间的位置1.直角坐标法确定点相对某一物体的位置，可以在该物体上固联一直角坐标系，用直角坐标(x,y)可以唯一确定动点M在坐标系中的位置，如图6-10所示。当动点的位置发生变化时，坐标x,y是时间t的连续函数即返回下一页第二节点的平面运动2.自然法若已知动点M的运动轨迹，如图6-11所示。在轨迹曲线上任选一点O为原点，在O点两侧规定出正、负方向。动点M在轨迹上的位置可用它到O点的弧长、来确定，s称为弧坐标。弧坐标是代数量。动点M在轨迹正向时，s为正，反之为负。当点沿曲线运动时，弧坐标s是时间f的连续函数，即上一页返回下一页第二节点的平面运动二、点的速度汽车在高速公路上以120km/h的速度行驶，广深线上的蓝箭高速列车时速高达200km/h，我们认为后者运动比前者快。工程上，人们以速度的大小来描述点运动的快慢。点的速度大小等于弧坐标s对时间的一阶导数，即上一页返回下一页第二节点的平面运动

点在空间位置的移动是需要明确移动方向的，就如同首都机场飞往全国各大城市的飞机航班图，如图6-12所示的那样。描述点的运动必须确定其运动方向。由此可知，速度是一个既有大小，又有方向的矢量。理论分析告诉我们，动点运动速度的方向是沿轨迹曲线上点的切线并指向运动的一方。上一页返回下一页第二节点的平面运动三、点的加速度飞机在起飞和降落过程中需要将速度由零增加到400km/h以上，或将速度由400km/h降到零。长跑运动员为获得优胜名次，常需要根据自身和竞赛对手的状况，在适当时机加速奔跑。在许多情况下，动点的速度是变化的，或者速度大小发生变化，或者速度方向发生变化，或者速度大小和速度方向都发生变化。在力学中用一个称为加速度的物理量a描述动点的速度变化。应用时通常把加速度分解为切向加速度aτ和法向加速度an

切向加速度ar是速度大小的变化率，其大小为上一页返回下一页第二节点的平面运动方向沿轨迹切线方向，若dv/dt>0,指向运动方向;若dv/dt<0,则相反。法向加速度an是速度方向的变化率，其大小为方向沿轨迹在该点处的法线，指向曲率中心。上一页返回下一页第二节点的平面运动

式(6-5)中u是动点在轨迹曲线上的速度大小，P是轨迹曲线在该点处的曲率半径。

aτ的值越大，说明速度大小变化越快。如果点做匀速曲线运动，即点的速度大小不变，则aτ=0an的值越大，说明速度方向变化越快，或者说点运动的方向变化越快。如果点做直线运动，则an=0

由数学分析可得出点做匀变速圆周运动的一组计算公式上一页返回下一页第二节点的平面运动如果动点做匀速圆周运动，则aτ=0，上式变为上一页返回下一页第二节点的平面运动【例6-1】如图6-13所示，若飞机沿曲线AB做俯冲运动，曲线可视为半径r=800m的圆弧。已知飞机在A点时的速度v0=414km/h，在B点时的速度v=468km/h，飞机由A点到B点所经历的时间t=3s。假设飞机做匀加速运动，试求:(1)飞机在此运动过程中的切向加速度aτ

。(2)飞机在B处时的法向加速度an。(3)飞机在此3s内所飞过的路程。解：依题意，飞机做匀加速圆弧运动，则aτ=常量上一页返回下一页第二节点的平面运动(1)由式(6-6)(2)由法向加速度计算式(6-5)得上一页返回下一页第二节点的平面运动即飞机在B处时的法向加速度为21.1m/s2即飞机在3s钟内飞过367.5m上一页返回第三节刚体定轴转动的运动分析

