教学材料《静力学》-第4章

4.1力在空间直角坐标系上的投影在工程中，经常遇到物体所受各力作用线不在同一平面内，而是空间分布的，即空间力系。按各力作用线的相对位置，空间力系也可分为空间汇交力系、空间力偶系、空间平行力系和空间任意力系。显然，空间任意力系是力系的最一般形式，如图4-1所示。下一页返回4.1力在空间直角坐标系上的投影根据力在坐标轴上的投影的概念，可以求得一个任意力在空间直角坐标轴上的三个投影。如图4-2所示，若已知力F与三个坐标轴x，y，z的夹角分别为时，则F在三个坐标轴上的投影分别为以上投影方法称为直接投影法，或一次投影法。由图4-2可见，若以F为对角线，以三坐标轴为棱边作正六面体，则此正六面体的三条棱边之长正好等于力F在三个轴上投影Fx,Fy,Fz的绝对值。下一页返回上一页4.1力在空间直角坐标系上的投影也可采用二次投影法，如图4-3所示，当空间的力F与其一坐标轴(如二轴)的夹角Y及力在垂直此轴的坐标面(Oxy面)上的投影与另一坐标轴(如二轴)的夹角，已知时，可先将力F投影到该坐标面内，然后再将力向其他坐标轴上投影，这种投影方法称作二次投影法。图4-3所示的力F在三个坐标轴上的投影为下一页返回上一页4.1力在空间直角坐标系上的投影反之，当已知力F在三个坐标轴上投影时，也可求出力F的大小和方向:下一页返回上一页4.1力在空间直角坐标系上的投影例4-1长方体上作用有三个力，F1=50N,F2=100N,F3=150N，方向与尺寸如图4-4所示，求各力在三坐标轴上的投影。解:由于力F1及F2与坐标轴间的夹角都已知，可应用直接投影法，力F3与坐标轴的方位角，及仰角已知，可用二次投影法，由几何关系知返回上一页下一页4.1力在空间直角坐标系上的投影各力在坐标轴上的投影分别为返回上一页4.2空间汇交力系的合成与平衡4.2.1空间汇交力系的合成设在某物体上A点作用一空间汇交力系F1F2…Fn其中任意二力总是共面，故可连续应用平行四边形法则，最后合成一个作用于汇交点的合力FR，故将式(4-4)向x，y，z三坐标轴投影下一页返回4.2空间汇交力系的合成与平衡式(4-5)称为合力投影定理，它表明合力在某轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。求出FRx,FRY,FRz后，即可按式(4-2)和式(4-3)求得下一页返回上一页4.2空间汇交力系的合成与平衡4.2.2空间汇交力系的平衡条件及平衡方程式因为空间汇交力系可以合成为一合力，所以，空间汇交力系平衡的充分必要条件为:力系的合力等于零。即将式(4-4)向x，y，z三坐标轴投影式(4-8)向x，y，z轴投影可得下一页返回上一页4.2空间汇交力系的合成与平衡例4-2有一空间支架固定在相互垂直的墙上。支架由垂直于两墙的铰接二力杆OA,OB和钢绳OC组成。已知,O点吊一重力为G=1.2kN的重物图4-5(a)。试求两杆和钢绳所受的力。图中O,A,B,D四点都在同一水平面上，杆和绳的重力均略去不计。解:(1)选研究对象，画受力图。取铰链O为研究对象，设坐标系为Oxyz，受力图如图4-5(b)所示。返回上一页下一页4.2空间汇交力系的合成与平衡(2)列空间汇交力系平衡方程式，求未知量。即解上述方程返回上一页4.3力对轴的矩4.3.1力对轴的矩在实际工程中，经常遇到绕固定轴转动的情况。如图4-6所示，以推门为例，讨论力对轴的矩。实践证明，力使门转动的效应，不仅取决于力的大小和方向，而且与力作用的位置有关。如图4-6(a)和(b)推门时，沿F1,F2方向施加外力，力的作用线与门的转轴平行或相交，则力无论多大，都不能推开门。如图4-6(c)所示，力F垂直于门的方向，且不通过门轴时，门就能推开，并且力越大或其作用线与门轴间的垂直距离越大，则转动效果越显著。下一页返回4.3力对轴的矩在一般情况下，如图4-7所示，设有一力F，作用于A点，其作用线与z轴既不平行也不相交。如计算该力对z轴的矩，可将F分解为两个分力Fxy与Fz,因F平行于z轴，对z轴无转动效应。显然，只有力Fxy才能使刚体产生绕二轴转动的效应。而双:对z轴的力矩就是力F对O点的矩，即式(4-11)表明，力对轴的矩等于力在与轴垂直的平面上的投影对轴与该平面的交点的矩。力对轴的矩的正负号规定如下:按右手螺旋法则，即用右手的四指来表示力绕轴的转向，如果拇指的指向与z轴正向相同，力矩为正，反之为负，如图4-8所示。下一页返回上一页4.3力对轴的矩4.3.2合力矩定理平面力系中的合力矩定理在空间力系中仍然适用。如图4-9所示，力F对某轴(如二轴)的力矩，为力F在x，y，z三个坐标方向的分力Fx,Fy,Fz对同轴(z轴)力矩的代数和，称为合力矩定理。