通过转角、角速度和角加速度等物理量描述各点运动的共性;通过线速度和线加速度描述各点运动的差异，并建立起两类物理量之间的关系。一、转动位置的确定刚体绕定轴转动时，某一时刻转动位置的描述，通常用相对某一固定位置而转过的角度来确定，如同确定时间需观察时针、分针相对数字“12”所转过的角度一样。设有一刚体绕固定的Z轴转动。为了确定刚体在转动过程中的位置，可通过转轴Z作一固定平面，如图6-14所示，再通过转轴00’及刚体内的点AA’作一随刚体转动的平面ll，则刚体转动的位置可用平面I与平面且之间的夹角φ来确定。φ角称为转角。刚体转动时，转角φ随时间t连续变化，即返回下一页第三节刚体定轴转动的运动分析二、刚体的转动方程设有一刚体绕固定轴z转动，如图6-15所示。为了确定刚体的位置，过轴z做A,B两个平面，其中A为固定平面;B是与刚体固连并随同刚体一起绕z轴转动的平面。两平面间的夹角用φ表示，它确定了刚体的位置，称为刚体的转角。转角φ的符号规定如下:从z轴的正向往负向看去，自固定面A起沿逆时针转向所量得的φ取为正值，反之为负值。定轴转动刚体具有一个自由度，取转角φ为广义坐标。当刚体转动时，随时间t变化，是时间t的单值连续函数，即上一页返回下一页第三节刚体定轴转动的运动分析该方程称为刚体定轴转动的转动方程，简称为刚体的转动方程。三、角速度和角加速度刚体绕定轴转动时，用角速度。来描述刚体转动的快慢和转向。角速度。等于刚体转动的转角函数φ(t)约对时间t的一阶导数，即上一页返回下一页第三节刚体定轴转动的运动分析w值的大小描述刚体转动的快慢。当w为正值时，表示迎着Z轴正向去观察，刚体作逆时针转动;反之，w为负值时，刚体作顺时针向转动。因此，w值的正负表明刚体的不同转向。角速度w的单位为rad/s。工程上常用转速n(单位为r/min)来表示刚体转动的快慢。角速度w与转速n之间有如下换算关系式上一页返回下一页第三节刚体定轴转动的运动分析【例6-2】

飞机发动机由静止开始作匀加速启动，已知角加速度a=5rad/s2。求此发动机在转完第250r时的转速为多少?发动机从启动至达到这一转速需要多少时间?解由式(6-12c)有由题意可知φ0=0,w0=0故有又因为故得上一页返回下一页第三节刚体定轴转动的运动分析由式(6-10)得即发动机在转完第250r时转速达1197r/min再由式(6-12a)上一页返回下一页第三节刚体定轴转动的运动分析

四、轴转动刚体上各点的速度与加速度分析

1.速度分析刚体做定轴转动时，转轴上各点固定不动，转轴以外的各点在垂直于转轴的平面内作围绕转轴的圆周运动。点的速度大小等于该点的转动半径(圆周的半径)R与刚体角速度w的乘积，速度的方向垂直于转动半径而指向刚体转动的方向:

沿着转动半径上的各点，速度分布如图6-17所示。上一页返回下一页第三节刚体定轴转动的运动分析2.加速度分析刚体定轴转动时，点的切向加速度的大小等于转动半径R与刚体角加速度a的乘积，切向加速度方向垂直于转动半径而指向刚体角加速度所指示的方向。沿着转动半径上的各点，切向加速度分布如图6-18(a)所示。刚体定轴转动时，点的法向加速度大小等于转动半径R与刚体角速度叫平方的乘积，即法向加速度方向恒指向圆周轨迹中心n(见图6-18b)M点全加速度(见图6-18b)的大小和方向为上一页返回下一页第三节刚体定轴转动的运动分析【例6-5】图6-20是一减速器，它由四个齿轮组成，已知其齿数分别为z1=10,z2=60，z3=12，z4=70,n1=3000r/min，求n3上一页返回下一页第三节刚体定轴转动的运动分析解本题是一个定轴轮系传动问题依题意所以故定轴轮系传动比等于各级传动比的乘积。现再由得上一页返回下一页第三节刚体定轴转动的运动分析五、角速度矢和角加速度矢、点的速度和加速度的矢积表示

1.角速度矢与角加速度矢在分析较为复杂的运动问题时，用矢量表示转动刚体的角速度与角加速度通常较为方便。角速度的矢量表示方法如下:当刚体转动时，从转轴上任取一点作为起点，沿转轴作一矢量w，如图6-21所示，使其模等于角速度的绝对值;指向按右手螺旋法则由角速度的转向确定，即从矢量w的末端向起点看，刚体绕转轴应作逆时针转向的转动。该矢量w称为转动刚体的角速度矢。

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