因分力F平行于z轴，故，于是下一页返回上一页4.3力对轴的矩力对轴的矩的解析表示式为应用式(4-13)时，分力Fx,Fy,Fz及坐标xA,yA,zA:均应考虑本身的正负号，所得力矩的正负号也将表明力矩绕轴的转向。例4-3计算图4-10所示手摇曲柄上的力F对x，y，z轴的矩。已知F=100N,a=60,A13=20cm,13C=40cm,CD=15cm,A,13,C,D处于同一水平面上。返回上一页下一页4.3力对轴的矩解:力F为平行于xAz平面的平面力，在x和z轴上有投影计算力F对x、y、z各轴的力矩返回上一页4.4空间一般力系的平衡方程及应用和平面一般力系一样，空间一般力系也可应用力的平移定理，向任一点简化，而得到一个空间汇交力系和一个空间力偶系，从而合成为一个力和一个力偶。此合力和附加力偶与原力系等效。其合力为其附加合力矩为下一页返回4.4空间一般力系的平衡方程及应用即原力系中各力对于简化中心的矩的代数和。若空间一般力系平衡，则力系中各力的矢量和与各力对于简化中心的矩的代数和均为零。因此得到由此可知，空间一般力系平衡的充分和必要条件是:力系中所有各力在任意相互垂直的三个坐标轴的每一个轴上的投影的代数和等于零，力系对于这三个坐标轴的矩的代数和分别等于零。下一页返回上一页4.4空间一般力系的平衡方程及应用例4-4在车床上用三爪卜盘夹固工件。设车刀对工件的切削力F=1000N，方向如图4-11所示，a=10°。为力F与铅直面间的夹角，a为力F在铅直面上的投影与水平线间的夹角。工件的半径R=5cm，求当工件做匀速转动时，卜盘对工件的约束力。解:以工件为研究对象。工件除受切削力F作用以外，还受卜盘的约束力作用。卜盘限制工件相对它实现任意方向的位移和绕任何轴的转动，因此它的约束性质与空间固定端一样，其约束反力可用三个相互垂直的分力FAx,FAy和FAz表示，其反力偶可用在三个坐标平面内的分力偶表示，它们的矩分别为mx,my,和mz。这些约束反力和约束反力偶和切削力F组成空间的平衡力系。下一页返回上一页4.4空间一般力系的平衡方程及应用以Fx,Fy,Fz表示力F在三个坐标轴上的分力的大小，则列平衡方程，得下一页返回上一页4.4空间一般力系的平衡方程及应用解以上方程，得下一页返回上一页4.4空间一般力系的平衡方程及应用在工程中计算轴类零件的受力时，常将轴上受到的各力分别投影到三个坐标平面上，得到三个平衡力系。这样，可把空间一般力系的平衡问题，简化为三个坐标平面内的平面力系的平衡问题。例如将例4-4中工件的受力图向三个坐标平面上投影，得到如图4-12所示的三个平面一般力系。(1)由侧视图(图4-12)可见，各力在Axz坐标平面上的投影有主动力Fx和Fz约束力FAx,FAz和my。其中。列平衡方程，得下一页返回上一页4.4空间一般力系的平衡方程及应用(2)由正视图(图4-12(b))可见，各力在Ayz坐标平面上的投影有:主动力Fy,Fz约束力FAz,FAy和mx其中。列平衡方程，得下一页返回上一页4.4空间一般力系的平衡方程及应用(3)由俯视图(图4-12(c))可见，各力在Axy平面上的投影有:主动力FAx，FAy约束力mz列平衡方程，得返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心4.5.1空间平行力系的中心若空间力系各合力的作用线相互平行，则该空间力系称为空间平行力系。空间平行力系的合成，可依次取二力合力，重复进行下去，最后可得合成结果。其结果有三种情况:为一合力;为一力偶;力系平衡。若力系为一合力时，合力的作用点，即是平行力系的中心，并可证明，平行力系的中心只与平行力系中各力的大小和作用点的位置有关，而与各平行力的方向无关。下一页返回4.5空间平行力系的中心和物体的重心4.5.2重心的概念重心是平行力系中的一个特例，在地面上的一切物体都受到地球的重力作用，物体是由许多微小部分组成的，可以把物体各部分的重力看成是铅直向下相互平行的空间平行力系，这个空间平行力系的合力为物体的重力，重力的大小等于物体所有各部分重力大小的总和，重力的作用点即是空间平行力系的中心，称为物体的重心。下一页返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心若将物体看成刚体，则不论物体在空间处于么位置，也不论怎样放置，它的重心在物体中的相对位置是确定不变的。因为重心是物体的重力作用点，若在重心位置加上一个与重力大小相等、方向相反的力，即可以使物体平衡。因此悬挂或支持在重心位置的物体在任何位置都能保持平衡。在工程中，确定物体重心的位置一分重要，例如起吊重物时，吊钩必须位于被吊物体的重心正上方，以保证起吊后保持物体的平衡;高速转动的零件，都要求在设计、制造、安装时使其重心位于转轴轴线上，以免引起强烈振动等。下一页返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心4.5.3重心和形心的坐标公式我们可应用合力矩定理确定重心位置。设物体重心坐标为(xc，yc，zc)，如图4-15所示。将物体分成若干微小部分，其重力分别为△W2，△W2…△Wn，各力作用点的坐标分别为(x1,y1,z1)，(x2,y2,z2)，(xn,yn,zn)。物体重力W的值为。下一页返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心根据力系中心的位置与各平行力的方向无关的性质，可将物体连同坐标系一起绕二轴顺时针转过90。使y轴朝下，这时重力w和各力都与y轴同向且平行，再对二轴应用合力矩定理，得因此得物体重心C的坐标公式为下一页返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心若物体为均质，其密度为

，以、代入上式，令△Vi--0。取极限，即可得下一页返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心可见均质物体的重心完全取决于物体的几何形状，而与物体的重力无关。因此均质物体的重心也称为形心，但应注意:重心和物体的几何形状的形心是两个不同的概念。只有均质物体的重心和形心才重合于一点。式(4-18)称为体积形心坐标公式。若物体是均质薄壳(或薄板)。以A表示壳或板的表面面积，pA，表示微小部分的面积，同理可求得均质薄壳的重心或形心C的位置坐标公式为下一页返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心下一页返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心若物体是等截面均质细杆(或细线)，以五表示细杆的长度，△li表示微小部分的长度，同样可求得细杆的重心或形心C的位置坐标公式为下一页返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心4.5.4求重心的方法1.对称法对于均质物体，若在几何形体上具有对称面、对称轴或对称点，则物体的重心或形心亦必在此对称面、对称轴或对称点上。若物体具有两个对称面，则重心在两个对称面的交线上;若物体有两根对称轴，则重心在两根对称轴的交点上。如球心是圆球的对称点，也就是它的重心或形心。矩形的形心就在两个对称轴的交点上。下一页返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心运用此法可以在不对称的图形上找到对称的因素。例如，对任意三角形△AED，可将图形分割成无数平行于底边AE的直线，每一条直线的形心在其对称点一中点上，这些中点连起来形成一条形心迹线DE。若以ED为底边，则又可找到另一条形心迹线AH，依对称律，△AED的形心必在DE与AH之交点C,上，如图4-16(a)所示。又如，对任意四边形AEDE,第一次将其分成△AED和△ADE，分别找出形心C1和C2，连接C1C2，得到一条迹线。第二次将其分成△AEE和△DEE，分别找出形心C3和C4，连接C3C4，又得到一条迹线。两条迹线的交点C，即为四边形AEDE的形心。下一页返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心对有些图形进行划分时，还可采取负面积法。如对图4-16(c)所示角钢的横截面，第一次将它划成以C1和C2两个形心为代表的矩形面积之和，第二次则将它划成整个矩形C;和虚线矩形C3之差，连接CC3迹线和C2C1迹线相交于C点，即为角钢截面形心。下一页返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心

2.积分法求基本规则形式的形心，可将形体分割成无限多个微小形体，在此极限情况下，可利用形心的积分公式(4-18)一式(4-20)求解。对于常用的一些简单的图形和物体的重心位置可从工程手册中查得。现将几种常用的简单形体的重心列于表4-1，供参阅。下一页返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心3.组合法—有限分割法机械和结构的零件往往是由几个简单的基本形体组合而成的，每个基本形体的形心位置可以根据对称判断或查表获得。那么，整个形体的形心可用式(4-18)、式(4-19)通过有限项的合成而求得。具体求法由下面例题说明。例4-7试求打桩机中偏心块(图4-17)的形心。已知R=10cm,r2=3cm,r3=1.7cm下一页返回上一页4.5空间平行力系的中心和物体的重心解:将偏心块看成三部分组成。(1)半圆面A1半径为R,(2)半圆面A2半径为r2，下一页返回上一页4.5空间平行力系的中